浙江省杭州江干区六校联考2022年中考数学模拟预测试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

2（。—x）>—X—4,

a〜l-x

1.如果关于x的分式方程---3=—有负分数解，且关于x的不等式组<3x+4,的解集为x<-2,那

x+lX+1-----<X+1

I2

么符合条件的所有整数a的积是（）

A.-3B.0C.3D.9

_5

2.若x=-2是关于x的一兀二次方程X2-]"+"2=0的一个根，则a的值为（）

A.1或4B.-1或一4C.-1或4D.1或一4

3.如图所示,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使

PD+PE的和最小，则这个最小值为（）

A.273B.2C.3D.4

1111

gT百存+[中+…+产⑼的整数部分是（）

A.3B.5C.9D.6

5.若等式x2+or+19=（x-5）2-b成立，则的值为（）

A.16B.-16C.4D.-4

6.如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）

需

/

7.如图，A,B是半径为1的。。上两点，且。AJ_。优点尸从点A出发，在。。上以每秒一个单位长度的速度匀速

运动，回到点A运动结束，设运动时间为x（单位：s）,弦的长为y,那么下列图象中可能表示y与x函数关系的

是（）

8.下列四个式子中，正确的是（）

A.回=±9B.-J（_6»=6C.（72+>/3）2=5D.j6^=4

9.一、单选题

在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有7名学生参加了决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道

自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的（）

A.平均数B.众数C.中位数D.方差

10.如图，二次函数丫=2*2+6*的图象开口向下，且经过第三象限的点P.若点P的横坐标为-1,则一次函数

y=（a—b）x+b的图象大致是（）

11.分解因式：X2y-xy2=,

12.如图，在正六边形ABC0E/的上方作正方形AFGH,联结GC,那么/GCO的正切值为

x-4>-3

⑶不等式组4x〉2的解集为

14.在平面直角坐标系中，如果点P坐标为（m,n）,向量炉可以用点P的坐标表示为历=（m,n）,已知：04=

（Xryj,0B=（x2,y2）,如果x/Xz+y/y?：。，那么。5与。至互相垂直，下列四组向量：①。。=（2,1）,OD=

（-1,2）；②9=（cos30°,tan45°）,赤=（-1,sin60°）；③（群-户，-2）,0H=（小他,|）；

®0C=（no,2）,0N=（2,-1）.其中互相垂直的是______（填上所有正确答案的符号）.

15.定义：直线L与％相交于点O,对于平面内任意一点M,点M到直线1],%的距离分别为P、q，则称有序实数

对（p,q）是点M的“距离坐标”.根据上述定义，“距离坐标”是（1,2）的点的个数共有个.

16.如图，把^ABC绕点C按顺时针方向旋转35°,得到△AB'C,A，B，交AC于点D,若/A，DC=90。，则/A=°

17.在由乙猜甲刚才想的数字游戏中，把乙猜的数字记为b且，a,b是0,1,2,3四个数中的其中某一个，若1a-

b|<l则称甲乙”心有灵犀”.现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图，已知AB是。O的直径，点C、D在。O上，点E在。。外，ZEAC=ZD=60°.求NABC的度数;

B

求证：AE是。O的切线；当BC=4时，求劣弧AC的长.\

AE

19.（5分）已知，如图，8。是NABC的平分线，AB=BC,点P在BD上,PM1AD,PN1CD,垂足分别

是M、N.试说明：PM=PN.

A.

D

20.（8分）（8分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于B和A,与反比例函数的

图象交于C、D,CE_Lx轴于点E,tanZABO=l,OB=4,OE=1.

2

（1）求直线AB和反比例函数的解析式；

（1）求^OCD的面积.

21.（10分）如图所示，在RtZXABC中，NACB=90°,用尺规在边BC上求作一点P,使P4=P5；（不写作法,

保留作图痕迹）连接AP当NB为多少度时，AP平分NC4B.

22.（10分）如图，在AABC中，N氏4c=90。，AO,3c于点O,B尸平分NABC交AO于点E,交AC于点尸，求

证：AE=AF.

23.（12分）如图，AB是半径为2的。。的直径，直线，与A3所在直线垂直，垂足为C,OC=3,尸是圆上异于A、

5的动点，直线AP、5尸分别交，于M、N两点.

（1）当乙4=30。时，MN的长是；

（2）求证：MOCN是定值；

（3）MN是否存在最大或最小值，若存在，请写出相应的最值，若不存在，请说明理由；

（4）以MN为直径的一系列圆是否经过一个定点，若是，请确定该定点的位置，若不是，请说明理由.

24.（14分）如图，半圆0的直径A5=5cm,点M在A3上且AM=lc/n,点尸是半圆。上的动点，过点〃作BQLPM

交PM（或PM的延长线）于点0.PM=xcm,BQ=yc/«.（当点尸与点A或点8重合时，y的值为0）小石根据学

习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小石的探究过程，请补充完整:

（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表:

x/cm11.522.533.54

ylem03.7—3.83.32.5—

（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

（3）结合画出的函数图象，解决问题：当3。与直径AB所夹的锐角为60。时，PM的长度约为cm.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】

2(a—x)N—x—4(J)

解：｛3x+4/，由①得：xW%+4，由②得：xV-2,由不等式组的解集为x<-2,得到2a+4N-2,即色

-------<x+[②

I2

7

-3,分式方程去分母得：a-3*-3=l-x,把a=-3代入整式方程得：-3x-6=l-x,即》=一爹，符合题意；

把a=-2代入整式方程得：-3x-5=1-X,即x=-3,不合题意；

5

把a=-1代入整式方程得：-3x-4=l-x,即x=-符合题意；

把a=0代入整式方程得：-3x-3=l-x,即x=-2,不合题意；

3

把a=l代入整式方程得：-3x-2=l-x,即x=-],符合题意；

把a=2代入整式方程得：-3x-l=l-x,即x=l,不合题意；

把a=3代入整式方程得：-3x=l-x,即x=-；,符合题意；

把a=4代入整式方程得：-3x+l=l-x,即x=0,不合题意，.•.符合条件的整数a取值为-3；-1；1；3,之积为1.故

选D.

2、B

【解析】

5

试题分析：把x=-2代入关于x的一元二次方程X2--ax+a2=0

即：4+5a+a2=0

解得：a=-l或-4,

故答案选B.

考点：一元二次方程的解；一元二次方程的解法.

3、A

【解析】

连接BD,交AC于O,

•.•正方形ABCD,

；.OD=OB,AC1BD,

...D和B关于AC对称，

则BE交于AC的点是P点，此时PD+PE最小，

•.,在AC上取任何一点(如Q点)，QD+QE都大于PD+PE(BE),

此时PD+PE最小，

此:时PD+PE=BE,

:正方形的面积是12,等边三角形ABE,

.*.BE=AB=g=23

即最小值是2部，

故选A.

D

BC

【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，轴对称-最短路线问题等知识点的应用，关键是找出PD+PE

最小时P点的位置.

4、C

【解析】

脩,•・&+亚=&八播一3…晒+师=-炳+师，.•.原式=#-1+/-艰+…-

5/99+VlOO=-1+10=1.故选C.

5、D

【解析】

分析：已知等式利用完全平方公式整理后，利用多项式相等的条件求出a与b的值，即可求出a+b的值.

详解：已知等式整理得：x2+ax+19=(x-5)2-b=x2-10x+25-b,

NJ得a=-10,b=6,

则a+b=-10+6=-4,

故选D.

点睛：此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

6、C

【解析】

根据俯视图的概念可知，只需找到从上面看所得到的图形即可.

【详解】

解：从上面看易得：有2列小正方形，第1列有2个正方形，第2列有2个正方形，故选C.

【点睛】

考查下三视图的概念；主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形;

7、D

【解析】

分两种情形讨论当点尸顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①，由此即可解决问题.

【详解】

分两种情况讨论：①当点P顺时针旋转时，BP的长从JT增加到2,再降到0,再增加到户，图象③符合；

②当点尸逆时针旋转时，BP的长从J万降到0,再增加到2,再降到"，图象①符合.

故答案为①或③.

故选D.

【点睛】

本题考查了动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常

考题型.

8、D

【解析】

A、褥T表示81的算术平方根；B、先算.6的平方,然后再求-736的值;C、利用完全平方公式计算即可；D、］6：=廓•

【详解】

A、闻=9,故A错误；

B、-^（-6>=-736=-6,故B错误；

C、（JT+JT）2=2+2#+3=5+2#,故C错误；

D、］6：=>/而=4，故D正确.

故选D.

【点睛】

本题主要考查的是实数的运算，掌握算术平方根、平方根和二次根式的性质以及完全平方公式是解题的关键.

9、C

【解析】

由于其中一名学生想要知道自己能否进入前3名，共有7名选手参加，故应根据中位数的意义分析.

【详解】

由于总共有7个人，且他们的成绩各不相同，第4的成绩是中位数，要判断是否进入前3名，故应知道中位数的多少.

故选C,

【点睛】

此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义.反映数据集中程度的统计量有平均数、

中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用.

10、D

【解析】

【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a-b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，观察各选

项即可得答案.

【详解】由二次函数的图象可知，

a<0,b<0,

当x=-l时，y=a-b<0,

.♦.y=（a-b）x+b的图象经过二、三、四象限，

观察可得D选项的图象符合，

故选D.

【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，认真识图，会用函数的思想、数形结合

思想解答问题是关键.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、xy（x-y）

【解析】

原式RJ（X-J）.

故答案为孙（X~J）.

12、6+1

【解析】

延长GF与CD交于点D,过点E作EMDF交DF于点M,设正方形的边长为。，则CD=GF=DE=a,解直角

三角形可得。口,根据正切的定义即可求得NGCO的正切值

【详解】

延长GF与CD交于点D,过点E作EM，交DF于点M,

H

设正方形的边长为。，则CO=GF=£»E=a,

AFUCD,

NCDG=ZAFG=90,

ZEDM=120—90=30,

/T

DM=DE-cos30=*-a,

2

DF=2DM=底，

DG=GF+FD=a+邪a=+1X,

GDG+「

tanNGCD=J=-----------=J3+1.

CDa'

故答案为：/+i.

【点睛】

考查正多边形的性质，锐角三角函数，构造直角三角形是解题的关键.

13、x>l

【解析】

分别解出两不等式的解集再求其公共解.

【详解】

x-4>-3①

'4x>2②

由①得：x>l

_1

由②得：x>]

x■—4>-3

・,•不等式组V/。的解集是X>1.

4x>2

【点睛】

求不等式的解集须遵循以下原则：同大取较大，同小取较小.小大大小中间找，大大小小解不了.

14、①③④

【解析】

分析：根据两个向量垂直的判定方法一一判断即可;

详解：①'"xl-1)+卜2=0,

.•.0C与。力垂直；

②：cos30xl+tan45-sin60_+=J3,

22、

...OE与苏不垂直.

③...(73-V2)^3+V2)+(-2)xl=0,

与两垂直.

④：兀ox2+2x(-1)=0,

二次与两垂直.

故答案为:①③④.

点晴：考查平面向量，解题的关键是掌握向量垂直的定义.

15、4

【解析】

根据“距离坐标”和平面直角坐标系的定义分别写出各点即可.

【详解】

距离坐标是(1,2)的点有(12)，(-1,2),(-1,-2),(1,-2)共四个，所以答案填写4.

【点睛】

本题考查了点的坐标，理解题意中距离坐标是解题的关键.

16、55.

【解析】

试题分析：•.•把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35。，得到△A，B，C

：./ACA占35。，ZA=ZA\.

VZA,DC=90°,

/A'=55°.

ZA=55°.

考点：1.旋转的性质；2.直角三角形两锐角的关系.

5

17、

8

【解析】

m

利用P(A)=-,进行计算概率.

n

【详解】

从0,1,2,3四个数中任取两个则la-b|O的情况有0,0；1,1；2,2；3,3；0,1；1,0；1,2；2,1；2,3；3,

105

2；共10种情况，甲乙出现的结果共有4x4=16,故出他们“心有灵犀”的概率为可二6

1Oo

5

故答案是：6.

O

【点睛】

本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式.

三、解答题(共7小题，满分69分)

8兀

18、(1)60。;⑵证明略;(3)§

【解析】

(1)根据/ABC与ND都是劣弧AC所对的圆周角，利用圆周角定理可证出/ABC=/D=60。；

(2)根据AB是。O的直径，利用直径所对的圆周角是直角得到NACB=90。，结合NABC=60。求得/BAC=30。，从而

推出NBAE=90。，即OA_LAE,可得AE是。O的切线；

(3)连结OC,证出△OBC是等边三角形，算出NBOC=60。且。O的半径等于4,可得劣弧AC所对的圆心角

ZAOC=120°,再由弧长公式加以计算，可得劣弧AC的长.

【详解】

(1)ABC与/D都是弧AC所对的圆周角，

.".ZABC=ZD=60°；

(2)AB是AO的直径,

..ZACB=90°.

/.ZBAC=30°,

ZBAE=ZBAC+ZEAC=30o+60°=90°,

即BA±AE,

；.AE是。O的切线；

(3)如图，连接OC,

B

VOB=OC,ZABC=60°,

AOBC是等边三角形，

；.OB=BC=4,ZBOC=60°,

.".ZAOC=120°,

120TI/?12071.4871

劣弧AC的长为180=180=3

【点睛】

本题考查了切线长定理及弧长公式，熟练掌握定理及公式是解题的关键.

19、见详解

【解析】

根据角平分线的定义可得NABD=/CBD,然后利用“边角边”证明△ABD和^CBD全等，根据全等三角形对应角相等

可得/ADB=NCDB,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可.

【详解】

证明：：BD为NABC的平分线，

/.ZABD=ZCBD,

在4ABD和4CBD中,

AB=BC

«NABD=NCBD

BD=BD

..△ABD^ACBD(SAS),

.".ZADB=ZCDB,

.•点P在BD上，PM±AD,PN1CD,

.\PM=PN.

【点睛】

本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到

ZADB=ZCDB是解题的关键.

1c6

20、(1)y=--x+2,y=-—；(1)2.

2x

【解析】

试题分析：（1）先求出A、B、C点坐标，用待定系数法求出直线AB和反比例的函数解析式；

（1）联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点D的坐标，从而根据三角形面积公式求解.

AOCE1

试题解析：（1）VOB=4,OE=1,；.BE=l+4=3.；CE_Lx轴于点E,tanZABO=—=—=-,；.OA=1,CE=3,

BOBE2

.•.点A的坐标为（0,1）、点B的坐标为C（4,0）、点C的坐标为（-1,3）,设直线AB的解析式为y=Ax+b,

b—2k=——1m

则,c，解得：\2,故直线AB的解析式为y=-K》+2,设反比例函数的解析式为y=—（相。0）,

4女+〃=0,.2x

i[o=2

in6

将点C的坐标代入，得3二、，・・.m=-3.，该反比例函数的解析式为y二一一；

-2x

6

y=—―

X

（1）联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式可得J；，可得交点D的坐标为（3,-1）,则ABOD

y=--x+2

[2

的面积=4xl+l=l,△BOD的面积=4x3+l=3,故△OCD的面积为1+3=2.

考点：反比例函数与一次函数的交点问题.

21、（1）详见解析;（2）30°.

【解析】

（1）根据线段垂直平分线的作法作出AB的垂直平分线即可；

（2）连接PA,根据等腰三角形的性质可得/R钻=/8,由角平分线的定义可得NP46=NPAC,根据直角三角

形两锐角互余的性质即可得/B的度数，可得答案.

【详解】

_1

（1）如图所不：分别以A、B为圆心，大于2AB长为半径圆弧,两弧相交于点E、F,作直线EF,交BC于点P,

：EF为AB的垂直平分线，

：.PA=PB,

点P即为所求.

以

（2）如图，连接AP,

•；PA=PB,

ZPAB=ZB,

：AP是角平分线，

NPAB=ZPAC,

NPAB=APAC=ZB,

ZACB=90°,

ZPAC+ZPAB+ZB=90°,

.*.3ZB=90o,

解得:ZB=30°,

当NB=30°时，AP平分ZCAB.

本题考查尺规作图，考查了垂直平分线的性质、直角三角形两锐角互余的性质及等腰三角形的性质，线段垂直平分线

上的点到线段两端的距离相等；熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键.

22、见解析

【解析】

根据角平分线的定义可得NABF=NCBF,由已知条件可得/ABF+NAFB=NCBF+NBED=90。，根据余角的性质可得

ZAFB=ZBED,即可求得NAFE=NAEF,由等腰三角形的判定即可证得结论.

【详解】

VBF平分/ABC,

:.ZABF=ZCBF,

VZBAC=90°,AD±BC,

:.ZABF+ZAFB=ZCBF+ZBED=90°,

/.ZAFB=ZBED,

VZAEF=ZBED,

/.ZAFE=ZAEF,

.\AE=AF.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的性质，根据余角的性质证得/AFB=/BED是解题的关键.

23、(1)得-；(2)MONC=5；(3)a+)的最小值为2J亍；(4)以MN为直径的一系列圆经过定点£),此定点。

在直线AB上且CD的长为.

【解析】

(1)由题意得4。=。5=2、0C=3、4c=5、BC=1,根据MC=ACtan/A=些、CN=—"•，==JT可得答

3tanNBNC

案；

MCAC

(2)证△ACMsaNCB得罚=击，由此即可求得答案；

oC/VC

(3)设MC=Q、NC=b,由⑵知必=5,由P是圆上异于A、8的动点知Q＞0,可得。=怖(。＞0),根据反比例函数的

性质得不存在最大值，当a=/＞时，4+6最小，据此