考点6 函数的概念及其表示（精讲）-2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）（解析版）

第6讲函数的概念及其表示

知识点1函数的有关概念

1.函数的概念

函数

两集合A,BA,B是两个非空数集

对应关系如果按照某种确定的对应关系/,使对于集合4中的任意一个数x,

/：4一3在集合B中都有唯一确定的数Z(x)与之对应

名称称丘士辿为从集合A到集合B的一个函数

记法y=f(x),xGA

注：①函数的实质是力1一个非空集合到另一个非空集合的映射.

②直线x=a与函数y=/(x)的图象至多有1个交点.

③在函数的定义中，非空数集4,B,A即为函数的定义域，集合8不一定是函数的值

域，它包含了函数的值域，即值域是集合8的子集；

知识点2函数的定义域、值域

(1)函数y=_/U)且变量取值的范围A叫做函数的定义域；函数值的集合｛/U)lxG変叫做

函数的值域；

(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应法则完全一致,则这两个函数为相等函数.

注：①函数三要素：定义域、值域、对应法则.

②同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.

③若两函数的值域与对应关系相同，则两函数不一定相同，如：y=*2(xK))与y=/.

知识点3函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

解析法(最常用)图象法(解题助手)列表法

就是把变量X,y之间的关系

就是把％,y之间的关系绘制就是将变量x,y的取值列成

用一个关系式y=/(x)来表

成图象，图象上每个点的坐标表格，由表格直接反映出两者

示，通过关系式可以由x的值

就是相应的变量X,)'的值.的关系.

求出y的值.

知识点4分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系,这样的

函数通常叫做分段函数.

注：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数在书写时要用大括号把各段函

数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围;其次，一个函数只

有一个定义域，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形

式.写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏;最后，求分段函数的值域，是分别求出各

段上的值域后取并集.另外，作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象

时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别

注意接点处点的虚实，保证不重不漏。

現家法1

配方法—

分通常侬去f

後元法--手由数的值域1

判别式法一

同一话数的刘凯

學剛生法--考点四求函数的值域

基布不等式法丿

「未具体函数的定义域

己都的致值或手岁数丿

考点二求函数的定义域--求盘》密数的定义域

L進用函数的定义域

己如自交量的值手整数值1

已知毘数值家自变量⑤值f

「待定半數法

-分段雷数求值C

分段第数与不等式的垮台-

一酝县法

分段函数国"考点五分段函数

-

学分段函数的通域或盘值丿考点三求函数的解析式-

-利用函数的奇值性求解析式

一构造方程由法

J載值法

1、（2021•浙江）已知aeR,函数/"（尤）=卜一,了’2,若八人拓））=3,贝！）〃=

[|x-3|+q,x,2-

【解析】因为函数Ax）/-—。>？，

[\x-3\+a,x„2

所以/（栃）=（6）2-4=2,

贝U/（/（逐））=/（2）=|2-3|+。=3,解得a=2.

故答案为：2.

2、（2020•北京）函数/（力=丄+/用•的定义域是______.

X+1

fX+1H0

【解析】要使函数有意义，贝!I八，

[x>0

所以卜所以》>0，

\x>0

所以函数的定义域为{x|x>0},

故答案为：{x|x>0}.

3、(2019•全国)已知/=若f()+/(-2)=0,则“=____

[x,x..Oa

【解析】(1)若。<0,贝II：f(a)+/(-2)=2a-4=0；

解得a=2,不满足。<0,这种情况不存在；

(2)若4.0,则:f(a)+/(-2)=a2-4=0；

.'.a=2；综上得，t?=2.

故答案为：2.

4.(2019•江苏)函数y=+6x-X?的定义域是.

【解析】由7+6x-x-0,得/-6》一7,,0,

解得：7.

..函数y=J7+6X-X2的定义域是[-1,7].

故答案为：[-1,7].

5.(2019•新课标H)设/(X)为奇函数,且当上.0时，f(x)=ex-\,则当x<0时,/(%)=(

)

A.e-'-1B.1+1C.D.-1+1

【解析】设x<0,贝!l-x>0,f{-x)=e'-

・设/(x)为奇函数，.•.-f(x)=eT-l,即/(x)=-"*+1.

故选：D.

6、(2019•上海)下列函数中，值域为[0,+8)的是()

丄

A.y=2XB.y=x^C.y=tanxD.y=cosx

【解析】A，y=2、的值域为(0,+00),故A错

B,y=&的定义域为[0,+oo),值域也是[0,+oo),故3正确.

C,y=tanx的值域为(-<»,+<»),故C错

D,y=cosx的值域为[-1,+1J,故D错.

故选：B.

x2ax+

7、(2019•天津)已知aeR.设函数/(x)=\'~2。，苍，1•若关于》的不等式/'⑴..()在火

[x-alnx,x>\-

上恒成立，则。的取值范围为()

A.[0,1JB.[0,2]C.[0,e]D.[1,ej

【解析】当x=l时，f(1)=1-2«+2a=1>0恒成立;

当xvl时，/(x)=x2-2cix+2a)^)<=>2a---恒成立,

x-1

令

z、Xx2(1-x-l)2(1-X)2-2(1-X)+1=-(l-x+-!--2)„-(2,(12)=0

g(x)=k

1-x1-x1-x\-xv1-x

・・.2a.g(x)2=0,r.a.0.

当x>l时，f(x)=x-alnxjM)<=>a2"恒成立,

Inx

,1

Inx-X--

_______x_lnx-\

令〃(x)=则"(x)==2

Inx(Inx)2{Inx)

当x>e时，//(x)>0,h{x}递增，

当Ivxve时，/zr(x)<0,/?。)递减，

x=e时，〃(x)取得最小值〃(e)=e,

/.4,/?(%)=ef

综上a的取值范围是[0,e].

故选：C.

考点一函数的概念

解题方略：

函数的概念

(1)函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集8中有且只有一

个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与4中元素不对应

I

i的元素.

(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同.同一函数需满足定义

域和对应关系均相同

【例1-1](2022•全国•高三专题练习)下列四个图像中，是函数图像的是()

【解析】根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯

一一个函数值，显然只有(2)不满足.

故选：C.

【例1-2](2022•全国•高三专题练习)下列各组函数是同一函数的是()

①与g(x)=xU^.®/(x)=x-^g(x)=7?.③f(x)=x"与g(x)=+.④

/(x)=d-2x-gg(f)=/-2r-l.

A.B.C.③④D.(D@

【解析】对于①，f(x)=Q，的定义域为(f,0),g(x)=xf的定义域为(f,0),所

以/(x)=C7=-xE,则〃x)与g(x)的定义域相同，但对应关系不同，则不是同一

函数；

对于②g(x)=J7=k|,所以/(同=%与8(”=而的对应关系不同，则不是同一函数；

对于③f(x)=x"的定义域为{巾#0},g(x)=}的定义域为{x|xx0},且〃x)=l,g(x)=l,

因此函数/(x)=x°与g(x)=5的定义域和对应关系均相同，则是同一函数；

对于④〃x)=f-2x-l的定义域为R,g(r)=/-2f-l的定义域为R,因此函数

/(力=犬-28-1与8(。=/-2-1的定义域和对应关系均相同，则是同一函数；

故选：C.

【题组练选】

1、(2022•全国•高三专题练习)函数y》(x)的图象与直线x=l的交点个数()

A.至少1个B.至多1个C.仅有1个D.有0个、1个或多

个

【解析】若1不在函数八x)的定义域内，y=/(x)的图象与直线x=l没有交点，

若1在函数人制的定义域内，)可>)的图象与直线x=l有1个交点，

故选：B.

2、(2022•湖南•高三课时练习)设集合用=凶0《X<2},N={y|04y42},那么下列四个

图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有()

4:;卜4斗4

।①।②③।④

A.①@③④B.①(②③C.②③D.②

【解析】由题意，函数的定义域为知={乂0"42},

对于①中，函数的定义域不是集合M,所以不能构成集合M到集合N的函数关系；

对于②中，函数的定义域为集合M,值域为集合N,所以可以构成集合M到集合N的函

数关系；

对于③中，函数的定义域为集合值域为集合N,所以可以构成集合M到集合N的函

数关系；

对于④中，根据函数的定义，集合M中的元素在集合N中对应两个函数值，不符合函数的

定义，所以不正确.

故选：C

3、(2022•全国•高三专题练习)下列各组函数中，表示同一函数的是()

A./(x)=e,nx,g(x)=x

x2—4

B・fM=------,g(x)=x-2

x+2

C./(x)=x°,g(x)=l

D./(x)=|x|,xe(-l,0,1},gU)=x2,xe(-l,0,1)

【解析】对于A：/(x)的定义域是(0,+8),g(x)的定义域是R,两个函数的定义域不相同，

不是同一函数，

对于B：/(x)=x-2,(xx-2),g(x)的定义域是R,两个函数的定义域不相同，不是同一

函数，

对于C：/(X)的定义域为{xlxwO},g(x)的定义域是R,两个函数的定义域不相同，不是

同一函数，

对于D：f(x)对应点的坐标为{(-L1),(0,0),(11)},g(x)对应点的坐标为{(TD,(0,0),(1,1)},

两个函数对应坐标相同，是同一函数，

故选：D.

考点二求函数的定义域

解题方略：

函数的定义域：就是使得函数解析式有意义时，自变量的取值范围就叫做函数的定义

域，定义域必须用集合或区间表示.若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“U”

连接.研究函数问题都应该注意“定义域优先”，抛弃函数的定义域解决函数问题没有任何

意义。但大部分学生都会忽视这一问题，所以被称为隐形杀手，一定要确立定义域优先的

思想。

(一)求具体函数的定义域

采真底嬴丽面)斎滿薪薊请以示诬蚕示旃砺薪获蔽法:

以免定义域发生变化)

（1）分式：分母不能为零；

（2）根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0,（如丿彳，只要求AN0）对奇次根式中

的被开方数的正负没有要求;（若偶次根式单独作为分母，只要偶次根式根号内的式子大于

即可，如］彳，只要求A>0）i

（3）零次哥：x°中底数%了0；

（4）对数函数：对数函数中真数大于零,底数为大于0且不等于1;

（5）三角函数：正弦函数,=411》的定义域为R,余弦函数丁=立《》的定义域为R,正

切函数y=tanx的定义域为<乃+1,ZeZ,,若〉=1211/（幻，贝！）

/（x）k/r+^,keZ

（6）若/（X）是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各

基本初等函数的定义域的交集.

（7）在求实际问题或几何问题的定义域，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际I

问题或几何问题有意义

注：剥洋葱原理f一层一层->交集（同时成立）f最后把求定义域转化成解不等式。

【例2-1］（2022•全国•高三专题练习）函数V=07二5+—二的定义域为（）

x-3

A.|，+8）B.（-00,3）U（3,+oo）

C.1⑶+℃）D,（3,+oo）

【解析】要使函数）'=后行+一二有意义，则

x-3

［2x-3>03

所以、A，解得x毎且户3,

［x-3^02

所以函数y="二！的定义域为佶,31u（3,+8）.

x-3|_2）

故选：C.

【例2-2］（2022•全国•高三专题练习）函数.丫=r上=+（2为+1）°的定义域为（）

\J\-2x

【解析】要使函数广福+（2叫。有意义，则有管言，解得V且“T

所以其定义域为,8,一；）

故选：B

【例2-3]（2022•江西•南昌十中模拟预测（理））设全集U=R,集合

M={x\y=\n（x-V）},N={x\y=y/x2-4}，则Mc（G；N）=（）

A.(1,2)B.(1,2]C.(2,+oo)D.[2,+oo>

【解析】由题可知，集合M={x|x-1>0}={X|X>1},集合N={x|x2-4N0}={x|x之2或

xW-2},

故CuN={x|-2Vx<2},Mn（Q?/）=1x|l<x<2}.

故选:A.

【例2-4]（2022•湖北武汉•模拟预测）函数/（》）=*二■的定义域为_____.

囲一1

【解析】由题知,.|宀。=]得1/一且E,所以/3的定义域为[°'»（皿'

故答案为：[0,1）（1,位）.

【题组练透】

1、（2022•全国•高三专题练习）函数/（x）=J—Y+3x+4+lg（x—2）的定义域是（）

A.[-1,4]B.（-1,4]C.[2,4]D.（2,4]

[~x2+3x+4>0（-1親k4

【解析】由Ic八，解得1,所以2<%,4

[x-2>0[x>2

所以函数的定义域为（2,4]

故选：D

2、（2022•全国•高三专题练习）函数.“刈=疗匚+¥匕的定义域为（）

A.[0,2）B.（2,+oo）

C.（-oo,2）（2,+oo）D.[0,2）（2,+oo）

2x_1>Q

【解析】由题意得：解得：X20且"2,故定义域为[0,2）L（2,内）

故选：D

3、(2022•全国•高三专题练习)函数/(x)=i言+lg(；)-1的定义域为.

x+l>0

【解析】由已知可得〃丫，八，解得

fcj-1>0

因此，函数〃X)的定义域为(TO).

故答案为：(-1,0).

(二)求抽象函数的定义域

谨记两句话：定义域(永远)指的是x的取值范围

同一个/下括号内的范围是一样的

!

;①已知/(尤)的定义域，求/[g(x)]的定义域,其解法是：若/(X)的定义域为。<^<b,!

则〃g(x)]中°-gW-b.从中解得的取值范围即为/[g(x)]的定义域。

②已知幵或x)l的定义域，求的定义域。其解法是:若f[g(x)]的定义域为加<x<n,

则由於WxW/确定g(x)的范围即为/(x)的定义域。

③已知f[g(x)]的定义域，求f[h{x}]的定义域。其解法是:可先由f[g(x)]定义域求得

/(幻的定义域,再由/(x)的定义域求得f[h(x)]的定义域。

④运算型的抽象函数

求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义

域，再求交集。

【例2-5](2022•全国•高三专题练习)已知函数〃x)的定义域[-2,2],则函数的定

义域为()

A.[-2,2]B.[-1,3]C.[-3,1]D.[0,2]

【解析】由题意—24X—142,解得—14xM3,所以/(工-1)的定义域是~,3].故选：B.

【例2-6](2022•北京•高三专题练习)已知函数[，=〃x)的定义域为(0,1),则函数

产(力=川2丁力的定义域为()

A.(田,1)B.(-a),O)u(O,l)C.(O,+8)D.[0,1)

fi<2方—]<1

【解析】y=〃x)的定义域为(0,1),即，

x<1

X。。‘解得：X<1且x#°，

・•.F(x)=/(|2，1|)的定义域为(-0)50,1).

故选：B.

【例2-7](2022•全国•高三专题练习)已知函数/(x+1)的定义域为(-2,0),贝U/(2x-l)的定

义域为()

A.(-1,0)B.(-2,0)C.(0,1)

【解析】由题设，若f=x+l,则.•.对于，(2X-1)有故其定义域

为(0,1).

故选：C

【例2-8](2022•全国•高三专题练习)若函数y=/(x)的定义域是|0,8],则函数g(x)=/啓

\Jx-l

的定义域是()

A.(1,32)B.(1,2)C.(1,32]D.(1,2]

0<4x<80<x<2

【解析】因为函数y=/(x)的定义域是10,81，所以,,l<x<2.

[x-l>0A[x>\

故选：D.

【题组练透】

1、(2022•全国•高三专题练习)已知函数y=/(x-l)的定义域为卩,3],则函数)，=/(现36

的定义域为()

A.[0,1]B.[1,9]C.[0,2]D.[0,9]

【解析】由xe[l,3],得x-le[0,2],所以logjxe[(),2],所以xe[l,9].

故选：B.

2、(2022•全国•高三专题练习)函数/(2')的定义域为[-1,1],则y=/(log2X)的定义域为

()

A.[-1,1]B.|V2,4|C.；,2D.[1,4]

【解析】因为函数/(2')的定义域为[-11，所以-14x41,

所以2T42'42,即gw2Y2,

所以/(x)的定义域为

由夫匾了。，得夜4x44,

所以y=/(log2力的定义域为[五,4].

故选：B.

3、（2022•全国•高三专题练习）已知函数“X）的定义域为则函数>=薔扌的定

义域为（）

A.[0,1]B.[0,1）C.（0,1]D.（0,1）

卜243X-241

【解析】已知函数八）的定义域为[-2』，对于函数]有l-x>0,

-2<3x-2<l

即.1>0,解得Ovxvl.

1-x^l

〃3A2)

因此，函数y=的定义域为（0,1）.

lg(l-x)

故选：D.

（三）逆用函数的定义域

①已知函数的定义域，求参数范围问题，需运用分类讨论以及转化与化丽丽布丁¥~

转化为恒成立问题来解决.

②不等式依2+fer+c>0的解是全体实数（或恒成立）的条件是：当a=0时，b=0,0（）；当

"0时，不等式/+法+小。的解是全体实数（或恒成立）的条件是当。=0时，

[A<0

r…团<0

b=Q,c<0；当QWO时,厶八.

[A<0

【例2-9]（2022•全国•高三专题练习）若函数/（x）=A/V+ar+l的定义域为R，则实数”取

值范围是

A.[—2,2]B.(2,+℃)C.(-00⑵D.(—2,2)

【解析】由题意可知Y+or+lZO对于xeR恒成立，所以△=巒-4«0,所以ae[-2,2].故

选A.

【例2-10]（2022•全国•高三专题练习）若函数,的定义域为R,则实数

\Jmx~-iwc+2

m取值范围是（）

A.[0,8）B.（8收）

C.（0,8）D.（T»,0）58,+8）

【解析】f（x）的定义域为R

mx2-mx+2>0恒成立

当机=0时，不等式2>0恒成立

[AH>0[//?>0

当机和时，则满足，八，得八Q，得0VmV8

[△二机~-8加<0[0<w<8

综上0<m<8

故选：A

【例2-11]（2022•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=¥El—的定义域是R,则实数“

ax+ax-3

的取值范围是（）

A.（-12,0）B.（-12,0]C.（；，+8）D.（-00,1]

【解析】；/«=的定义域为R,

ax2+cvc-3

；•只需分母不为0即可，即or?+61r—3x0恒成立，

（1）当。=0时，-3?0恒成立，满足题意，

（2）当时，A=a2-4ax（-3）<0,解得-12<a<0,

综上可得-12<aV0.

故选：B.

【例2-12]（2022•全国•高三专题练习）已知函数/（X）=J（1-片）/_0_必+2.

（1）若.f（x）的定义域为[-91],求实数。的值；

（2）若/（x）的定义域为R,求实数“的取值范围.

【解析】⑴/（X）的定义域为即（1-巒鬲_（1-办+2..0的解集为[gl],

(l-a2)-(l-«)+2=0

解得4=2；

(2)Ax)的定义域为R,即(1-")X2-(1-4)X+2..O恒成立,

当1-巒=0时，a=±l,经检验”=1满足条件；

[2n

当1-/xo时，；2、八解得"[-1」），

（1-a）-8（1-«-）„09

7

综上，«e[--,1].

【题组练选】

1、（2022•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=，a+2G4（其中。>0）,其定义域的区间

长度不超过2Q，则实数。的取值范围为.

【解析】。>0,由a+2“x-x，..0解得，a-+。领卜a+V«2+«，

f（x）的定义域为[a-'Ja2+a,a+>Ja2+a],

/（*）定义域的区间长度不超过2夜，

2\la2+a„2>/2»且a>0,解得0<4,1,

实数”的取值范围为（0,H,

故答案为：（0,11.

2、（2022•全国•高三专题练习）已知函数"X）=_i*[a_1）丫+1的定义域为R，则”

的范围是.

【解析】当a=l时，f（x）=l,即定义域为K；

当aHl,要使〃x）的定义域为R,则g（x）=（a-l）/+（a—l）x+l>0在xwR上恒成立,

tz-1>0

,,,（./1f、>解得1<a<5,

A=（a-1）-4（a-l）<0n

综上，有14a<5,

故答案为：U，5）

3、（2022•全国•高三专题练习）函数/（x）=j2_[o；（r_]）的定义域（覃°），则实数。的值为

【解析】由题意，函数〃幻=/_既,（>]）有意义，

2-log(x-l)>0即『oga(x-l)<2=log“/

满足fl

x-l>0|x>1

又由函数fM的定义域为（1』。）,.-.«>l,a2+l=10,

解得。=3.

故答案为：3.

考点三求函数的解析式

解题方略：

求函数的解析式的常用方法

①待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）

若已知一（X）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而

求出待定的参数，求得了（x）的表达式。

②配凑法：已知复合函数/[g(x)]的表达式，求/(X)的解析式，/[g(x)]的表达式容易配

成g(x)的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数/(X)的定义域不是原复合函数的

定义域，而是g(x)的值域。

③换元法：已知/(g(x))的表达式，欲求/(X),我们常设r=g(x),从而求得》=8一%)，

然后代入/(g(x))的表达式，从而得到/⑺的表达式，即为/(X)的表达式。与配凑法一

样，要注意所换元的定义域的变化。

I注：在求解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域.如已知w5)=x+l,求函!

1数Hx)的解析式，通过换元的方法可得犬工)=炉+1,函数大用的定义域是[0,+8),而不是i

I(-00,+oo).|

!④利用函数的奇偶性求解析式：一般为已知x>0时，f(x)的解析式，求x<0时，f(x)的解析|

式。首先求出f(・x)的解析式，根据f(x)=f(-x)或f(x)=・f(・x)求得f(x)

⑤构造方程组法：若出现/(X)与/(丄)的关系式、/(X)与/(-X)的关系式或一个奇函数与

X

一个偶函数的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组

求出兀0。

(1)互为倒数：/(X)+八丄)=g(x)；

X

(2)互为相反数：/0)+/(-》)=8(幻或尸0)=人》+8(刈(/3为奇函数，g(x)为偶函数)。

⑥赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变

量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

(-)待定系数法一

【例3-1](2022•全国•高三专题练习)已知“X)是一次函数，且满足

3/(X+1)-/(X)=2X+9

【解析】设〃x)="+。，因为3/(x+l)-〃x)=2x+9,所以3«+1)+33-爪-力=2x+9,

(2k=2\k=\

BP2kx+3k+2b=2x+9,所以L..)解得｛厶所以/(x)=x+3；

[3k+2b-n9[b=3

【例3-2](2022•全国•高三专题练习)已知二次函数〃x)满足/(2x+l)=4f-6x+5,求

〃x)的解析式；

【解析】设二次函数”*)=以2+乐+c(4W0),贝！|/(2x+l)="(2x+l)2+b(2x+l)+c

=452+(4a+2Z?)x+(a+b+c)=4x2-6龙+5,故4a=4,4a+2/?=-6,a+b+c=5,解得

故/(X)=X2—5X+9.

【题组练透】

1,(2022•全国•高三专题练习)已知一次函数Ax)=奴+/，满足/(-I)=-2,/(x+2)-/(x)=2.

(1)求实数的值；

⑵令g(x)=/(/U-1)),求函数g(x)的解析式.

1—a+8=—2[a=1

【解析】⑴由题意可得，c、厶，八.解之得人]

[a(x+2)+b-(ax+h)=2[6=-1

(2)由(1)可得/(x)=x-l,贝(j/(x-l)=(x-l)-l=x-2

故有gW=/(/(x-1))=/(%-2)=(x-2)-l=x-3

2、(2022•全国•高三专题练习)已知/(x)是一次函数，K/W))=4x-1,则Ax)的解析式

为

A./(x)=2%-1/(x)=-2x+1B./(x)=2x+l或/(x)=-2x-l

C.f(x)=2x-1/(x)=-2x+1D.f(x)=2x+l或.f(x)=2x-l

【解析】设/。)=履+6g0),贝！|/(/(x))=/(米+%)=%(依+6)+b=4x-1,

即Mx+妨+b=4x-l对任意的x恒成立，

r.k=2（..

=4Ijr=一2

所以厶“nd解得：L1或厶।，

b（k+T）=_lb=~3S=

所以fM的解析式为/（x）=2x-g或f（x）=-2x+\,

故选：A

3、（2022・全国・高三专题练习）已知函数/（切是二次函数，且/"+1）-/（耳=4犬+3,/（1）=1,

求小）.

【解析】由题知，设/（%）=加+灰+。（4/0）,

所以/（x）=[a（x+l）2+6（x+1）+,]-（以2+bx+c）=2ax+a+b,

〜[2a=4厶，[a=2

所以厶2,解得厶「

[a+h=3[b=l

又因为“1）=1,

所以a+b+c、=l,解得c=-2,

所以/（x）=2/+x-2.

（二）配凑法

【例3-3]（2022•全国•高三专题练习）已知/（》-丄）=/+1+1,求大x）的解析式；

XX

【解析】/（X-丄）=（x—丄>+2+l=（x—丄）2+3:"（幻=*+3.

XXX

【例3-4](河北省保定市2022届高三下学期二模数学试题)若函数4上』=丄二+1,

则函数g(x)=f(x)-4x的最小值为()

A.-1B.-2C.-3D.-4

【解析】因为f但斗丄二+J2x+1/口；

1X丿工XX~yXJ

所以/(x)=x2(xxl).

从而g(x)=x?-4x=(x-2)2-4,

当x=2时，g(x)取得最小值，且最小值为T.

故选：D

【题组练透】

1、(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(3+1)=犬+28-3,则〃X)=()

A.x2+4xB.x2-4

C.x2+4x-6D.x2-4x-l

【解析】因为/(x+l)=(x+l)2—4,所以〃x)=为一4・

故选:B

2、(2022•全国•高三专题练习)已知函数/*)满足/(sinx)=cos2x+cos2x,则

/(sinx-cosx)=()

A.3sin2x-lB.l-3sin2x

C.3cos2x—1D.l-3cos2x

【解析】Q/(sinx)=cos2x+cos2x=l-sin2x+l-2sin2x=2-3sin2x

/./(x)=2-3x2

/./(sinx-cosx)=2—3x(sinx-cosx)2=2—3x(1—2sinxcosx)

=-14-6sinxcosx=-l+3sin2x

故选：A

3、已知函数fR+lj=g-l,求/(x)的解析式.

【解析】因为d丄+1)=±-1=(丄+庁-2(丄+i)

1X丿XXX

所以/(X)=x2-2x.

因为丄*0,所以丄+1H1,所以/(x)=x2-2x(*1).

XX

（三）换元法

【例3-5](2022•全国•高三专题练习)已知了(«-l)=x,求/(x)的解析式.

【解析】令/=6一1。2-1),贝!]x=(<+1)2,

f(/)=(f+1)2,

-V(x)的解析式为/(x)=(X+1)2,X>-1.

【例3-6](2022•全国•高三专题练习)已知函数/(X)满足〃COSX-1)=COS2X-1,则

/(X)的解析式为()

A.f^x)-2x2+4x(-2<x<0)B./(x)=2x2+4x(xe7?)

C.f(x)—2x-\(-2<x<0)D./(x)=2x—1(XG7?)

【解析】函数/(x)满足/(COSX-1)=COS2^-1=2COS2X-1-1=2COS2X-2,

设cosx-1=/,则cosx=f+l,由cosxe[-1,1]知/e[-2,0],

故原函数可转化为/(r)=2(r+l)2-2=2r2+4nre[-2,0],

即/(x)的解析式为/(x)=2f+4x(-2WxW0).

故选：A.

【例3-7](2022•全国•高三专题练习))已知函数/(x)在定义域R上单调，且xe(0,+a))时均

有/(7(x)+2x)=l,则/(-2)的值为()

A.3B.1C.()D.-1

【解析】根据题意，函数f(x)在定义域R上单调，且xe(0,+«>)时均有/(/(x)+2x)=l,

则/(x)+2x为常数，设，(x)+2x=f,则f(x)=-2x+r,

则有用)=-〃+?=1,解可得£=一1,则〃防=-2%-1,故/(-2)=4-1=3；故选：A.

【题组练透】

1、(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(x+l)=f—x+3,那么“x-l)的表达式是

【解析】/(X+1)=X2-X+3,令x+l=f,贝!=故

/(r)=(r-1)2-(r-1)+3=r2-2r+l-r+1+3=?-3r+5,故/(%)=/_34+5,

/(x-l)=(x-l)2-3(%-1)+5=元2—2%+1-3%+3+5=工2-5工+9

故答案为：X2-5x4-9

2、(2022•全国•高三专题练习)已知函数卜吕，则/(x)的解析式为()

OYOy

A.〃X)=77？("T)b-Ja—TTT'-T)

C.〃X)=7^(XWT)d-/(x)=-r£^(xwT)

【解析】令f=F,贝"=一，

2t

所以。~1)，

产+1

所以〃》)=券('二一1)，

故选：A.

3、(2022•陕西西安•一模(理))已知〃x+l)=lnx2,贝！J/(x)=()

A.ln(x+l)2B.21n(x-l)C.21n|x-l|D.ln(x2-l)

【解析】对于/(x+l)=lnx2,令，=x+l,贝！]x=r-i,所以，/'(r)=ln(r-l)'=21n|r-l|,

因此，/(x)=21n|x-l|.

故选：C.

4、(2022•全国•高三专题练习)已知函数.f(x)在R上是单调函数，且满足对任意xeR,都

有/[f(x)—3x]=4,则"2)的值是()

A.2B.4C.7D.10

【解析】/(x)在R上是单调函数，，可令/(x)-3x=f,.・J(x)=3x+f,

：.f(t)=4t=4,解得：t=\,/./(x)=3x+l,

.-./(2)=3X2+1=7.

故选：C.

5、(2022•全国•高三专题练习)已知/(gx-l)=2x+3,若/(。=5,贝卄=()

1

A