河北省衡水中学2023届高三年级上册期末数学试题

河北省衡水中学2023届高三上学期期末数学试题

学校：,姓名:.班级:考号:

一、单选题

1.若集合Mwi箸等，4N={yly2>4},则()

A.2∈Λ∕cNB.MuN={a∖α∈[-2,2]□(4,+e)}

C.N={a∖O∈(-8,2)D(2,+8)}D.(aM)CN={α∣6Z∈[-2,1∣}

2.若z-i=l-∣z-l∣i,则IZ—彳I=()

A.1B.√2C.2d∙⅛

UUiiUimuuaɪ

3.½∆ABCφ,。为重心，。为BC边上近C点四等分点,DO=mAB+nAC，贝IJ机+

n=()

A1bcd

-3∙4∙I∙4

4.一个灯罩可看作侧面有布料的圆台，在原形态下测得的布料最短宽度为13,将其压

扁变为圆环，测得布料最短宽度为5,则灯罩占空间最小为（）

C325

A.175πB.-----πC.100πD.不存在

3

5.若六位老师前去某三位学生家中辅导，每一位学生至少有一位老师辅导，每一位老

师都要前去辅导且仅能辅导一位同学，由于就近考虑，甲老师不去辅导同学1,则有（）

种安排方法

A.335B.100C.360D.340

π

6.已知函数/")=Sinωx+-,>0）将其向右平移ɪ个单位长度后得到g（力，若

6

g（x）在y,π上有三个极大值点，则f（x）一定满足的单调递增区间为（）

4π2π4π2π

A.~57,57B.^39,39

3π5π5π7π

C.l3,13D.19,I?

7.己知a=詈e°∙99,b=lnɪθθɑe-θθi

,lnα=C-InC(C,工0.99),则()

^99^

A.h>a>l.0l>cB.b>a>c>∖.0l

C.a>b>1.0∖>cD.a>b>c>1.0∖

8.若已知函数"x)=e"",g(x)=lnx+3，3a∈(θ,+∞),若函数尸(X)=/(x)-g(x)

存在零点(参考数据ln2αθ∙7()),则左的取值范围充分不必要条件为()

A.(e0-7,el∙3)B.[l,e0∙7)

C.[e2'2,e3j)D.(e'∙3,e2-2)

二、多选题

9.在正方体ABCO-A4G2中，A8=2,E,F,G分别为棱BBLAB,BC中点，H为Ce,近

C三等分点，P在面AADQ上运动，则()

A.Ba〃平面QFG

LILIULlLIULlLU

B.若GP=μGF+φGH(μ,φeR)，则。点到平面尸3”的距离与P点位置有关

C.BDjEG

LlLUlLlLIll(ɪθO∕∣O

D.若GP=BGF+φGH(μ,(pwR),则P点轨迹长度为三一

10.若数列｛a"｝有a：+4a“=a”+「2,S“为｛%+2｝前"项积，｛bn｝bn-bn+l=2bnblli,i,

则()

A.｛1叫口叫(勺+2)]｝为等差数列(。力＞0)B.可能Sj,=(T)"Q+2)g

C.为等差数列D.他｝第〃项可能与〃无关

11.已知抛物线C：X2=2py,过点尸(0,P)直线∕cC=｛4,8｝,AB中点为,过A,

B两点作抛物线的切线444c∕?=Qzdcy轴=N,抛物线准线与。建交于M,下列说

法正确的是()

A.轴B.O为PN中点

C.AQ21BQ2D.M为PQ,近。2四等分点

12.已知奇函数f(x),x∈R,且/(x)=∕(πτ),当Xe。，同时，

试卷第2页，共6页

f,(χ}cosx+/(x)sinx>O,当x→色时，K2→2,下列说法正确的是()

2Cosx

A.”力是周期为2π的函数

B.工H是最小正周期为2兀的函数

COSX

C.以立关于传,o］中心对称

COSX12J

D.直线y=丘与工若有3个交点，则&u

cos%13万5万」L5;T3兀)

三、填空题

13.1/一^+21中常数项是.(写出数字)

14.若。C：(x-d)2+(y-Z>)2=b0£>：(x-6)2+(j-8)2=4,M,N分别为。C,QD

上一动点，IMNl最小值为4,则3α+4b取值范围为

15.已知双曲线J—/=1,F1,F2分别为双曲线左右焦点，F2作斜率为-*的直线交

丫二^^于点人，连接AK交双曲线于点B,若AB=BFI，则双曲线的离心率

a

16.己知函数/(x)=lnx+区一CoSX,Vx1,x2∈(0,+∞),x1≠X2,使得'(*)'(9)>3,

x}~x2

k的取值范围为.

四、解答题

17.已知。为ZkABC外心，S为AABC面积，r为。O半径，且满足

Uiruuu/、3ɔʌ/ɜ

CB∙AO+4r2(2-cos2A-cos2=-^-S

⑴求NA大小；

(2)若。为BC上近C三等分点(即Cn=gbC),且AO=血，求S最大值.

18.张老师在2022年市统测后统计了1班和3班的数学成绩如下图所示

数学成绩各班分布情况

犬2=n(ad-bcf______

(«+b)(b+d)(c+d)(a+c)

n=a+b+c+d>

2

P(κ≥k0)0.0500.0250.0100.0050.001

ZO3.8415.0246.6357.87910.828

(1)根据卡方独立进行检验，说明是否有99.9%的把握数学成绩与班级有关；

(2)现在根据分层抽样原理，从1班和3班中抽取IO人，再让数学评价优秀的同学辅导

一位数学评价一般的同学，每个人必有一人辅异，求在抽到甲辅导乙的情况下丙辅导丁

的概率.

(3)以频率估计概率，若从全年级中随机抽取3人，求至少抽到一人数学成绩为优秀的概

率.

(4)以频率估计概率，若从三班中随机抽取8人,求抽到X人数学成绩为优秀的分布列(列

出通式即可)及期望E(X),并说明X取何值时概率最大.

JT

19.在中，ZBAC=-,A、B、C、。四点共球，R(已知)为球半径，。为球心，

O'为一ABC外接圆圆心，r(未知)为G)O,半径.

⑴求(%rco)a和此时。到面ABC距离/7;

(2)在(匕γo>)皿的条件下，面(可以无限延伸)上是否存在一点K,使得KCL平

面OAB?若存在,求出K点距00'距离4和K到面48C距离人,若不存在请给出理由.

20.在高中的数学课上，张老师教会了我们用如下方法求解数列的前〃项和：形如

试卷第4页，共6页

(〃；

4=2+1)()的数列，我们可以错位相减的方法对其进行求和；形如

的数列，我们可以使用裂项相消的方法对其进行求和.李华同学在

(2n+l)(2n+l+l)

思考错位相减和裂项相消后的本质后对其进行如下思考：

错位相减:设%=V(#1),

2,

=q+/+…+4=4(ι+g+∙∙∙+q"=a](<7+<7∙∙∙+√)

,,l,-,lπ

(q-∖)Sn=al(q+•••+/-1-------√^)=^ι[(<7+∙∙∙+√)(l÷∙∙∙÷√^)]=4(^-l)

综上：当中间项可以相消时，可将求解S”的问题用错位相减化简

=_或恒__

为公比为1的等比数列；

①当储=L时，b〃=L---!—

nnn+1

②当为公比为1的等比数列时，勺=(z∣+ι)+L氏=工-工;

[nJnn/7+1

故可为简便计算省去②的讨论，Slt=y3

综上：可将求解S“的问题用裂项相消转化为求解心的问题

你看了他的思考后虽觉得这是“废话文学”，但是你立刻脑子里灵光一闪，回到座位上开

始写下了这三个问题：

(1)用错位相减的方法“温故”张老师课堂上举的例子，求解数列｛4,｝前n项和S,；

(2)用裂项相消的方法“知新”张老师课堂上举的例子，求解数列｛4｝前〃项和S,；

⑶融会贯通，求证：&=(/+2,+3)(，前〃项和7.满S,,+(<18.

请基于李华同学的思考做出解答，并写出裂项具体过程.

21.在平面直角坐标系中，6,K分别为(-1,0),(1,0),Θ∕ζι(x-1)2+∕=16,E为。

人上一点，C为线段E工上一点，OC过6和E.

(1)求C点轨迹方程，并判断轨迹形状：

⑵过耳,行两直线44交C分别于A、B和M、N,P,。分别为AB和MN中点，求P、

。轨迹方程，并判断轨迹形状；

⑶在(2)的条件下，若PQ〃x轴，∕∣c4=3,求。点轨迹方程，并判断轨迹形状.

22.已知函数=Xeg-H+lng.

(1)求证：∕W≥θ;

⑵若WXe(O,+8),都f(x)*+l,求人满足的取值范围.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.B

【分析】先求出集合M,N,然后再逐个分析判断即可.

(X-I)(X-4"0

4f,jU-l)(x-4)log√x-])>0

【详解】由■i0g3(χ-i)得1,

x-l≠l

log3(x-1)≠0

解得x>4或ICX<2,

所以M={x∣x>4或l<x<2},

因为条N=仅V>4},

所以N={y∣y2≤4}={H-24y≤2},

对于A,因为MN=(1,2),所以2eMcN,所以A错误,

对于B,因为M={x∣x>4或l<x<2},N={y∣-2≤y≤2},

所以MN=[-2,2](4,-8),所以B正确，

对于C,因为N={y∣-2≤y≤2},所以C错误，

对于D,因为M={x∣x>4或l<x<2},所以QM=(-∞,1][2,4],

因为N={止2≤y≤2},所以&M)CN=[-2,1]U{2},所以D错误，

故选：B

2.A

【分析】设Z=I+历，利用复数相等求出α,b,即可求解.

【详解】设z=α+bi,(。洋∈R,i为虚数单位).

因为z—i=l—|z—l∣i,

__________a=∖〃=1

所以α+(6-l)=I-J(々一if+/i,所以ɪʌʌ-~jʃ~~,解得：工_1.

~1-1

所以z=l+K，Z=I-7i,

22

所以|z-5∣=Iil=I

故选：A

3.B

答案第1页，共23页

【分析】连接A。延长交BC于E点，则E点为BC的中点，连接4λOD,利用向量平面

基本定理表示Z)O可得答案.

【详解】连接A。延长交BC于E点，则E点为BC的中点，连接A。、OD,

UUiruinuuonunuιr9UUD3UIrUIn71/Ui≡ιuun

所以Oo=DA+AO=08+BA+-AE==CB-A8+-x-(AB+AC

3432'

3/UI®Uinn∖Uun1,UUnUUIn\IUIM5UUln

=-∖AB-AC∖-AB+-∖AB+AC∖--AB--AC,

4、>3\>1212

故选：B.

【分析】设圆台的上、下底面圆的半径分别为r,R,母线长为/,高为,由题意可知R-r=5,

/=13,则∕ι=12,利用圆台的体积公式求出体积表达式，利用二次函数的性质即可得到答

案.

【详解】设圆台的上、下底面圆的半径分别为r，R,母线长为/,高为力

由题意可知R-r=5,/=13,则用=J可-(K-Z=12

则圆台的体积为V=；兀MR2+r2+Rr)=g71xl2x[(5+ry+r2+(5+r)r]=4M3r2+15r+25)

=12τt(r+g)+25π

当r>0时，V单调递增，故V不存在最小值.

故选：D.

5.C

【分析】把6位老师按照4,1,1或3,2,1或2,2,2人数分为三组；每种分组再分同学

ɪ安排的几位老师辅导解答.

【详解】把6位老师按照4,1,1或3,2,1或2,2,2人数分为三组；

答案第2页，共23页

C>G∙0

①把6为老师平均分为3组的不同的安排方法数有=15

在把这三组老师安排给三位不同学生辅导的不同安排方案数为：A；=6,

根据分步计数原理可得共有不同安排方案为:S=15x6=90

IC∙^^∙A"30

如果把甲老师安排去辅导同学1的方法数为:

所以把6位老师平均安排给三位学生辅导且甲老师不安排去辅导同学1的方法数为

90-30=60

②把6位老师按照4,1,1分为3组给三位学生辅导的方法数为：

若1同学只安排了一位辅导老师则C；GC：.A；=5()

若1同学安排了四位辅导老师则C；A；=1()

所以把6位老师按照4,1,1分为3组给三位学生辅导，

甲老师不安排去辅导同学1的方法数为60

③把6位老师按照3,2,1分为3组给三位学生辅导的方法数为；

若1同学只安排了一位辅导老师则C!CC∙A;=K)O

若1同学只安排了两位辅导老师则C；C=80

若1同学只安排了三位辅导老师则C；C；C-A；=6()

所以把6位老师按照3,2,1分为3组给三位学生辅导，

甲老师不安排去辅导同学1的方法数为60+80+100=240

综上把6位老师安排给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为

240+60+60=360

故选：C

6.A

【分析】根据平移变换得函数g(尤)=sin"j0+[,3>O),由g(x)在y,π上有三个

1319

极大值点,结合正弦函数图象可得再求。x+πg的范围，结合正弦函数的单调性，

22O

由此可判断答案.

答案第3页，共23页

【详解】解：有题意可得g(x)=j［x-gJ=sin(<υx-W(y+S)((y>O),

,「π.JTr7ΓIJT2兀TC.-/\,.TC.,___.._.

由x∈-,π1,⅜tlωx--ω+-∈-,—69+-,由于g(x)在-,π上有二个极大l值点,

3\3O√OJoLJ

t.rκ,9π2ππ13兀λλzf,1319

所以≤3+/<i,解得≤3<,

τ2r3τr62rτ2r2τr

4π2π兀r4乃乃2771、

当Xe69X÷-∈I----------69+—,——0+——

57,57'6576576

N4TT712万兀、7171,,-T-T/z.

而r［一-。+二,=。+:】<=r［一彳,彳)，故A正确,

57657622

4π2π兀r4;T42万π、

当XeS+—∈-------G+-,——ω+-∖

39,396396396

-r-r47rTC2ττTC、r63τT514、,»_-ɪ--1-7vz

而〔一+TrG+^∑］u［--，故B不正确,

39o39o/oVo

3π5ππ.3ππ5ππ、

当x∈69X+—∈——69+—,——69+——,

T3,^136136136

而考0+?后0+勺U者,*),故C不正确,

13olɔo3/o

5π7ππ「5兀πlπ兀、

当x∈5+—∈——69+—,——ω+-∖,

19,19'6196196

Hr54n7471、214^∙1∖πMrT十*

而［gO+Z'E。+?1UrW亍)x，故D不正确,

故选：A.

7.D

【分析】变形α,b,构造函数/(x)=G-X+Inx比较α,b的大小，构造函数g(x)=x-Inx

X

比较Ae的大小，利用极值点偏移的方法判断1.01,C的大小作答.

0.99

【详解】依题意，a=-—,⅛=e-0.0l-ln0.99=e-1+0.99-ln0.99,

0.99

人、eʌeʌ(X—1)1(eʌ—ɪ)(ɪ-1)

令/(X)=——x+lnx,/(x)=.-1÷-=--------7------，

XXXX

当OVXVl时，e'>l>x>O,BPΓ(x)<O,函数/3在((M)上单调递减,

0.99

/(0.99)>∕(l)=e-l,即£——0.99+ln0.99>e-l,因此α>0,

0.99

令g(x)=x-lnx,g，(X)=I-L当OCXCl时，g'(x)<O,当χ>l时，g'(x)>O,

X

函数g(x)在(0,1)上单调递减，g(0.99)>g(l)=l,而b=e-l+g(0D9)>e>1.01,

函数g(x)在(l,y)上单调递增，显然g(e)=e-1,gd)=L+1,

ee

则方程g(x)=k,ke(l」+l］有两个不等实根玉,三，0<χ,<l<χ2,有g(x∣)=g(X2)=k,

Ina=C-InCoO.99-Ino.99=C-Incog(0.99)=g(c),而CRo.99,贝IJ有c>l,

答案第4页，共23页

令〃(X)=g(x)-g(2-x),O<x<l,6'(x)=g，(x)+g,(2-X)=］」+］_J-=_2(：D、-<0，

x2-xx(2-x)

即函数〃(x)在(0,1)上单调递减，当Xe(0,1)时,Λ(x)>Λ(l)=O,即g(x)>g(2-X),

因此g(x∣)>g(2-x∣),即有g(X2)=g(x∣)>g(2-x∣),而％2>1,2-x∣>1,g(x)在(l,+∞)上单

调递增，

于是得当>2-占，B［JXI+Λ2>2,取XI=O.99,x2=c,于是得c>2-0.99=1.01,

又8(。)=8(0.99)<8(2)<8亿)，g(x)在(I,”)上单调递增，从而L01<c<e,

e

所以α>∕>c>L01,D正确.

故选：D

【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的

内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化

繁为简的作用.

8.C

【分析】因为求的是充分不必要条件，而非充要条件，所以采用特殊值法，只要满足

”l)≤g(l),则有F(X)="X)—g(x)存在零点，求出左≥J时左的取值范围，即为一个

a

充分条件，再由选项依次判断即可.

【详解】当a=0时，/(x)=e""的图象恒在g(x)=lnx+切上方，

l+α

，若满足F(I)≤g(l),即e"≤lnl+%,k≥-,

Ci

则/(X)与g(x)的图象必有交点，即F(X)="x)-g(x)存在零点.

令MX)=三(x>0),∕f(χ)=e"',-l),

有当0<x<l时，h'(x)<O,MX)单调递减;

当x>l时，Λ,(x)>O,∕z(x)单调递增.

/.Λ(x)≥Λ(l)=e2,

即当-e?时，一定存在α=l∈(0,+∞),满足”l)≤g⑴,即尸(X)="x)-g(x)存在零点，

因此上e［e∖+8)是满足题意火的取值范围的一个充分条件.

由选项可得，只有［e22,e")是［e)+8)的子集，所以［e2∖e")是％的取值范围的一个充分不

答案第5页，共23页

必要条件.

故选：C.

9.BCD

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量逐一解答即可.

【详解】解：根据题意建立如图所示的坐标系：

因为正方体的边长为2,

所以A(0,0,0),A(0,0,1),B,(2,0,0),C,(2,2,0),D1(0,2,0),8(2,0,2),C(2,2,2),D(0,2,2),

4

£(2,0,1),F(l,0,2),G(2,l,2),”(2,2,—),

3

UUUUUUUULLIU

对于A,因为BG=(0,2,—2),FDi=(-1,2,-2),FG=(1,1,0),

—X+∑ry—2z=0

设平面DFG的法向量为〃=(X,y,z),则有

1x+y=0

2

V=-Z

则有：3,

y=τ

取〃=(-2,2,3),

ɪLM-LllIUULlU、

因为"∙BG=-2≠0,所以，UBG不成立,

所以3G〃平面RFG不成立，故错误；

uuuUUtiUUir2

对于B,设P(O,%,z0),则GP=(—2,%—l,z0-2),GF=(-1,-1,0).GW=(0,1,--),

ULIIUUIlUlUl

又因为G尸="G∕7+∕∕∕(/Ae∈R)，

答案第6页，共23页

—2=-U

24

所以%T=_〃+e，所以有ZO=_Q%+Q,

C2

zt>~^=~~φ

所以P点轨迹为如图所示的线段M

在平面BCGB内作出与MA平行的直线NG,

易知MDI与NG的距离等于平面ADDiAi与平面BCGBl的距离为2,

因为NG与8〃不平行，

所以MA与8〃不平行，

所以点尸到的距离不是定值,

所以S,,W不是定值,

又因为VP-BCH~VC-BPH，

I12I

BP-×ɪ×2×-×2=-SVPIiH4,(h为C点到平面PBH的距离)，

4

所以〃一■不是定值，

YPHB

所以C点到平面PB”的距离与P点位置有关，故正确；

UUUUUUUUUCiLMi

对于C,因为BA=(-2,2,-2),EG=(0,1,1)，BDIEG=2-2=。,

UUUUlUl

所以BRLEG,即有BRLEG,故正确；

答案第7页，共23页

244

对于D,由B可知P点轨迹为z0=-§%+］，令%=°，则Zo=§；

令Z11=2,则%=2,

所以P点轨迹的长度为PT手=#ɪ,故正确.

故选：BCD

10.BD

【分析】结合递推式a：+4a“=a”,「2,取q=-2,求｛%｝的通项公式判断选项A错误，求

S“判断B,由递推式2一%=2她用，取々=0,判断C,求数列出｝的通项公式判断D.

【详解】因为d+4”,,=4,+∣-2,所以(a,,+2)2=4+∣+2,所以当“22,”eN”时，α,,+2≥0,

若q=-2,则α,,=-2,"eN",IOg“(4+2)不存在，A错误；

因为q=-2时，an=-2,neK,所以α,,+2=0,所以S,,=。，又(7)"(勾+2)、=O,所以

可能S“=(—l)"(q+2fτ,B正确；

因为"一白川=2”也用，取々=0,则2=0,“eN*,此时:不存在，C错误；D正确；

故选：BD.

11.AD

【分析】设直线/的斜率为心不妨设p>θ,直线/的方程为y=H+P,A(Λ,σ,),B(Λ2,y2),

与抛物线方程联立求出占+%,XIX2,y∣+%，得。I(Pk,必?+P)，令玉=2pk~y∣p2k2+2p2,

求出％,求出y.=2,可得直线《的方程、直线4的方程，由心αX怎°,=斗可判断C；联

PP

立直线4、直线4的方程可得ɑ(p")可判断A；令X=O由y-M=t(Of)得P(o,p)可

判断B；由尸(o,p)、M点的纵坐标为-5、2(P匕—P)可判断D.

【详解】由题意直线/的斜率存在，设为k,不妨设p>θ,A(Λ⅛,γl),β(Λ2,y2),

则直线/的方程为y=kx+p,与抛物线方程联立［',=Y+P,

IX=2Py

可得f-2PfcV-2/=0,∆=4p2⅛2+8p2>0,

22

所以x∣+X2=2pA,xlx2=-2p,jl+j2=2pk+2p,所以Ql(P女4+p),

答案第8页，共23页

222222

不妨令Xl=2pk-pk+2p,x2=Ipk+y∣pk+2p，

221122

所以y∣=2必?+p_k∙Jpk+2p,y2=IplC+p+k^pk+2p，

X,<x

由y=丁得zry=-，所以直线4的方程为y-y=

2pP

直线4的方程为y-%=

所以Lf=竽=于7一，故C错误;

y-y=26%)

p解得X-pk

由，，可得

y=∣1^↑-y↑

X=pk

2222222

y=k^2pk-∖∣pk÷2pj-{lpk+p-ky∣pk+2pj=-p

所以0(P",-P),

所以Q√2∣，X轴，故A正确;

令x=0所以由y-yl=,(0-x∣)得y=f=-2p公-0+Wp%+2p2,所以

N*-2pH-p+kjp*+2p2),而P(0,p),且

12222221

-2pk-p+k^pk+2p+p=-2pk+ky∣pk+2p=0=k=0，故B错误；

因为P(O,p),M点的纵坐标为,Q式冰,-p),

所以0一,9=1，-y-(-p)=p故M为PQz近。2四等分点，故D正确.

【分析】根据奇函数f(χ),X∈R,且/(χ)=∕(兀-X),可确定函数/(X)的周期，即可判

答案第9页，共23页

断A；设g(x)=怨确定函数g(x)的奇偶性与对称性即可判断函数B,C；根据

/'(x)cosx+/(X)SinX>0可判断函数g(x)在Xe0,鼻上的单调性，结合对称性与周期性即

可得函数g(x)的大致图象，根据直线y=丘与工区若有3个交点，列不等式即可求女的取

COSX

值范围，即可判断D.

【详解】解：因为"x)=∕(兀-X),所以/(x)的图象关于X、对称，又因为“力为奇函数，

所以/(x)=—/(-X)，则/(兀+x)=/(-X)=—/(x)，

贝∣J∕(2π+x)=-/(x+π)=∕(x),故/(x)是周期为2兀的函数，故A正确；

设g(x)=@,其定义域为「弓+2EA+2hr］∕eZ,则

COsxI22J

g(x)+g(兀-x)=&+^^=@+^^=0,所以g(x)关于［g,θ］中心对称，即

cos%cos(π-x)cos%-cosx`，∖2)

运关于(g,o］中心对称，故C正确；

COSX12J

又g(T)='］(?)=,4?=-g⑺，所以g(χ)为上的奇函数，结合g(χ)+g(兀-X)=。可

得一g(-x)+g(兀-X)=°，即g(-x)=g(兀-X)

故必。是周期为兀的函数，故B错误；

COSX

当.,昌，所以/(X)J”(Λ)C°SH.OSinX>o,故g(χ)在Xe卜目上单调递增，由

_2)cos%LZ)

于g(x)关于怎,0)中心对称，所以g(x)在xe1,兀上单调递增，

且当x→5时，偿→2,又函数g(x)的周期为兀，则可得g(x)大致图象如下：

答案第10页，共23页

k>0k<0

—

加±4

或

2JT2解得

若直线y=履与g(χ)=∕B若有3个交点，则,3π-<--->-<<-

2-2

COSX5π3π

π

5π2>2k<2

-2-

4,4Wr4444

-<k<--,故丘——故D错误.

π3πVπ3π5π*3π

故选：AC.

13.559

【分析】将f-L看作一项，利用展开式的通项，找两项中的常数项即可求解.

X

【详解】，」+2)6的展开式的通项公式是心=^(/_2尸-2-2匕(一1)(:产-2心，

XX

『二;或厂：或F=：,

令12-2—3S=0,则2r+3s=12,故

[5=2[5=0[5=4

所以(f-4+2)6的展开式中常数项为：

X

23×C≡×(-l)2×C3+26×C^+20×Cθ×(-l)4×C*=480+64+15=559,

故答案为：559.

14.[15,85]

【分析】先根据IMVl的最小值求出Ieq=7,即(α-6)2+0-8)2=49,再使用柯西不等式求

出取值范围.

【详解】由于IMNl最小值为4,圆C的半径为1,圆。的半径为2,故两圆圆心距离

ICq=4+1+2=7,

S∣J(a-6)2+(⅛-8)2=49,

由柯西不等式得：[(a-6)2+(⅛-8)2]∙(32+42)≥[3(«-6)+4(6-8)]2,

当且仅当=等，即α=^,6=费时，等号成立，

S[J(3a+4⅛-50)2≤25×49,解得：15<3a+4⅛≤85.

故答案为：[15,85]

15.√6

答案第11页，共23页

【分析】首先求出AK的方程，联立两直线方程，即可取出A点坐标，由AB=AK=8月，

即可得到B为A、Fl的中点，得到B点坐标，再代入双曲线方程，即可求出¢2=6/,从而

求出双曲线的离心率.

【详解】解:依题意玛(c,0),所以A心：y=-∣(x-c),

y=-^x-c)

由,，

b=b

y=τ

a

又AB=BFI，所以4为A、6的中点,

即b4-a4=4c2a2,即92-a2)(⅛2+a2)=4c2a2,

^b2-a2=4a2,即户=5储,^c2-a2=5a2,所以¢2=64,

则离心率e=f=遥.

a

故答案为：∖[β

16.[4,+8)

【分析】不妨设大<々，把八"J2>3化为〃％)-3XVf(W)—3叫,构造函数

X\~X2

g(x)=∕(x)-3x,利用g(x)的导数g'(%)≥0,求出Z的取值范围.

【详解】不妨设内,工2e(0,÷∞)d<%,

.../(%)-〃叽3,

玉一A2

即〃与万(毛)<3&-电)，〃玉)-3叫<∕(X2)-3X,,

构造函数g(x)=∕(x)-3x,

.∙.g(x)在(0，+8)是单调递增函数,

答案第12页，共23页

g，(X)=r(x)-3=J+%+sinx-3≥0左≥-J+sinx]+3,xe(0,+g)

当x>O时，L>O,sinx∈[-l,l],所以'+sinx>-l,

XX

所以-1g+sinx)+3<4,

所以Z的取值范围为[4,+功

故答案为：[4,+s)

17.(l)ɪ

⑵地

4

UIrUUD11

【分析】⑴由向量的运算整理可得CB乂。=/-产，结合正弦定理、余弦定理和面积

公式运算求解;

(2)根据题意结合向量可得AO=gAB+∣AC,再结合数量积可得2=[02+|儿+[〃，利

用基本不等式可得历≤3,再结合面积公式即可得结果.

【详解】(1)取A8,AC的中点M,N,连接OM,ON,则OM，AB,ON_LAC,

可得：

UlrUUII/UinuuιπxUulnUIJnUinnUIraUUin∣um∣luun∣IuuullluUInl

CBAo=AB-ACAO=A8A0—AC∙AO=ABAoCOSNOAM—ACAOcos/QAN

1∣uuφ1IUUDp

=5网-小α

UU-UInn/An

由C3∙A0+4产(2-cos?A-COS2B)-=_^s,可得

-C2--h2+4r2(1-cos2A+l-cos2B)-—=^^-×-hcsinA,

22`7232

2222

则g(?2-ɪ/?+(2rsinA)+(2rsinB)-‰=^-×hcsinA9即

-C2--h2+a1+h2--a2=^-×hcsinA,

2223

整理得/+c2-a2=^-×2hcsinA,

3

由余弦定理COSA=走SinA,可得tanA=G,

2bc3

VA∈(0,π),故4=]∙

答案第13页，共23页

22/..∖12—

(2)由题意可得：ΛD=AB+BD=AS÷-BC=AB+-AC-ΛB=-ΛB+-AC,

331733

LIUΠ

UUD、(∖UUD2ULralV124ulbUInn4υunɔ

则4。=-AB+-AC=-AB+-ABAC+-AC，

(33J999

可得：2=∣c2+∣⅛c+^⅛2,贝IJI8-2a=∕+4^≥4A,当且仅当/=4〃，即C=力时等号

成立，

即bc≤3,则S=LbeSinA≤-^-×3×-=∙^^∙.

2224

故S最大值为限

(4)分布列见解析，E(X)=2,x=2时，概率最大，理由见解析

【分析】(1)计算卡方，与10.828比较后得到结论；

(2)先根据分层抽样求出1班和3班抽到的学生分布情况，再根据条件概率求出概率；

(3)计算出1班和3班的总人数，以及数学评价优秀的学生总人数，求出相应的频率作为

全校数学评价优秀的概率，求出随机抽取3人，抽到0人数学评价优秀的概率，再利用对立

事件求概率公式计算出答案：

(4)由题意得到X从而求出分布列，数学期望，并利用不等式组，求出x=2时，

概率最大.

【详解】⑴^=100x(10x20-40x3p)l=50>10828；

40×60×50×503

故有99.9%的把握数学成绩与班级有关；

(2)1班有40+20=60人，3班有10+30=40人，

答案第14页，共23页

故抽取K)人，从I班抽取人数为K)X扁=6,从3班抽取的人数为K)X扁=4,

由于1班数学评价优秀和一般人数比为4:2,故抽取的6人中有4人数学评价优秀，2人评

价一般，

而3班数学评价优秀和一般的人数之比为1:3,故抽取的4人中有1人数学评价优秀，3人

评价一般，

设抽到甲辅导乙为事件A,抽到丙辅导丁为事件