椭圆中的定点、定值-2024年新高考数学含答案

椭圆中的定点、定值-2024年

新高考数学含答案

椭圆中的定点、定值

题目1(2023春•河北石家庄•高二校考开学考试)已知椭圆C：4+多=1,直线Z：y=for+就上＞0)与

椭圆。交于M,N两点,且点M位于第一象限.

(1)若点A是椭圆。的右顶点，当门=0时，证明：直线厶”和AN的斜率之积为定值；

(2)当直线Z过橢圆。的右焦点F时，T轴上是否存在定点P,使点F到直线NP的距离与点尸到直线

的距离相等？若存在，求岀点P的坐标;若不存在，说明理由.

题目区(2023・全国•模拟预演U)在平面直角坐标系xOy中，A(-2,0),B(2,0),M(-l,0),N(l,0),点P是平

面内的动点，且以AB为直径的圆O与以为直径的圆。内切.

(1)证明\PM\+|PN|为定值，并求点P的轨迹Q的方程.

(2)过点A的直线与轨迹Q交于另一点Q(异于点B)，与直线x=2交于一点G,ZQNB的角平分线与直

线劣=2交于点H,是否存在常数人使得BH=ABG恒成立？若存在，求出1的值;若不存在，请说明理

由.

题目万<2023•全国•高三专题练习)仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而又及其巧

妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，具体解题方法为将+£=l(a>b>0)由仿射

orb~

变换得：/=丄，？/=9则椭圆父■+¥=i变为^+y'2=1，直线的斜率与原斜率的关系为k'=长，然后

联立圆的方程与直线方程通过计算韦达定理算出圆与直线的关系，最后转换回椭圆即可.已知椭圆。

考■+乌=l(a>b>0)的离心率为造，过右焦点后且垂直于2轴的直线与。相交于AB两点且AB=

ab5

笆⑤,过椭圆外一点P作椭圆。的两条切线厶，。且厶丄厶2,切点分别为M，N.

(1)求证：点P的轨迹方程为x2+y2=9；

(2)若原点O到厶,12的距离分别为4,d?,延长表示距离心,心的两条直线,与椭圆。交于F,W两点，过

。作OZ丄yw交yw于z,试求:点z所形成的轨迹与p所形成的轨迹的面积之差是否为定值,若是，

求出此定值;若不是，请求出变化函数.

•2•

I题目］Wj(2023•湖南•湖南碑大府中校联考模拟預测)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆W：三+y=1

Q-O

(a>b>0)的离心率为乌，椭圆W上的点与点P®2)的距离的最大值为4.

(1)求椭圆W的标准方程；

(2)点3在直线7=4上，点B关于a;轴的对称点为0,直线PB,PB｛分别交椭圆W于CD两点(不同于

P点).求证:直线8过定点.

题目51(2023卷•四川眉山•方二校孝阶盘练习)已知椭圆+¥=l(a>b>0)的离心率为空,短轴

a'b'2

长为2.

(1)求椭圆。的标准方程；

(2)点0(4,0),斜率为k的直线I不过点。，且与椭圆。交于A,B两点，ZADO=NBDO(O为坐标原点).

直线，是否过定点？若过定点，求出定点坐标;若不过定点，说明理由.

•3•

题目6(2023•内蒙古赤峰•校取才模楸預《1)已知椭圆C：皆+着=l(a>b>0)的离心率为/，且经过点

(述,2),椭圆。的右顶点到抛物线艮7=2終c(p>0)的准线的距离为4.

(1)求椭圆。和抛物线E的方程；

(2)设与两坐标轴都不垂直的直线，与抛物线E相交于4B两点，与椭圆。相交于M,N两点，。为坐标

原点，若瓦？•厠=—4,则在土轴上是否存在点H,使得工轴平分/MHN?若存在，求出点H的坐标;若

不存在，请说明理由.

I题目7；(2023.宁夏.六套山為越中学校才一模)已知椭圆E：岑+4=1(«>6>0)的左、右焦点分别为E,

Q-0~

号上顶点为B，若△EBE为等边三角形，且点P(/)在椭圆E上.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设橢圆E的左、右顶点分别为4,42,不过坐标原点的直线Z与椭圆E相交于4、B两点(异于椭圆E

的顶点)，直线厶4、氏42与？/轴的交点分别为河、N,若|CW|=3|OM，证明：直线过定点,并求该定点的

坐标.

•4•

I题目8i(2023•江苏扬州仪征中学校才模拟預測)已知E(-2,0)，E(2,0)为椭圆£;：4+£=l(a>b>0)

a~b~

的左、右焦点，且厶(2,日)为椭圆上的一点.

(1)求椭圆E的方程；

2

(2)设直线y=—2/+1与抛物线y=2PMp>0)相交于P,Q两点,射线FtP,RQ与椭圆E分别相交于M

、N.试探究:是否存在数集。，对于任意p€D时,总存在实数3使得点£在以线段MN为直径的圆内？

若存在，求出数集。并证明你的结论:若不存在,请说明理由.

I题目9(2023.B川帰MB川看鼻用南山中学校才模拟預測)已知椭圆。：孑■+看•=l(a>b>0)的左、右

顶点分别为此、昭,短轴长为2肉点。上的点P满足直线、P%的斜率之积为号.

(1)求。的方程；

(2)若过点(1,0)且不与y轴垂直的直线I与。交于A、B两点，记直线財A、MB交于点Q.探究:点Q

是否在定直线上，若是，求岀该定直线的方程;若不是，请说明理由.

•5•

题目101(2023•全国•高三专题练习)如图，椭圆E：W+g=l(a>b>0)内切于矩形/BCD,其中厶B,

a；b~

CD与x轴平行，直线4。，BD的斜率之积为一/，椭圆的焦距为2.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)椭圆上的点P,Q满足直线OP,OQ的斜率之积为-/,其中O为坐标原点.若河为线段PQ的中点,

贝iJ|MCf+|MQ|2是否为定值？如果是，求出该定值;如果不是，说明理由.

16,

I题目1?〕(2023春.湖北裏用.高三裏用五中校考阶段练习)己知离心率为陰的椭圆。：4+£=

2a'b'

l(a>b>0)的左焦点为F,左、右顶点分别为4、4,上顶点为B,且ZVliBF的外接圆半径大小为

(1)求椭圆。方程；

(2)设斜率存在的直线I交椭圆C于P,Q两点(P,Q位于X轴的两侧)，记直线4P、AF、4Q、AQ的斜

率分别为自、后、融、心，若均+均=^1•(居+融)，求△人蛇面积的取值范围.

题目以1(2023•江西南曷看模板預測)已知4(2,0),3(0,1)是椭圆用兴+/=13>6>0)的两个顶

点.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)过点P(2,l)的直线I与椭圆E交于C,D,与直线AB交于点求舞^+的值.

•7・

I题目(2023•江苏推城.校才三模)已知椭圆。疋+4=l(a>b>0)的左、右焦点分别为回，取点厶

Q~b~

在。上，当月回丄/轴时，|厶园=］；当|厶理=2时，/用4£=冬.

(1)求。的方程；

(2)已知斜率为一1的直线I与椭圆C交于M,N两点,与直线①=1交于点Q,且点刊，N在直线2=1的

两侧，点P(l,。(t>0).若［叱|•WQ|=\MQ\-|MP|,是否存在到直线I的距离d=血的尸点？若存在,

求t的值;若不存在,请说明理由.

题目川(2023•全♦•高三寿惠练习)已知椭圆。：名+4=l(a>b>0)与椭圆(+苧=1的离心率相

b~a~

同，P(乌,1)为椭圆C上一点.

(1)求椭圆。的方程.

(2)若过点Q(/,0)的直线，与椭圆。相交于A,B两点,试问以AB为直径的圆是否经过定点T?若存

在，求出T的坐标;若不存在,请说明理由.

18,

I题目冋(2023•广东广州•广州市从化区从化中学校考模板預测)已知双曲线C：4-£=l(a>0)的左、

Q~3al

右焦点分别为凡E，且E到。的一条渐近线的距离为心.

(1)求。的方程；

(2)过。的左顶点且不与①轴重合的直线交。的右支于点R,交直线于点P,过E作PE的平行线，

交直线朋于点Q,证明：Q在定圆上.

题目16(2023&湖南常卷高二桂讓县第一中学校才开学才试)如图，椭圆M：%+q=1(a>b>0)的

a~b

两顶点4一2,0),。(2,0),离心率6=坐,过旷轴上的点乞(0")(罔〈4,叱0)的直线2与椭圆交于。,。

两点,并与x轴交于点P,直线4。与直线BD交于点Q.

⑴当1=24且CD=4时,求直线，的方程；

⑵当点P异于力，B两点时，设点尸与点Q横坐标分别为xP,狈,是否存在常数4使工尸％=久成立，若存

在，求出4的值:若不存在,请说明理由.

•9•

I题目叵)(2023&B川建宁•高校考阶段练习)已知椭圆C：4+¥=l(a>b>0)过点

a-b~

(1,萼)，且离心率为乌.

(1)求椭圆。的方程：

(2)已知直线Z:?=mc+2与椭圆交于不同的两点P,Q,那么在立轴上是否存在点M,使MF=MQ且

丄MQ,若存在，求出该直线的方程;若不存在,请说明理由.

22

题目|181(2023春•陕西西安•高二陕西为大附中校才期木)已知椭圆。：%+当=l(a>b>0)的左顶点

Q-b'

为)A,P为。上一点,O为原点，|PA|=\PO\,/APO=90\4ApO的面积为1.

(1)求椭圆。的方程；

⑵设B为。的右顶点，过点(1,0)且斜率不为0的直线Z与。交于M,N两点，证明：3tanZAMB=

ta.nZ.NBA.

■10•

题目国（2023M川内江•校考模板預測）在平面直角坐标系吟/中，动圆P与圆G：（2+1尸+才=費内

切,且与圆G：Q—1）之+娟=：外切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C

（1）求曲线。的方程；

（2）设曲线。的左、右两个顶点分别为4、厶2，7为直线厶劣=4上的动点，且T不在工轴上，直线与C

的另一个交点为河，直线T4与。的另一个交点为N,F为曲线。的左焦点,求证：AFMN的周长为定

值.

题目2。（2023.B川峰相.四川看曲用南山中学校考三模）已知椭圆。的焦点为月（一，^,0）,昌（蓼,0）,且。

过点E（血,1）.

（1）求。的方程；

（2）设力为椭圆。的右顶点，直线2与椭圆。交于P,Q两点，且P,Q均不是。的左、右顶点，同为PQ的

中点.若黑试探究直线’是否过定点？若过定点，求出该定点坐标;若不过定点，请说明理由.

■11­

椭圆中的定点、定值

题目]TJ（2023春•河北石案庄•高二M才升学考诚）已知椭圆C：q+年=1,直线厶y=for+就上＞0）与

椭圆。交于M,N两点，且点M位于第一象限.

（1）若点A是椭圆。的右顶点，当门=0时，证明：直线厶”和AN的斜率之积为定值；

（2）当直线Z过橢圆。的右焦点F时，T轴上是否存在定点P,使点F到直线NP的距离与点尸到直线

的距离相等？若存在，求岀点P的坐标;若不存在，说明理由.

【答案】（1）见解析；

（2）存在，尸（4,0）.

【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程得（1+2二）02一8=0,由韦达定理可得如旳的关系，再由拈4“•七N=

SL计笄即可得证;

Xi—2A/2X2-2A/2

⑵由题意可得直线，的方程为^=M；r-2）,联立直线方程与椭圆方程得（1+2fc2）x2-8fc2x+8（fc2-l）=

0,由韦达定理旳，旳之间的关系，假设存在满足题意的点P,设P（m,0）,由题意可得kPM+kPN=0.代入计

算，如果m有解，则存在，否则不存在.

【详解】（1）证明：因为n=0,所以直线，：y=kx,

联立直线方程和椭圆方程:xW-8=0，得（―。，

设M（翁，仪）,N（旳,功）,

O

则有为+旳=0,6]/2=（21,

所以期曲=后电旳=—

1:I:Z/以K,

又因为力（2，2,0）,

所以統"产己安’'員海，

8-8炉

所以如“•人,，=3_______L=________幽________=%如:―1+2/=一1+2従二

x-2V2rr-2V2gg—2口（电+防）+8①逆?+8——+816K

21+2M1+2fc-

8卜2=1

一封一一万

所以直线4A1和厶N的斜率之积为定值一g：

（2）解:假设存在满足题意的点P,设P（m,0）,

因为椭圆。的右焦点F（2,0）,所以2k+n=0,即有n=-2k,

所以直线，的方程为y=k（x—2）.

由｛^2^=0，可得（1+2於）弘22+8（标一1）=0,

设M（g，U3），N（g，Ui），

8k2____8(fc2-1)

则有g+g=T,X3X4一~:

l+2fc21+2k2

因为点F到直线NP的距离与点尸到直线MP的距离相等,

所以PF平分NMPN,

所以^PM+kpN=0.

•1•

Vt,ViMg-2)Mg-2)/C(X-2)(x-m)+k(x-m)(x-2)_

用J---------1------------=--------------1-------------=-------3---------4----------------3-----------4------=

x3-mx-mx3-mxA-m(a;3-m)(x4-m)

fc[2x3x4—(m+2)(g+g)+4m]_0

(x3-m)(g—TH)

又因为k>0,

所以2gg—(m+2)(x3+x4)+4m=0,

代入丄一8k2一882—1)

代入g+g=Tz/'旳叫

即有処二单二0,

l+2k2

故0轴上存在定点P(4,0),使得点F到直线NP的距离与点F到直线MP的距离相等.

题目0(2023•全国•模拟預测)在平面直角坐标系xOy中，厶(一2,0),R(2,0),M(-l,0),N(l,0)，点P是平

面内的动点,且以厶R为直径的圆。与以PM为直径的圆Oi内切.

(1)证明\PM\+\PN\为定值,并求点P的轨迹。的方程.

(2)过点厶的直线与轨迹。交于另一点Q(异于点B),与直线Z=2交于一点G,/QNB的角平分线与直

线式=2交于点H,是否存在常数人使得BH=4万苕恒成立？若存在，求出4的值;若不存在，请说明理

由.

【答案】(1)证明见解析,+V*=1

(2)存在

【分析】⑴依题意可得QOJ=2—号]，连接PN,可得QOi|=，即可得至U\PM\+|PN|为定值，

根据椭圆的定义得到点P的轨迹是以“，N为焦点的椭圆，且2a=4,c=l,即可求出椭圆方程；

⑵设Q(班加)，3(2,%)，5(2,仏)，直线AQ的方程为c=S/-2(m#0),即可得到皿=丄，再联立直线

幼

与椭圆方程，解出川,从而得到kQN,kNH,设NBNH=。，再根据二倍角的正切公式得到方程，即可得到y2

=4%，从而得解；

【详解】(1)解：如图，以A8为直径的圆。与以PM为直径的圆J内切，

则…|OOi|=弓\AB」\一\PM\=2-\PM\

连接PN,因为点。和O1分別是MN和PM的中点，所以|OO]|=号".

故有f=2一号红，即\PN\+\PM\=4,

■2•

又4>2=|MN],所以点P的轨迹是以A/,N为焦点的椭圆.

22

因为2a=4,c=l,所以h2=a2—c2=3,故。的方程为9+3~=1.

4o

理由如下：设Q（旳，物），G（2,小），H（2,g）.显然劭3>0.

依题意，直线4Q不与坐标轴垂直，设直线4Q的方程为z=7ng—2（7n#0）,

因为点G在这条直线上，所以771%=4,m=

22

联立::誉得(3m+4)y-12m?Z=0的两根分别为讥和0,

JN十初一12,

12mc6m2—8

则浹：:―-，例=my-2=,

3m2+4Q3m2+4

1277?,

3m2+44m_4^i

所以LQN=.T，向阳=y.

力0-167n2—8_1m2—44一筑2

3m24-4

设乙BNH=夕，贝“NBNQ=2仇贝“kQN=tan2^,kNH=tan。，

所以tan26==3丁=，整理得（汕一2的）（幼的+2）=0,

1卢-ta％n~61一統4一婚

因为yiVi>0,所以y「2yF0,即y2=yyt.

故存在常数1=0,使得丽=ABG.

题目J（2023•全国•高三专题练习）仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而又及其巧

妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，具体解题方法为将C：4+£■=l（a>b>0）由仿射

ab

变换得：/=丄，/=则椭圆4+4=1变为才+式2=1,直线的斜率与原斜率的关系为川=白,然后

联立圆的方程与直线方程通过计算韦达定理算出圆与直线的关系，最后转换回椭圆即可.己知椭圆&

4+冬=13>6>0）的离心率为参，过右焦点用且垂直于立轴的直线与C相交于AB两点且43=

ab~5

•3・

啓⑤,过椭圆外一点P作椭圆。的两条切线小厶且厶丄厶,，切点分别为M,N.

5

⑴求证:点P的轨迹方程为x2+y2=9；

⑵若原点O到厶，厶2的距离分别为4,距延长表示距离4,d2的两条直线,与椭圆。交于匕W两点，过

。作OZ丄yw交YW于z,试求:点z所形成的轨迹与p所形成的轨迹的面积之差是否为定值,若是，

求出此定值;若不是，请求出变化函数.

【答案】（1）证明见解析

（2）是定值，定值为号兀

【分析】（1）利用仿射变换将椭圆方程变为圆的方程，设原斜率分别为瓦，居，鼠灯=-1,则变换后斜率k\-k'2

—7心也,设变换后坐标系动点QQo.Uo），过点Q（小劭））的直线为l：y—y（）=k（x—xQ），将圆的方程和直线

方程联立，利用直线和圆相切结合韦达定理求解即可;

⑵由图中的垂直关系，利用等面积法标e釦和静+品=

Qy『+Qwf

।।，结合椭圆的性质求解即可.

|oy|2|ow|2Qw|2Qy|2

【详解】（1）由仿射变换御：/=2•，/=¥■,则椭圆名+*=1变为d+j/2=1

abab~

设原斜率存在分别为品，fc2,卜加2=一1,变换后为丛=生机,k：尸牛员,所以卜卜技=色*陷=—4=&-1,

b'bb2"b2

设变换后的坐标系动点Q（g,g（））,过点Q（的，窝）的直线为l:y—y（）=k（x—

l:kx—y—（fcx0—?/o）=0到原点距离为d=.吁）」=1,

Vfc%l

即（kg-%）JAr+1n（XQ—1）k~—2x（｝y（）k+y（-l—0,

由韦达定理得：总同=聾二丄=—g,化简得：a2xt+b2y^a2+b2

視一1b2

由于原坐标系中x（）=—,y（）=J=>%=ag,g=by［｝

ab

所以在原坐标系中轨迹方程为：/+才=«2+匕2,

|e=5=噂［済=5

由（&，解得］，所以点P的轨迹方程为一+/=9,

丄=4V5匕=4

va5

当切线斜率不存在时，由椭圆方程弓—F2-=1易得P点在x1-\-y2=9上.

54

⑵如图所示延长oy交。于N,延长ow交厶于“，

由题意可知NGPM=AOGP=4）HP=1，所以四边形OGPH为矩形，/丫。W=1,

所以％~/。件。昨斎心冈且淅+册=端谭齐瑞翳,

•4・

|YW|*2*84s2111

分子分母同乘|OZ『得2+2

\OW\2\OY\24|OZ|2s2QZ|2|oy|\ow\'

因为oy丄ow,当直线oy,o卬斜率存在时，设iOY-y=上巡，iow-y,

i

由十/一丄=解得点:aVMl，所以。力2=嘤普'

"a?成

,y-晩c0~rd必

偿+营=1

鈕浮2附储2a2b2aV(l+^)

由解得,.，Vw=,,,,,，所以QW|=52,「，

[y=~ixb2ki2,+a~2b~k§+a2b'k^a

,2

11〃十0竭b%+Q：a2+b2

所以2+a2fe2(l+硝+a262(l+确9,2'

|oy|\ow\|2a'b

当斜率不存在时仍成立，

所以曲=噥'磁3小心舞20

9

所以Z所形成的轨迹与P所形成的轨迹的面积之差=（9一日）兀=?兀是定值.

题目1（2023•湖南•湖南押大附中校展考模根預测）在平面直角坐标系吟/中，已知椭圆W：Z+4=1

a~b~

（a>b>0）的离心率为券，椭圆W上的点与点P（0,2）的距离的最大值为4.

（1）求椭圆W的标准方程；

（2）点3在直线c=4上，点B关于c轴的对称点为3”直线PBP6分别交椭圆W于两点（不同于

P点）.求证:直线CD过定点.

【答案】⑴4+¥=1

84

（2）证明见解析

【分析】（1）根据离心率可得a=V26=V2c,设点T（m,7i）结合椭圆方程整理得\TP\=

丿一（n+2）2+8+2/,根据题意分类讨论求得b=2,即可得结果：

（2）设直线8及C,。的坐标，根据题意结合韦达定理分析运算，注意讨论直线。。的斜率是否存在.

【详解】（1）设椭圆的半焦距为c,由椭圆W的离心率为際•，得a=，^b=2c,

22

设点T（m,n）为椭圆上一点，则卫J+勺=1,—b&nWb,则m2=2b~—2n2,

2bb~

因为尸（0,2）,所以|7F|=（n-2）2=V2fe2-2n2+n2-4n+4=/一（++2尸+8+2/,

①当0VbV2时，|TP|m==J—（—b+2y+8+2七=4,解得b=2（舍去）;

②当b，2时，|TPQax=丿8+2b?=4,解得b=2:

综上所述：b=2,则a=2V2,c=2,

故椭圆W的标准方程为名—F=1.

84

⑵①当CD斜率不存在时，设C（g,讥）,-2V2<gV2A/2且“W0,则。⑶,一讥），

则直线CP为g=—~~—X+2,令0=4,得9=4枷/+2,

gg

即B（4,处父■+2）,

•5・

同理可得Bi（4,-4：L8+2）

•••B与B1关于/轴对称,则4y0~8+2+一4妬一8

---4-2=0,

60

解得的=4>2V2,矛盾;

②当直线CD的斜率存在时，设直线8的方程为？=故+小，山r2,

设5为期），。（如例），其中劣110且入2、0,

y=kx+m

2

x2£_，消去g化简可得(2庁+1)/+4fcmx+2m-8=0,

{T+T=1

22222

△=16A;W-4(2A:+1)(2m-8)=8(8fc+4-n?)>o,则m<8/c+4,

2病一8

所以xt+x=，为旳=

21+2/？

由P(0,2),可得kpc=近2,3%三2,

C]JCO

所以直线PC的方程为g=—■—―1+2,令1=4,得沙=—―+2,

即（4,實+2）,

直线PD的方程为g=———X+2,令立=4,得夕=—―+2,

即(4,包*+2),

因为8和B关于/轴对称，则&二9+2+也二^+2=0,

gx2

,,八、、i1、-4(kxi+m)-8入4(fcx+m)—8八八

扌巴y产kfxi+my=fcx+m代入上式，则--------------F2H----------2--------------1-2=0,

f22X1X-2

整理可得(1+2fc)x1x2+(m—2)(11+/2)=0,则(1+2k)x~+(m-2)x―@吟=0,

•・・mW2,则小一2Ho，可得(l+2k)x(m+2)-2km=0,

化简可得小=一4k一2,

则直线CD的方程为。=k力-4k-2,即g+2=k（力-4）,

所以直线过定点（4,-2）：

综上所述：直线CD过定点（4,-2）.

【点睛】方法定睛：过定点问题的两大类型及解法

（1）动直线Z过定点问题.解法：设动直线方程（斜率存在）为0=kc+九由题设条件将力用k表示为力=

mk,得y=k（x+m）,故动直线过定点（―m,0）.

16,

(2)动曲线。过定点问题.解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等

于零，得出定点.

题目5(2023*M川眉山廣二校才阶段练习)已知椭圆。：5+鸟=l(a>b>0)的离心率为空，短轴

ab2

长为2.

(1)求橢圆。的标准方程；

(2)点0(4,0),斜率为k的直线I不过点。，且与椭圆。交于力，B两点，/4OO=NBDO(O为坐标原点).

直线Z是否过定点？若过定点，求出定点坐标;若不过定点，说明理由.

【答案】⑴〈+才=1：

⑵过定点，(1,0).

【分析】(1)根据已知条件列方程即可解得a,b值，方程可求解；

(2)设直线/的方程为y=板+m,联立椭圆方程结合韦达定理得g,g关系，又ZADO=4BDO得kAD

+晩0=0,代入坐标化简即可求解.

26=2

【详解】(1)由题意可得•£=乌，解得。2=4,/=1

c2=a2-62

所以椭圆。的标准方程为+y~=1.

4

(2)设直线Z的方程为y=kx+mfA(xhy^,3(羯佻)

y=kx+m

联立

4+y-1

整理得(4k2+l)x2+8k7nx+4m2—4=0,

则△=(8km)2-4(4k2+l)(4zn2_4)>o,即4fc2-m2+l>0

4m2—4

8km=

又X]+X2=—-----------,X\X->—--------

4fc2+l_4fc2+l

因为ZADO=ZBDO,所以kAD+kBD=0,

V\,y-2(kah+m)(旳-4)+(kg+m)(为-4)

电一4电一4(Xi-4)(X2-4)

所以2fcrg+(m—4k)(2i+g)—8m=0,

即2k•4+(m—4fc)•(——)—8m=0

4k2+1V4fc2+l>

整理得8k+8m=0,即m=—k,此时△=3fc2+l>0

则直线2的方程为沙=如一拈,故直线2过定点(1,0).

题目6(2023.内蒙古赤峰.校取考模根預測)已知椭圆C：g+考•=：!(&>b>0)的离心率为J,且经过点

cib2

2)，椭圆。的右顶点到抛物线E:y2=20rMp>0)的准线的距离为4.

(1)求椭圆。和抛物线E的方程；

(2)设与两坐标轴都不垂直的直线I与抛物线E相交于力，B两点,与椭圆。相交于M,N两点，O为坐标

原点，若35•9=—4,则在z轴上是否存在点H,使得工轴平分4MHN?若存在，求出点H的坐标:若

不存在，请说明理由.

•7•

【答案】⑴4+需=1;婿=4刀

丄/J

⑵存在；方墙,0）

【分析】（1）依题意得到方程组，即可求出从而得到椭圆方程，再求出椭圆的右顶点，即可求出P,从

而求出抛物线方程：

⑵设直线I的方程为n=k"+m,4%％）,仍），联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根

据OA-OB=-4得到n1=—2阮再假设在z轴上存在点”（网,0）,使得/轴平分NMHN,则直线HM的斜

率与直线HV的斜率之和为0,设M（g,的），N（g,必），联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由

物+"=0,即可求出窃,从而求出H的坐标；

力3一60X4—X0

【详解】⑴解：由已知得《4+1,二Q2=12,b2=9.

a-b~

〔巒=624-C2

椭圆。的方程为需+r=1.

椭圆。的右顶点为（3,0）.

，3+/=4,解得p=2.

・•・抛物线E的方程为y2=4x.

（2）解：由题意知直线I的斜率存在且不为0.

设直线，的方程为y=kx+m,力（如仇）,Bl%%）,

由（“2_+='消去g,得fc2x2+（2fcm—4）rc+m2=0.

/.A]=（2km—4）2—4fc2m2=-16kni+16>0,km<1.

2

/.yiy2=(kXi+m)(kx2+rn)=k2gg+km(g+%2)+m

km(4-2km)4m

=­F—+22m=­•

：.OA-OB=电及+沙田2=簽+华1=-4・

k2k

+2)=0,~~—2.tn-—-2fc，此时km——2krV1.

'fc'k

.,.直线Z的方程为y=k(rc—2).

假设在re轴上存在点”(附0)，使得工轴平分乙MHN，

则直线的斜率与直线HV的斜率之和为0,

设M(g,y3),N(g,g),

[y=fc(.r—2)

由《支_竝一消去y,得(3/?+4)/-12k24+12/-36=0.

E+g=1

/.4=(12fc2)2-4(3fc2+4)(12fc2-36)>0,5fc2+12>0恒成立.

12k2-36

J.X:l+X4—

旳一例g一小

18,

辰*3-2)(费一的)+k(g-2)(g-%)=0.

二2旳4L(Co+2)(g+g)+4±o=0.

二攀爰一⑶+2)黑+4为=0.

；・墨善=0.解得。尸小

.•.在z轴上存在点"(3，°)，使得z轴平分NMHN.

【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理法在圆锥曲线综合中的应

用，属于难题；在解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三

角形的面积等问题.

题目71(2023•宁夏•六叠山高載中学校考一模)已知椭圆E:5+¥=l(a>b>0)的左、右焦点分别为E，

ab-

&上顶点为5,若△EB内为等边三角形，且点叩用在椭圆E上.

(1)求椭圆E的方程：

(2)设椭圆E的左、右顶点分别为厶1,42,不过坐标原点的直线，与椭圆E相交于厶、3两点(异于椭圆E

的顶点)，直线厶4、34与夕轴的交点分别为M、N,若QN|=3|QM|,证明:直线过定点,并求该定点的

坐标.

【答案】⑴与+干=1

(2)点(1,0)或(4,0)

【分析】(1)由已知条件,椭圆的定义及a,b,c的关系可知a2=4<?和/=3。2,再设出椭圆的方程，最后将点

代入椭圆的方程即可求解；

(2)设点厶(g,仇)，B(①出")，由直线44的方程即可求出点河的坐标，由BA.,的方程即可求出点N的坐

标，由已知条件可知5(电+。2)—2]m2—8=0,分直线AB的斜率存在和直线AB的斜率不存在两种情况

分别求解，得出直线48的方程，即可判断出直线恒过定点的坐标.

【详解】(1)V△片BE为等边三角形，且BEI+田內|=2a,

:.a=2c,

又•/a2=b2+c2,b2=3c2,

设椭圆的方程为力H—=1，

4c23c2

将点p(l,y)代入椭圆方程得击+~~=1,解得c2=1,

所以椭圆E的方程为——F~~—1.

43

(2)由已知得4(—2,0),4(2,0),设厶(电，伪),8(孙纺),

则直线44的斜率为Tk，直线441的方程为？=一%3+2),

电+2为+2

即点河坐标为(o,3r),

\Xi+2/

直线BA；的斜率为丄7r，直线AA,的方程为y=半-2),

力2-2g—2