指数函数、对数函数、幂函数、二次函数-2023年高考数学（新高考）（解析版）

专题06指数函数、对数函数、塞函数、二次函数

指数函数、对数函数、黑函数、二次函数

忽

视

数

对

使

用

忽

视混淆

对

底

中

式

换

元

对

高单调

数

的

视

忽

法

忽

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项区问

讨

论

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新

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数和在

致

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零

论

致

围

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上单

错

致

错

错调致

错

易偌笈鬻

1.对数函数、指数函数中容易忽略底数的取值范围；

2.在对数式中，要注意真数是大于零的；

3.函数的单调区间与在区间上单调是两个不同的概念；

4.对于最高项系数含有参数的函数，要注意对参数的讨论；

5.

务金合折

一、对数函数中忽视对底数的讨论致错

1.已知函数/(x)=bg"(8-αx)(α>0,且αWl),若/(x)>l在区间［1,2］上恒成立，则实数α的取值

范围是.

【错解】已知,危)=logα(8一℃)在口,2］上是减函数，由.Ax)>1在区间口,2］上恒成立，

8flŋ

知./(x)min=/(2)=logf,(8-2a)>l,且8—20>0,解得1故实数”的取值范围是I'34

【错因】没有对底数a进行分情况讨论，

【正解】当a>∖时，於)=logfl(8—OX)在［1,2］上是减函数,由左)>1在区间［1,2］上恒成立，

Q

知HX)min=∕(2)=IOg«(8—2α)>l,且8—2心0,解得l<α<:

当O<α<l时，/(x)在口,2］上是增函数，由√(x)>l在区间［1,2］上恒成立，知/(x)min=/(I)=

logo(8-α)>l,且8—20>0.解得a>4,且α<4,故不存在.

综上可知，实数”的取值范围是Irɪ'q3J.

二、忽视对数式中真数大于零致错

2.函数>=k>g5(χ2+2χ-3)的单调递增区间是.

【错解】令g(x)=x2+2χ-3,则函数g(x)在(一8,—1)上单调递减，在(-1,+8)上单调递增，

再根据复合函数的单调性，可得函数V=IOg5(∕+2X-3)的单调递增区间是(一1,+∞).

【错因】没有保证对数式中真数大于零，

【正解】由题意，函数.n=log5(x2+2χ-3)满足χ2+2χ∙~3>0,解得x<—3或x>l,即函数

y=log5(χ2+2χ-3)的定义域为(—8,—3)U(1,÷∞).令g(x)=χ2+2χ-3,则函数g(x)

在(一8,—3)上单调递减，在(I,+8)上单调递增，再根据复合函数的单调性，可得函数

y=log5(χ2+2χ-3)的单调递增区间是(1,+°°).

3.已知函数危)=10曲("2—2x+5)(α>0,且α≠l)在区间Q'ɜ)上单调递增，则”的取值范围为

()

A∙(0,∣]U[2,+∞)B,Γ')u(l,2]

ɪΓɪΓ

c.L?3Ju[2,+∞)D.b，LIU(1,2]

在即

【错解】选A当Oq<1时,由复合函数单调性知函数u=ax2-2x+5上单调递减且

0<α<l

,解得

〃>0恒成立，所以<1O<α≤L

-≥33

当a>∖时，由复合函数单调性知函数〃=以2—2χ+5在R上单调递增且w>θ恒成立,

”1

所以‹11,解得422.综上，α的取值范围为(0,—]U[2,+∞).

­≤-3

、a2

【错因】没有保证对数式中真数大于零，

【正解】选C当O<α<l时，由复合函数单调性知函数〃=Or2—2》+5在U'R上单调递减且

〃>0恒成立，所以,23,解得LWawL当a>∖时，由复合函数单调性知函数〃=

a93

9。―6+520,

p>l,

在网

ax2-2x+5上单调递增且心O恒成立所以解得〃22.综上，Q

-a-1+520,

4

1ɪ

的取值范围为⑹IJU[2,+∞).

三、忽视高次项系数的讨论致错

4.函数外)=G2一%—1有且仅有一个零点，则实数Q的值为()

A.—1B.Oe,ɪD.O或—-

444

【错解】选A若.左)="2-X—1有且仅有一个零点，则方程αv2-X—]=0有且仅有一个根,

则∕=l+44=0,解得Q=-L

4

【错因】没有对二次项系数1分情况讨论，

【正解】选D若/(x)=oχ2-%—1有且仅有一个零点，则方程OX2—彳-1=o有且仅有一个根,

当α=0时，/(X)=-X-1,令/(x)=0得X=-I,故/(x)只有一个零点为一1.

当a≠()时，则/=1+4〃=0,解得a=-L综上有〃=0或一L

44

5.若函数/a)="/+2、一3在区间(一8,4)上是单调递增的，则实数Q的取值范围是()

【错解】选C函数/(x)的对称轴为直线X=-L因为/(x)在(一8,4)上单调递增，所以α<0,

a

且一解得一1WaVO.故选C.

a4

【错因】没有对二次项系数〃分情况讨论，

【正解】选D当Q=O时，/(x)=2χ-3,在定义域R上是单调递增的，故在(一8,4)上单调递

增；当。#0时，二次函数y(x)的对称轴为直线式=一',因为/(%)在(一8,4)上单调递增，所以

a

6r<0,且一124,解得一,<QVO.综上所述，得一,<αW0.故选D.

a44

四、指数函数中忽视对底数的讨论致错

6.若函数外)=∕-3+ι(Ao且α≠l)在区间(1,3)上单调递增，则实数。的取值范围为()

A.(1,2)B.(OJ)C.(1,4]D.(-∞,4]

【错解】选Dy=2χ2-αx+l在(—8,T上单调递增，在住十二]上单调递减，根据复合

函数的单调性可知，,/(X)在【一8'T上单调递增，在6'+8)上单调递减，因为函数/(X)在([J)

上单调递增，所以q≤l解存"W4.所以α的取值范围为(-8,4].

4，

【错因】没有对底数4进行分情况讨论,

【正解】选C根据复合函数的单调性可知，当O<α<l时，/仙)在〔'9上单调递增，在

[-,+∞1°<"<人

MJ上单调递戒，因为函数危一)在(1,3)上单调递增，所以'423,无解；当。>1时，/(x)

U

[-OOf4R,4-ool

在I4J上单调递减，在UJ上单调递增，因为函数Ax)在(1,3)上单调递增，所以

4>1,

乜Wl解得1QW4.所以a的取值范围为(1,4].

U，

五、幕函数中忽视定义域致错

ɪ

7.已知事函数./(x)=x,若火。+1)</(10—2〃)，则。的取值范围为.

【错解】VAx)=x-∣=⅛>0),且在(0,+8)上是减函数，；..+I>]0_2a

YX，

解得3V”答案：(3,+8).

【错因】没有考虑函数的定义域,

/+1>0,

【正解】∙.∙∕(X)=Xq=^4rα>()),且在(()，+8)上是减函数，.，i()—2〃>o,

2∖x,

♦+1>10—2a.

解得3VαV5.答案：(3,5)

六、使用换元法时没有注意注意新元的取值范围致错

8.(注意新元的取值范围)已知函数y=4x—3∙2'+3,若其值域为口,7],则X可能的取值范围是()

A.[2,4]B.(一8,0]

C.(0,l]U[2,4]D.(―8,0]U[1,2]

【错解】选D令r=2*,则y=»—3/+3=(ɪ)2+^,其图象的对称轴为直线/=：.

当x∈[2,4]时，fG[4,16],此时y∈[7,211],不满足题意；

当X∈(-8,0]时，z∈(-∞j],此时y∈[l,3),不满足题意；

P11

当x∈(0,l]U[2,4]时，f∈(一8,2]U[4,16],此时y∈.4'JU[7,211],不满足题意；

当x∈(-8,0]U[1,2]Bt,z∈(-∞,l]U[2,4],此时v∈[L7],满足题意.故选D.

【错因】没有考虑新元t的取值范围，因为2'>0,所以0()。

【正解】选D令r=2%∕>0),则y=F—3r+3=[其图象的对称轴为直线/=，.当Λ∙∈[2,4]

时，∕∈[4,16],此时yC[7,211],不满足题意；当x∈(-8,时,∕∈(0,l],此时”口,3),不满

足题意；当x∈(OHU[2,4]时，∕∈(1,2]U[4,16],此时y∈4,U[7,211],不满足题意；当x∈(-

8,0]U[l,2]⅛,r∈(0,l]U[2,4].此时问1,刀,满足题意.故选D.

七、混淆“单调区间”和“在区间上单调”致错

8.(1)若函数｛x)=χ2+2(α-l)x+2的单调递减区间是(-8,4],则实数”的取值范围是.

(2)若函数√(x)=χ2+2(α-l)x+2在区间(-8,4]上单调递减，则实数α的取值范围是.

【错解】(1)因为函数Λr)的单调递减区间为(一8,4],且函数√(x)的图象的对称轴为直线

X=I-tz,所以1—即aW—3.

(2)因为函数yu)在区间(-8,4]上单调递减，且函数次幻的图象的对称轴为直线

x=l-a,所以1—4=4,即。=—3.

【错因】混淆“单调区间”和“在区间上单调”

【正解】(1)因为函数/3)的单调递减区间为(-8,4],且函数/(x)的图象的对称轴为直线

x=↑~at所以1—0=4,即〃=—3.

(2)因为函数√(x)在区间(-8,4]上单调递减，且函数/(x)的图象的对称轴为直线x=∖-a9

所以1一〃24,即αW-3.

易布敦通关

1.在同一直角坐标系中，函数/(x)=2—qχ,g(x)=logr∕(x÷2)(a>0,且α≠l)的图象大致为()

【答案】A

【解析】若OQ<1,令√(x)=2—OX=0,则x=2>2,选项C、D不满足.当α>l时，

a

由2-or=0,得X=Z¢2,且g(x)=log,,(x+2)在(-2,+8)上是增函数，排除B,只有A满足.

a

2.若函数√(x)=αχ2+2αχ+l在上有最大值4,则α的值为()

-J?

A.-B.—3C.-或一3D.4

88

【答案】C

【解析】由题意得/(x)=o(x+l)2+l-α.①当α=0时，函数人x)在区间[-1,2]上的值为常数1,

不符合题意，舍去；②当α>0时，函数√(x)在区间[-L2]上是增函数，最大值为/(2)=8α+l=4,

解得③当”0时，函数./(X)在区间LL2]上是减函数，最大值为/(-1)=1一α=4,解得a

8

=—3.综上可知，〃的值为3或一3.

8

3.函数√(x)=IaX—α∣(α>O且αWl)的图象可能为()

【答案】C

【解析】法一：当a>l时，心)=|。，一α∣的图象如图①所示,当x=0时，y=a~I,故易知C正

确，D错误.当0<α<l时，)，=|。'一〃|的图象如图②所示，可知A、B错误.

法二：当a>l时，不妨取α=2,则.何=Rx-2∣.若则y>0;若x<l,则0<产2.

又X=O时，y=l,结合这3个条件可知选项C符合题意.

当0<“<l时，不妨取α=J贝《尬=II.若x》l,则0《产(；若x<l,则y>0.

又X=O时，y=L没有选项同时符合这3个条件.

2

4.若函数V=Iog“(2—0x)在［0,1］上单调递减，则。的取值范围是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.(1,+∞)

【答案】B

【解析】令〃=2—or,因为4>0,所以〃=2—ax在定义域上是减函数，要使函数y=logrt(2-or)

在［OR上单调递减，则函数P=IOg“〃在其定义域上必为增函数，故心1.当x∈［0,l］时，"min=2-

4X1=2—α.因为2—0x>0在X£［0,1］时恒成立，所以〃min>0,即2—4>0,α<2.综上可知，”的取

值范围是(1,2).

5.已知lgx+lgy=21g(x—2y),贝尼=()

y

A.4B.1C.4或1D.工

4

【答案】A

AIig盯=Ig(X-2y)2,[χy=z(χ-2y)2①/

【解析】由题意得/ʃ'y：.Y二t由①得/一5盯+4y=0,.・.

卜一2y>0,x>0,y>0fb^>2v>0.②

8?一皇+4=o,解得上=4或壬=1(不满足②，舍去)，.∙.工=4.

yyyy

6.已知函数√(x)=ln(l+x)+ln(l-χ).若｛24—1)勺(〃)，则实数”的取值范围是()

B.(O,1)

【答案】D

fl+x>O,

【解析】由,可得一lɑvl,所以函数人:)的定义域为(-1,1).因为y(x)=ln(l+x)+ln(l

,1-x>0

—x)=ln(l—X2),所以人-x)=ln[l-(~λ)2]=ln(l—x2)=J(X),所以危)为偶函数.易知y=1-χ2

在(一1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，且y=lnx在(0,+8)上单调递增，所以大工)在(0,1)

-l<2α-l<l,

上单调递减,在(一1,0)上单调递增.由y(2α-l)勺⑷可得y(∣2α—1|)勺(同)，所以.一IVaV1,

∖2a-↑∖>∖a∖f

解得故选D.

x2÷(4t∕-3)x÷3a,XV0,

7、已知函数y(x)=,(α>0且αWl)是R上的单调函数，则。的取值范

Jogaa+1)+2,

围是()

F3

【答案】C

【解析】由题意，分段函数外)在R上单调递减，可得对数的底数需满足Ovqvl,根据二次函数

[—8

图象开口向上，二次函数在1-8'一一厂J上单调递减，可得一笠解得αw(.又由[χ2

7

÷(4a—3)Λ-÷3α]min>[logu(Λ-÷1)÷2]max,得3介2,又αG(0,l),解得1>。弓.综上，。的取值范围

是[2序<]].

8.已知函数/(x)的定义域为R,且在[0,+8)上是增函数，g(x)=-χ∣x∣),若g(lgx)>g(l),则X

的取值范围是()

A.(0,10)B.(10,+∞)

(

C.(Ii―o,ιoJlD.I0,ʃlθlju(lθ,+∞)

【答案】C

【解析】∙.∙g(—X)=一川一x∣)=g(x),.∙.g(x)是偶函数，又./(X)在[0,+8)上是增函数，.∙.g(χ)在[0,

+8)上是减函数.∙.∙g(]gχ)>g(l),.∙.g(∣∣gχ∣)>g(l),.∙.∣igχ∣vi,解得JFX<10,选C.

9.若函数.危)=¥+。憾在区间[3,4]和[―2,-1]上均为增函数，则实数α的取值范围是()

A.[4,6]B.[-6,-4]

C.[2,3]D.[-3,-2]

【答案】D

【解析】•/(》)=$2+3川，χ)=g(-x)2+α∣-川=；./+。[H=负X),.∙∕χ)为实数集上的偶函数,

∙.∙√(x)在区间[3,4]和[-2,—1]上均为增函数，.∙./(X)在⑶4]上递增，在口,2]上递减，

函数y(x)=%2+αM,x>0的对称轴X=一q∈[2J],得3,—2],故选D.

10.(多选)若实数。，6满足Iog"2<log%2,则下列关系中可能成立的有()

A.0<*<a<lB.O<a<∖<b

C.a>b>[D.0<6<l<a

【答案】ABC

【解析】当0<%<αVl时，log2⅛<log2α<0,即」一V二一VO,故IOgU2<log⅛2,A正确；当

log∕>2logfj2

OVaVlVb时,log∕,2>0,logfl2<0,故Iog“2VlOg立，B正确；当(>b>1时，logM>log2b>0,

即」一>」一>0,故IOga2Vlog立，C正确；当O<6V1<。时，logΛ2<0,loga2>0,故log1j2

Ioga2log/,2

>log/,2,D错误.

N—χ+1,0Wx<l,

11.已知函数/)=∙'''g(x)=ax2+2x+a-∖,若对任意的实数》1仁[0,+

log2(x+l),Ql,

8),总存在实数X2∈[0,+∞),使得/Ul)=g(X2)成立，则实数。的取值范围为()

Ir—8,7-^∣

A.l4jB.(+8)

0,q

C.L4JD.

【答案】D

【解析】因为对任意的实数为£[0,+8),总存在实数也£[0,+°o),使得∕3)=g(x2)成立，

所以函数/(x)的值域是函数式x)的值域的子集.当OWXVl时，/(x)=χ2-x+1,此时於)£_4'

3+∞]

当时，/(x)=l0g2(x+l)单调递增，/(x)∈[l,+∞),所以函数/(X)的值域为4'J

对于函数g(x)=0x2+2x+q-1,当4=0时，函数式r)=2χ-1在[0,+8)上单调递增，此时g(χ)

R+∞1

的值域为[-1,+8),满足匕J⊂[-l,+∞):

当“W0时，要使函数y(x)的值域是函数g(x)的值域的子集，则二次函数的图象开口必须向上,

即α>0,此时函数g(x)的对称轴为<=—1<0,故函数g(x)在[0,+8)上单调递增，此时g(χ)的

a

Γ—3十.8ɔ[，7

值域为[a—1,+oo),由_4'Jɛ[a-1,+8)得，a—1≤-,即OVaW-.综上可得：实数〃

44

O—

的取值范围为_'4J

12.已知不等式盯≤αχ2+2/对于χ∈[l,2],y∈[2,3]恒成立，则”的取值范围是()

A.[1,+∞)B.[-1,4)

C.[-1,+∞)D.[-1,6]

【答案】C

【解析】不等式号≤αχ2+2产对于XG[1,2],y∈[2,3]恒成立，等价于对于χ∈[2],

X

y∈[2,3]恒成立.令f=2,则lWf≤3,.∙.02f-2户在[L3]上恒成立.∖,y=-2t2+t=-^~^2

+ɪ.∙.f=l时，J⅛ax=-1,.∙.a>-l,故选C.

8

13.(多选)已知函数/(x)=3χ2-6x—1,则()

A.函数y(x)有两个不同的零点

B.函数/(x)在(-1,+8)上单调递增

C.当α>l时，若一")在x∈LLU上的最大值为8,则α=3

D.当0<α<l时，若/S)在x∈[一1,1]上的最大值为8,则α=:

【答案】ACD

【解析】因为二次函数对应的一元二次方程的判别式∕=(-6)2-4X3X(—1)=48>0,所以函数

.危)有两个不同的零点，A正确.因为二次函数Hx)图象的对称轴为X=1,且图象开口向上，所

以/(x)在(1,+8)上单调递增，B不正确.令f=α工，则/(0*)=鼠。=3~—6，-1=3«—1)2—4.

1Ja+L

当”>l时，-WtWa,故g(∕)在_q'°上先减后增，又1,故最大值为g(α)=3∕-6a—1

a2

=8,解得α=3(负值舍去).同理当0<αVl时，αwL,g⑺在上的最大值为£)=三一

aer

--I=8,解得α=l(负值舍去).故C、D正确.

a3

14.已知函数歹=以2—2χ+3在[2,+8)上是减函数，则实数。的取值范围是.

【答案】(-8,0]

α<0,

【解析】当〃=O时，y=-2x+3满足题意；当〃WO时，则解得〃<).综上得α<0∙

a

15.若函数y=bgax(a>O,αWl)在［2,4］上的最大值与最小值的差是1,则α=.

【答案】2或L

2

【解析】当。>1时，y=∖ogax(a>01〃W1)在［2,4］上单调递增，所以lo&4—log°2=l,解得α=2;

当OVaVI时，y=logαx(4>0,α≠1)在［2,4］上单调递减，所以Iogrt2—k>gt∕4=l,解得4=；综上可

得，a=2或L

2

16.已知函数/(x)=T+b(G>0,且4≠l)的定义域和值域都是［―L0］，则a+b=.

【答案】一:

2

f(—1)=—1,∣∣7^1+⅛=—1,

【解析】当α>l时，/(x)在LL0］上是增函数，则■即,无解.

kθ)=θ.11+6=0,

_1