新高考数学热点 计数原理（教师版）

热点11计数原理

从新高考考查情况来看，排列组合与二项式定理是新高考命题的热点，主要考查分类、

分步计数原理的应用，排列与组合的综合应用，分组分配问题等，二项展开式的通项、二项

式系数、特定项的系数、系数和问题、最值问题、参数问题等，一般以选择题和填空题的形

式出现，难度中等.主要考查学生的转化与化归、分类讨论思想，数学运算和逻辑推理等

核心素养.

满分技巧

1、求二项式系数和或各项的系数和的解题技巧：

(1)形如(以+份"，(a^+bx+cy'Xa,b,cGR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋

值法，只需令x=l即可.

(2)对形如(办+处)"(〃，%6R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=l即可.

(3)若火x)=ao+aix+a2^+…则展开式中各项系数之和为人1),

奇数项系数之和为的+〃2++.・尸/⑴+/(-1),

2

偶数项系数之和为0+/+痣+…=/6"T).

2

2、解决排列问题的常见方法：

(1)“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原

则是谁“特殊”谁优先.不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素

又考虑位置.

(2)解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列,

同时要注意捆绑元素的内部排列.

（3）解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的

元素插在前面元素排列的空当中.

（4）对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.

（5）若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”.

3、解决组合问题的常见方法：

组合问题的限制条件主要体现在取出的元素中“含''或"不含''某些元素，在解答时可用直

接法，也可用间接法.用直接法求解时，要注意合理地分类或分步；用间接法求解时，要注

意题目中“至少”“至多”等关键词的含义，做到不重不漏。

:热点解读

热点L以实际情景为背景的排列组合问题

主要以接近生活的实际情况为主，多以选择或填空为主。主要考查分类、分步计数原理

的应用，突出分类讨论思想、转化化归思想的应用，问题情景的设置越来越接近生活，能否

将实际问题合理、正确地转化成排列组合问题，是解决这类试题的关键。

热点2.二项式定理及相关运用

二项式定理是中学数学的重要组成部分，高考中二项式定理是考点之一，二项式定理的

应用在高考中一般以选择题和填空题的形式出现，难度不大。

）艮时检测

A卷（建议用时60分钟）

一、单选题

1.（2021•河北衡水中学模拟预测）在2020中俄高加索联合军演的某一项演练中，中方参加

演习的有5艘军舰，4架飞机；俄方有3艘军舰，6架飞机.若从中、俄两方中各选出2个

单位（1架飞机或一艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），

且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有（）

A.51种B.224种C.240种D.336种

【答案】C

【分析】按中方选一架飞机或俄方选一架飞机分类讨论，每类再分步选择即可得.

【详解】不同的选法有:C；C；C；C：+C；C：C；Cl=5x4x3x1+10x1x3x6=60+180=240

（种）.故选：C.

2.（2021•湖北•模拟预测）某校的6名高二学生打算参加学校组织的“篮球队”“微电影社团”“棋

艺社''"美术社””合唱团”5个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团，每个社团至多

2人参加，则这6人中至多有1人参加“微电影社团''的不同参加方法种数为（）

A.1140B.3600C.5040D.6840

【答案】C

【分析】分两类：一类是有1人参加“微电影社团“，则从6人中选1人参加该社团，其余5

人参加剩下4个社团，人数安排有1,1j,2和0,1,2,2两种情况;一类是无人参加“微电影社团”,

则6人参加剩下4个社团，人数安排有1,1,2,2和0,2,2,2两种情况，进而结合两个计数原理

即可求出结果.

【详解】可分两类：第一类，若有1人参加“微电影社团”，则从6人中选1人参加该社团,

其余5人参加剩下4个社团，人数安排有1,1,1,2和0,1,2,2两种情况，所以不同的参加方法

空g，A：+

种数为C；=36（X）：第二类，若无人参加“微电影社团”，则6人参加

【A3

剩下4个社团，人数安排有1,1,2,2和0,2,2,2两种情况，所以不同的参加方法种数为

r2C2

故不同的参加方法种数为3600+1440=5040,

故选：C.

3.（2021•江苏•南京市中华中学高三期中）已知（l-2x）”的二项展开式中第3项与第10项的

二项式系数相等，则展开式中含/的系数为（）

A.-312B.31C.-220D.220

【答案】D

【分析】根据题意可得”=11,求出展开式即可得出.

【详解】（l-2x）"的展开式的通项为J=C；T，（-2x）’=（-2）'C:/，

由题可得第3项与第10项的二项式系数相等，则亡=。：，所以〃=11,

则展开式中含V的系数为（-2）2。；=220.故选：D.

4.（2021•江苏常州•高三期中）已知（l-2x）2⑼=%+6x+…+%⑼d⑼，贝ij

幺+4+4+…+續=（）

2222322021

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】B

【分析】根据题意，分别令x=O和无=：，代入计算即可求解.

【详解】根据题意，令x=（）,得。『。-。产’小，令X=；,得

/11、2021,a2,.a2O2l

（1-1）-a0+—+^-++^r，

因此卜票■+墨+..•+冷号=-%=T.故选：B.

5.（2021•江苏•南京师大附中高三期中）2021年初，某市因新冠疫情面临医务人员不足和医

疗物资紧缺等诸多困难，全国各地志愿者纷纷驰援.现有5名医生志愿者需要分配到两家医

院（每人去一家医院，每家医院至少去1人），则共有（）

A.12种B.30种C.18种D.15种

【答案】B

【分析】根据题意，先将5名医生志愿者分为两组，再将分成的两组，安排的两家不用的医

院，结合分步计数原理，即可求解.

【详解】由题意，现有5名医生志愿者需要分配到两家医院（每人去一家医院，每家医院至

少去1人），

可按两步分析：（丨）可先将5名医生志愿者分为2组，由两种可能的分法：

①一组4人，一组1人，共有C；C：种不同的分组方法;

②一组3人，一组2人，共有C；C；种不同的分组方法,

（2）再将分成的两组，安排两家医院，结合分步计数原理，共有（C；C；+C；C；）&=30种不

同的安排方式.故选：B.

6.（2021•江苏海安•高三期中）“冰墩墩”是2022年北京冬奥会吉祥物，在冬奥特许商品中，

己知一款“冰墩墩''盲盒外包装上标注隐臧款抽中的概率为9，出厂时每箱装有6个盲盒.小

明买了一箱该款盲盒，他抽中网0W仁6,ZWA0个隐藏款的概率最大，则上的值为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】由题意可得小明抽中&个隐藏款的概率为啸jy"C*-56~*

,进而可得

66

C：.56-*>C*-'-57-*

解不等式组即可求出结果.

C：.56T>虚.5"*

C*-56-*

【详解】由题意可得小明抽中％个隐藏款的概率为C；其中

66

0<k<6,keN,

丄」

「ks6dQk.56d>.57-^

k1-k

要使得丄牙一最大，只需要最大，贝5F9.554Hn则

丄〉丄

6—kk+\

L<<l

6k6

又因为0K左则％=1,故选：B.

7.（2021♦山东省济南市莱芜第一中学高三期中）已知正整数”28,若（x-丄）（1-X）”的展开

X

式中不含X5的项，则〃的值为（）

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

【分析】根据题意要使展开式中不含工5项，即。一灯”展开式中/项和炉项的系数和为0,

建立方程进行求解即可.

【详解】解：（1-x）”展开式的通项公式为C；（-1）4,则（l-x）"展开式中X4项的系数为C；,

f项的系数为C：,

（X--）（1-X）"=x（l-X）"-X-'（1-X）",J.要使展开式中不含的项，

X

.C4=Cb,即〃（“T）（"2）（〃-3）="（〃一」（"-2乂”-3）（〃-4）（"-5）,

4x3x2x16x5x4x3x2x1

即巒_9〃_]0=0,又〃w8,所以〃=10,故选：C.

8.（2021•福建•莆田二中高三期中）现某校数学兴趣小组给一个底面边长互不相等的直四棱

柱容器的侧面和下底面染色,提岀如下的“四色问题”：要求相邻两个面不得使用同一种颜色,

现有4种颜色可供选择，则不同的染色方案有（）

A.18种B.36种C.48种D.72种

【答案】D

【分析】分别求解选用4种颜色和3种颜色，不同的染色方案，综合即可得答案.

【详解】若选择4种颜色，则前后侧面或左右侧面用1种颜色，其他3个面，用3种颜色,

有24：=48种；

若选择3种颜色，则前后侧面用1种颜色，左右侧面用1种颜色，底面不同色，所以有用=24

种，

综上,不同的染色方案有24+48=72种.故选：D

9.（2021•浙江•慈溪中学高三期中）用数字1、2、3组成五位数，且数字1、2、3至少都出

现一次，这样的五位数共有（）个

A.120B.150C.210D.240

【答案】B

【分析】根据题意，采用排除法，首先计算不考虑重复与否的全部情况数目，进而计算出其

中不符合条件的只有,1个数字和只含有2个数字的情况数目，进而由全部情况数目减去不符

合条件的情况数目，即可得解.

【详解】首先考虑全部的情况，即每个数位均有3种选择，共有3$=243个,

其中包含数字全部相同只有3种情况，还有只含有2个数字的共有舊x（25-2）=90个,

因此，满足条件的五位数的个数为243-3-90=150个.故选：B.

10.（2021•河北•唐山市第十中学高三期中）若

42（22012

（l+x）'+（l+x）+（l+x）s++（1+x）"-=a（）+ayX+a2x++a20|2x,则如等于（）

A.C2012B.C；（）i3C.Ch"D.C；oi2

【答案】C

【分析】由已知条件可知的为展开式中丁的系数，利用二项式定理及组合数的性质即可得

出答案.

【详解】解：由已知条件可知的为展开式中V的系数，

则%=C；+C；+C；++Ci2=c：+c；+c；++C；＜“2=C；+C；++C募

=C；++6012-=C；oi2+Goi2=C；oi3.故选：C.

11.（2021•湖南•模拟预测）某体育彩票规定：从01至36共36个号中选出7个作为一注，

每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至

30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，若这人想把满足这种特殊要求的号买全，

则他要花的钱数为（）

A.3360B.6720元C.4320元D.8640元

【答案】D

【分析】分三步，第一步先从01至10中选3个连续的号，再从11至20中选2个连续的号，

然后从21至30中选1个号，最后从31至36中选1个号，由分步乘法计数原理求解.

【详解】从01至10中选3个连续的号共有8种选法；从11至20中选2个连续的号共有9

种选法；

从21至30中选1个号共有10种选法；从31至36中选1个号共有6种选法，

所以共有8x9x10x6=4320种选法，要花4320x2=8640元.故选：D

12.（2022•上海•高三专题练习）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我

国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字,

123456789

纵式1IIIII1111HillTTJ¥

横式———=三丄1

表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置

空，如图；

丄可二M6728

1IT¥6708

如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为

（）

A.46B.44C.42D.40

【答案】B

【分析】按每一位算筹的根数分类，列举出所有的情况，根据2根或2根以上的算筹可以表

示两个数字，计算出每种情况下所表示的三位数的个数，利用分类加法计数原理可得结果.

【详解】按每一位算筹的根数分类一共有15种情况,分别为（5,0,0）、（4,1,0）、（4,0,1）、（3,2,0）、

（3,1,1）、（3,0,2）、（2,3,0）、（2,2,1）、（2,1,2）、（2,0,3）、（1,4,0）、（1,3,1）、（1,2,2）、（1』,3）、

（1,0,4）,

2根或2根以上的算筹可以表示两个数字，运用分步乘法计数原理，得上面情况能表示的三

位数字个数分别为：2、2、2、4、2、4、4、4、4、4、2、2、4、2、2,

根据分类加法计数原理，得5根算筹能表示的三位数字个数为：

2+2+2+4+2+4+4+4+4+4+2+2+4+2+2=44.故选：B.

13.（2021•重庆中学模拟预测）在二项式（x-2y）6的展开式中，设二项式系数和

为A,各项系数和为B,x的奇次基项的系数和为C,则罢=（）

【答案】A

AR

【分析】根据二项式的性质求得A,用特值法可求得B,C,再计算色即可

【详解】在二项式（x-2y）6的展开式中，二项式系数和A=26=64,

令x—y—1,得各项系数和B—（-1-=1,

令/（x）=（x-2）6,得x的奇次幕项的系数和C=，⑴二/（-1）=把=-364,

22

g、[AB6416..刈人

所以工―丽〜彳故选：A-

二、多选题

14.（2021•辽宁丹东•高三期末）对于二项式（戸+丄）"（〃eAT）,以下判断正确的有（）

X

A.存在〃eN"，展开式中有常数项B.对任意〃eN*，展开式中没有常数项

C.对任意展开式中没有x的一次项D.存在“eN”,展开式中有x的一次项

【答案】AD

【分析】利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案.

r

【详解】设二项式（V+丄）"（〃eN*）展开式的通项公式为J,则Tr+l=C^r\-）=

XX

不妨令“=4,则r=3时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；

令〃=3,则厂=2时，展开式中有”的一次项，故C答案错误，D答案正确.故选：AD

2320

15.（2021•湖北襄阳•高三期末）若（1—2犬）故°=a0+alx+a2x+a3x+--+02020a（xeR）,

则（）

2020_]

A.%=1B.+,—=----------

c3+1ra,a%〃20,0.

c-q>+%+%+…+*=―-—D-5+京2+声+…+于而=T

【答案】ACD

2020o20

【分析】设“X)=(1-2X)=4+平+県2+叼？+…+42020f，利用赋值法可判断各选

项的正误.

2IL232020

【详解】设/(x)=(l-2X)°=a„+atx+a2x+ci,x+•••+a^„nx,

2O2O

对于A选项，ao=/(O)=l=l,A对；对于BC选项，

/(1)=a()+a,+a2+a3+.••+a2O2()=1

a2020

J(-1)=4-q+“2-。3+…+2020=3

())2020

的“/!-/(-!L1-3

所以，a[+ai+a5+---+a20]9=-j-----=---，

%+旳+4+…+”2020=''⑴+，('=3,+!,B错，C对；对于D选项，

争争+号+…+舞=%+?+/+崇+•••+舞一％=/({H(0)=0T=T，D对.故

选：ACD.

16.（2021•山西大附中模拟预测）关于多项式+’的展开式，下列结论正确的是（）

A.各项系数之和为1B.各项系数的绝对值之和为2口

C.存在常数项D.R的系数为40

【答案】BCD

【分析】令x=l，可以判断A；多项式的+展开式各项系数的绝对值之和与多项

式的展开式各项系数之和相等，可判断选项B；利用通项公式可判断C,D.

【详解】由题意令x=l可得，各项系数之和为26,故A错误;

6展开式各项系数的绝对值之和与多项式的，+：+xj展开式各项系数

多项式的+

之和相等，故令x=l,得各项系数的绝对值之和为2凡故B正确;

由（l+：-xj=l+,易知该多项式的展开式中一定存在常数项，故C正确；由题

中的多项式可知，若出现V,可能的组合只有＜-X）3和结合排列组合的

性质可得r的系数为C：xl3xC；x2°x（-l）3+C：xlixC；x2ix（-l）4=40,故D正确.故选：

BCD.

17.（2021•海南•三模）从1,2,3,4,5,6中任取三个不同的数组成一个三位数，则在

所有组成的数中（）

A.奇数有60个B.包含数字6的数有30个

C.个位和百位数字之和为6的数有24个D.能被3整除的数有48个

【答案】AD

【分析】对于A,先排好个位数，再排十位和百位，故可求排列数，故可判断A的正误.对

于B,可从余下的5个数中选择两个，再全排列后可得所求的排列数，故可判断B的正误.

对于C,可就个位、百位的数字分类讨论，从而可得所求的排列数，故可判断C的正误；

对于D,可根据各数字之和为3的倍数分类讨论后可得所求的排列数，故可判断D的正误.

【详解】对于A,先从1,3,5中任取一个数放在个位，再任取两个数放在十位和百位，

•共有3A；=60个，故A正确；对于B,先从6以外的数中任取2个，对3个数全排列，・

共有C；A；=60个，故B错误;

对于C,个位和百位的数可以是{1,5},{2,4},顺序可以交换，再从剩下的数中任选一个放

在十位上，所以一共有2x2C；=16个，故C错误；

对于D,要使组成的数能被3整除，则各位数之和为3的倍数，取出的数有{1,2,3},{1,2,6},

{1,3,5},{1,5,6},{2,3,4},{2,4,6},{3,4,5},{4,5,6},共8种情况，所以组成的能被3整

除的数有8A；=48个，故D正确.

故选：AD.

三、填空题

18.(2021•浙江•台州一中高三期中)已知(丁一力卜-9)的展开式中各项系数的和为-1,

则。=,该展开式中常数项为.

【答案】2-640

【分析】利用赋值法，令x=l,可得各项系数和，进而可得。的值，再利用通项公式求得特

定项.

【详解】令”=1,可得(丁一--yl=l-a,即1一4=一1,解得a=2,

又(2x-ej的通项“晨•(201•(-%-2y=q.{-l)r-2〜.尸，r<6,且reN,

故该展开式中常数项为:x3•(-庁4.一_2.或.(-1?"x°=-640,故答案为：2，-640.

19.(2022•浙江•模拟预测)已知多项式

5623456

(2x-l)—(x+1)=a0+atx+a2x+<23x+a4x+a5x+a6x,则q=,

q+a2+3a3+5a4+1la5+2lab=.

【答案】4-81

［分析】结合二项式的展开式的通项公式分别求出(2x7)5和(》+庁的各项系数进而可以求

出结果.

【详解】结合二项式的展开式的通项公式可知：

(2x-iy的展开式的通项公式为C(2X)5-'(-1)'=(-1丫25一。0》,则%的系数为

(-1)425-4(^=10；

(x+l)6的展开式的通项公式为C；，-"T=Q：xb-"',则x的系数为C：=6；因此q=10-6=4；

则(2x-l)5中炉的系数为(_I)325-3C=YO；则(x+l,中f的系数为C：=15；因此

出=-40-15=-55；

则(2x-l)5中丁的系数为(-1)2*2G=80；则(x+l)6中X，的系数为C：=20；因此

。3=80—20=60；

则(2x7)5中/的系数为(―『2"七；=—80；则。+1)6中/的系数为C：=15；因此

%=-80-15=-95；

则(2x7)5中f的系数为(-1)°25-。以=32；则(x+庁中戸的系数为屐=6；因此

%=32-6=26；

则(X+庁中1的系数为以=1；因此%=T；

则4+6+3«3+5/+1也+214=4+(-55)+3*60+5乂(-95)+1326+2卜(—1)=-81故答案

为：4;-81.

20.(2021•全国•高三专题练习)有3个少数民族地区，每个地区需要一各支医医生和两名支

教教师，现将3名支医医生(1男2女)和6名支教教师(3男3女)分配到这3地区去工

作，

(1)要求每个地区至少有一名男性，则共有种不同分配方案；

(2)要求每个地区至少有一名女性，则共有种不同分配方案.

【答案】324432

【分析】(1)使用间接法求解，先计算对立事件至少有一个地区全是女性的分配方案，再计

算所有分配方案即可求解问题：(2)使用间接法求解，先计算对立事件至少有一个地区全是

男性的分配方案，再用总方案相减即可求解结果.

【详解】(1)要求每个地区至少有一名男性的对立事件是至少有一个地区全是女性的分配方

案有C；C；A；=6x6x6=216,

每个地区需要一各支医医生和两名支教教师的总分配方案有=6x15x6=540

所以要求每个地区至少有一名男性的分配方案有540-216=324；

(2)有一个地区全是男性的分配方案有C：C；冬父=3x6x6=108

所以要求每个地区至少有一名女性的分配方案有540-108=432.故答案为：324,432

【点睛】组合问题常有以下两类题型变化:(1)“含有”或"不含有''某些元素的组合题型:“含”，

则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素

中去选取；

(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解.

21.(2021•河北邯郸•高三期末)2021年7月下旬河南省多地遭遇了暴雨洪涝灾害，社会各

界众志成城支援河南，邯郸市某单位组织4辆救援车随机前往河南省的A,B,C三个城市

运送物资，则每个城市都至少安排一辆救援车的概率为.

4

【答案】I

【分析】求出总共的安排方式和每个城市都至少安排一辆车的情况即可求出.

【详解】四辆车前往三个城市安排方式有，种，毎个城市都至少安排一辆车共种，

因此每个城市都至少安排一辆救援车的概率为色姿=3.故答案为：言.

3"99

22.(2021•浙江•模拟预测)我们想把9张写着1~9的卡片放入三个不同盒子中，满足每个

盒子中都有3张卡片，且存在两个盒子中卡片的数字之和相等，则不同的放法有

种.

【答案】198

【分析】首先列出至少有两个卡片之和相等的盒子的情况，然后利用全排列即可求解.

【详解】由题意可知，设存在的这两个盒子中卡片的数字之和相等，设其相等的和为X.

当％=11时,共有1种情况，即{(L3,7),(2,4,5)}；

当x=12时,共有3种情况,即{(1,2,9),(3,4,5)},{(1,3,8),(2,4,6)},{(1,5,6),(2,3,7))；

当％=13时,共有5种情况，即{(1,3,9),(2,4,7)},{(1,3,9),(2,5,6)},{(1,4,8),(2,5,6)},

{(1,5,7),(2,3,8)},{(1,5,7),(3,4,6)}；

当x=14时，共有7种情况,即{(1,4,9),(2,5,7)},{(1,4,9),(3,5,6)},{(1,5,8),(2,3,9)},

{(1,5,8),(3,4,7)},{(1,6,7),(2,3,9)},{(1,6,7),(2,4,8)},{(2,4,8),(3,5,6))；

当*=15时，共有2种情况，即{(1,5,9),(2,6,7),(3,4,8)},{(1,6,8),(2,4,9),(3,5,7)}

当x=16时，共有7种情况,即{(1,6,9),(3,5,8)},{(1,6,9),(4,5,7)},{(1,7,8),(2,5,9)},

{(1,7,8),(3,4,9)},{(2,5,9),(3,6,7)},{(2,6,8),(3,4,9)},{(2,6,8),(4,5,7)}：

当x=17时,共有5种情况,即{(1,7,9),(4,5,8)},{(2,7,8),(3,5,9)},{(3,5,9)74,6,7)},

{(3,6,7),(4,5,8)},{(1,7,9),(3,6,8))；

当x=18时,共有2种情况,即{(2,7,9),(4,6,8)},{(3,7,8),(4,5,9)}；

当x=19时，共有1种情况，即{(3,7,9),(5,6,8)}；

综上所述，共有1+3+5+7+2+7+5+2+1=33(种)情况，

不同的放法共有：33A；=198种.故答案为：198.

23.(2021•全国•模拟预测)中国体育彩票坚持“公益体彩乐善人生”公益理念，为支持中国体

育事业发展做出了贡献，其中“大乐透”是群众特别喜欢购买的一种体育彩票，其规则是从前

区1到35的号码中选5个，后区1到12的号码中选2个组成一注彩票.其中复式玩法允许

从前区选5个以上，后区选2个以上号码，那么从前区1到35的号码中选7个号码，从后

区1到12的号码中选3个，组成的彩票注数为.

【答案】63

【分析】由题意分两步，第一步从前区所选7个号码中任选5个号码，第二步从后区所选3

个号码中任选2个号码，再由由分步计数乘法原理求解.

【详解】第一步从前区所选7个号码中任选5个号码有C；=21(种)情况，

第二步从丿万区所选3个号码中任选2个号码有C；=3(种)情况，

由分步计数乘法原理，组成的彩票注数为21x3=63(注).故答案为：63

24.(2021•重庆中学模拟预测)2020年初，我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾

难”，举国上下一心，克服困难积极复工，复产，复学.复学后，通过心理问卷调查，发现

某校高三年级有6位学生心理问题凸显，需要心理老师干预.已知该校髙三年级有三位心理

老师，每位心理老师至少安排一位学生，至多安排三位学生，问共有种心理辅导

安排方法.

【答案】450

【分析】根据题意，分2步进行分析：①将6位学生分为3组，②将分好的3组安排给3

个老师进行心理辅导，由分步计数原理计算可得答案.

【详解】根据题意，分2步进行分析：

C：C：C；

将6位学生分为3组，若每组2人，有=15种分组方法，若一组3人，一组2人,

最后1组1人，有C：C；=60种分组方法，则有15+60=75种分组方法，②将分好的3组安

排给3个老师进行心理辅导，有=6种情况,则有75x6=450种安排方法,故答案为：450.

25.（2021•广东实验中学模拟预测）+展开式的项数为.

【答案】17

【分析】把11+x+J转化为l+［x+g）］,利用二项式定理展开，可得通项为：

+对r分别取值进行计算，求出所有含X的次数，即可求出结果.

【详解】h+x+lj=

'展开式通项为：7；+,=C/A-+-^,0<r<8,re^V.

通过通项可知：（中含x的次数为0；（中含光的次数为1、-1；心中含x的次数为2、0、

-2；

式中含X的次数为3、1、-1、-3；4中含X的次数为4、2、0、-2、-屮；7；中含X的次数为

5、3、1、5、-3、-5；5中含x的次数为6、4、2、-2、-4、-6；4中含x的次数为7、5、3、

1、-1>-3、-5、-7；

7；中含％的次数为8、6、4、2、0、・2、-4、-6、-8.

由上可知：（1+X+丄）展开式含X的次数为8、7、6、5、4、3、2、1、0、-1、-2、-3、-4、

-5、-6、-7、-8；

故［1+x+g）展开式的项数为17项.故答案为：17.

四、解答题

26.（2021•江苏如东•高三期中）已知（一+2）的展开式中，第4项的系数与倒数第4项

的系数之比为

（1）求展开式中所有项的系数和与二项式系数和；

（2）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.

【答案】（1）系数和为：2187,二项式系数和为：128；（2）—

14

【分析】（1）根据题意先求出，“，令户1求出系数和，由2"'求出二项式系数和；

（2）根据题意求岀有理项项数，进而利用插空法求得答案.

（1）由题意，C>23=gc：3.2"T=23=2"i=机=7,所以展开式中所有项的系数和为:

（1+2）7=3'=2187,二项式系数和为：2,=128.

（2）展开式的第r+1项为0卜2广]=2,Jq，展开式一共有8项,当「=0,2,4,6

\/

时为有理项，所以由插空法得有理项不相邻的概率为：卒■=].

B卷（建议用时90分钟）

一、单选题

1.（2021•福建•厦门外国语学校模拟预测）武汉疫情爆发后，某医院抽调3名医生，5名护

士支援武汉的三家医院，规定每家医院医生一名，护士至少一名，则不同的安排方案有（）

A.900种B.1200种C.1460种D.1820种

【答案】A

【分析】结合分步计数原理以及全排列和部分平均分组问题即可求出结果.

【详解】解：根据题意，分2步进行分析：

①将3名医生安排到三家医院，有=6种安排方法，

②将5名护士分为3组，安排到三家医院，有C；用=150种安排方法,

则有6x150=900种不同的安排方案,故选:4

2.（2021•山东蒲泽•二模）已知正整数论7,若（x」）（l-x）"的展开式中不含x5的项，则"

X

的值为（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【分析】结合二项式的展开式，求出V的项的系数，根据题意建立方程，解方程即可求岀

结果.

【详解】（1-幻"的二项展开式中第&+1项为

乂因为（x-丄）（l-x）"=x（l-x）"—丄（1-x）"的展开式不含戸的项

XX

所以xC：（-l）4x4-丄&（_1）6*6=0C>5-C%5=0即C；=C；所以〃=10,故选：D.

X

3.（2021•广东•模拟预测）某单位在春节七天的假期间要安排值班表，该单位有值班领导3

人，值班员工4人，要求每位值班领导至少值两天班，每位值班员工至少值一天班，每天要

安排一位值班领导和一位值班员工一起值班,且一人值多天班时要相邻的安排方案有（）

A.249种B.498种C.1052种D.8640种

【答案】D

【分析】先安排值班领导：选1位值班领导值三天班，则安排3位领导值班共有C；A；种方

案.再安排值班员工：分4名员工中有1名员工值四天班，其他员工各值一天班；1名员工值

两天班，另一名员工值三天班，剩余2名员工各值一天班；3名员工各值两天班，1名员工

值一天班，三种情况分别得出方案数，再根据分步乘法原理可得选项.

【详解】解：先安排值班领导:选1位值班领导值三天班，则安排3位领导值班共有=18

（种）方案.

再安排值班员工：若4名员工中有1名员工值四天班，其他员工各值一天班，则有C；=4（种）

选法；

若1名员工值两天班，另一名员工值三天班，剩余2名员工各值一天班，则有C；C；=12（种）

选法;

若3名员工各值两天班，I名员工值一天班，则有C：=4（种）选法，

故安排4名员工值班共有（4+12+4）A：=480（种）方案.

因此，该单位在春节七天的假期间值班表安排方案共有18x480=8640（种）.故选：D.

4.（2021•全国•高三专题练习）四色定理（FoN/ro/oHzeore⑼又称四色猜想，是世界近代三大

数学难题之一.它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里提出来的，其内容

是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”四色问题的证

明进程缓慢，直到1976年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理.某校数学兴趣小组

在研究给四棱锥P-A8CD的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面（含公

共棱的平面）不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，那么不同的涂法有（）

A.36种B.72种C.48种D.24种

【答案】B

【分析】先确定底面ABC。的涂色种数，然后依次确定侧面A4B、平面P8C的涂色方法种

数，对侧面PCD与侧面的所涂颜色是否相同进行分类讨论，确定侧面皿＞的涂色方法

种数，利用分步和分类计数原理可得结果.

【详解】如下图所示:

底面ABC。的涂色有4种选择，侧面R4B有3种选择，侧面P8C有2种选择.

①若侧面PCD与侧面/V归所涂颜色相同，则侧面A4£＞有2种选择：

②若侧面PC。与侧面所涂颜色不同，则侧面PCD有1种选择，侧面上4£＞有1种选择.

综上所述，不同的涂法种数为4x3x2x（2+l）=72种.故选：B.

5.（2021•全国•高三专题练习）英因数学家泰勒（B.hW”,1685-1731）以发现泰勒公式和泰勒

级数闻名于世.由泰勒公式，我们能得到e=l+[+1+4++丄+式/（其中e为自然对数

1!2!3!n\（%+1）!

,、e0

的底数，n!=«（/J-l）x（n-2）xx2xl）,其拉格朗日余项是用=；~屈.可以看

2

出，右边的项用得越多，计算得到的-的近似值也就越精确.若西区近似地表示e的泰勒公

2

式的拉格朗日余项&,R“不超过向时.，正整数〃的最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】根据题意建立不等式，利用验证的方式求解即可.

22

【详解】依题意得正而4而历，即（〃+1）整3000,（5+l）!=6x5x4x3x2xl=720,

（6+l）!=7x6x5x4x3x2xl=5040＞3000,所以"的最小值是6.故选：B

6.（2021•吉林松原•高三阶段练习）“五一”小长假期间，某学生会组织看望留守老人活动，

现安排A,B,C,D,E,F,G,"共8名学生的小组去看望甲，乙，丙，丁四位留守

老人，小组决定两名学生看望一位老人，考虑到学生与老人住址距离问题，学生A不安排看

望老人甲，学生8不安排看望老人乙，则安排方法共有（）

A.1260种B.2520种C.1440种D.1890种

【答案】C

【分析】利用组合计数，结合乘法计数原理求得每两位学生看望一位老人的总安排方法数,

以及A看望老人甲、B看望老人乙的情况和A看望老人甲同时B看望老人乙的方法种数，

然后利用集合的元素个数的容斥原理计算可得所求.

【详解】8名学生看望四位老人，每两位学生看望一位老人共有CjC：C；=2520种安排方法，

其中A看望老人甲的情况有C；C：C：=630种；B看望老人乙的情况有C；或儀=630种；

4看望老人甲，同时B看望老人乙的情况有=180种，

,符合题意的安排方法有2520-630-630+180=1440种，故选：C.

【点睛】本题考查组合应用问题，关键是从正面计算，并利用集合的容斥原理求解.

二、多选题

2工+十）的二项式展开式中二项式系数之和为64,则

7.（2021•江苏如皋•高三期末）已知

下列结论正确的是（）

A.二项展开式中无常数项B.二项展开式中倒数第5项为90d

C.二项展开式中各项系数之和为36D.二项展开式中二项式系数最大的项为

3

160户

【答案】CD

【分析】先利用二项式展开式中二项式系数之和为64,可求出〃的值，从而可求出二项式

展开式的通项公式，然后逐个分析判断即可

【详解】解：因为的二项式展开式中二项式系数之和为64,所以2"=64,解得

n=6,

所以的二项式展开式的通项公式为（M=C；（2x）6T（j=]=26，C；I予，

3

对于A,当6-三厂=0,得r=4,所以展开式的第5项为常数项，所以A错误；

对于B,二项式展开式中倒数第5项为二项式展开式的第3项，即4=262.2产3=240/,

所以B错误；

对于C,令x=l,则得=36,所以二项展开式中各项系数之和为3、所以C正确；

对于D,二项展开式中二项式系数最大的项为第4项，即为267.以433=160x=，所以D

正确，故选：CD

8.（2021•辽宁实验中学二模）十七