2024年广东省高考数学一轮复习第10章第4讲：随机事件与概率（附答案解析）

2024年广东省高考数学一轮复习第10章第4讲：随机事件

与概率

【考试要求】1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概

率的区别.2.理解事件间的关系与运算3掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单

随机事件的概率.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.样本空间和随机事件

(1)样本点和有限样本空间

①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,常用。表示.

全体样本点的集合称为试验E的样本空间,常用Q表示.

②有限样本空间：如果一个随机试验有"个可能结果<01，(02>",，(0,1)则称样本空间Q—{C0l，

602，必}为有限样本空间.

(2)随机事件

①定义：将样本空间Q的子集称为随机事件,简称事件.

②表示：一般用大写字母A,B,C,…表示.

③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件.

2.两个事件的关系和运算

含义符号表示

包含关系若4发生，则8一定发生

相等关系8NA且A224=5

并事件(和事件)A与B至少有一个发生AUB或A+B

交事件(积事件)A与3同时发生ACB或4B

互斥(互不相容)4与8不能同时发生

互为对立A与B有且仅有一个发生AC18=0,且4UA=a

3.古典概型的特征

(1)有限性：样本空间的样本点只有翦蚣;

(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.

4.古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间。包含〃个样本点，事件A包含其中的k个样本点,

则定义事件A的概率P(A)=%器.

其中，“(A)和”(0分别表示事件A和样本空间Q包含的样本点个数.

5.概率的性质

性质1：对任意的事件4,都有P(A)2O；

性质2：必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Q)=1,P(0)=O；

性质3：如果事件A与事件B互斥，那么尸(AUB)=P(A)+P(8)；

性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么尸(8)=1一尸(A),尸⑷=1—P(B)；

性质5：如果AUB,那么尸(A)WP(3),由该性质可得，对于任意事件A,因为0UAUQ,所

以0WP(A)〈l；

性质6：设A,8是一个随机试验中的两个事件，有P(AUB)=P(B+P(2)—P(An8).

6.频率与概率

(1)频率的稳定性

一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率4A)

会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性.

(2)频率稳定性的作用

可以用频率%(A)估计概率尸(A).

【常用结论】

1.当随机事件A,B互斥时，不一定对立；当随机事件A,B对立时，一定互斥，即两事件

互斥是对立的必要不充分条件.

2.若事件4,4，…，4两两互斥,则P(AILM2U…U4)=P(AI)+P(A2)+・“+P(A”).

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“或“X”)

(1)事件发生的频率与概■率是相同的.(X)

(2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生.(V)

(3)从一3,-2,-1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同.(V)

(4)若AUB是必然事件，则A与B是对立事件.(X)

【教材改编题】

1.一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是()

A.至少有一次中靶

B.两次都中靶

C.只有一次中靶

D.两次都不中靶

答案B

解析射击两次中“至多有一次中靶"即''有一次中靶或两次都不中靶”，与该事件不能同

时发生的是“两次都中靶”.

2.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2,该同学的身高

在［160,175］（单位：cm）内的概率为0.5,那么该同学的身高超过175cm的概率为（）

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

答案B

解析由题意知该同学的身高小于160cm的概率、该同学的身高在［160,175］（单位：cm）内的

概率和该同学的身高超过175cm的概率和为1,故所求概率为1—0.2—05=0.3.

3.（2022•全国乙卷）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的

概率为.

3

答案To

解析从甲、乙等5名同学中随机选3名，有Cg种情况，其中甲、乙都入选有C!种情况，

所以甲、乙都入选的概率

■探究核心题型

题型一随机事件

命题点1随机事件间关系的判断

例1（1）（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A=｛两弹都击

中飞机｝,事件B=｛两弹都没击中飞机）,事件C=｛恰有一弹击中飞机｝,事件。=｛至少有

一弹击中飞机｝，则下列关系正确的是（）

A.ACiD=0B.BAD=0

C.AL）C=DD.4UB=BUO

答案BC

解析“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中、第二枚没中或第一枚没中、第二枚击中，“至

少有一弹击中飞机”包含两种情况，一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，故

4nr）W0,Bno=0,4UC=O,AUB^BUD.

（2）从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件的

是（）

A.至少有一个红球；至少有一个白球

B.恰有一个红球；都是白球

C.至少有一个红球；都是白球

D.至多有一个红球；都是红球

答案B

解析对于A,“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能

为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于B,“恰有一个

红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取两球还可能都是红球，故

两事件不是对立事件；对于C,“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”

显然是对立事件；对于D,“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是

对立事件.

命题点2利用互斥、对立事件求概率

例2某商场进行有奖销售，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖

单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖

的事件分别为A,B,C,求：

(l)P(A),P(B),pg；

(2)1张奖券的中奖概率；

(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.

解(l)P(A)=i000，「⑻=i000=而P(C)=I000=20'

(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为何，则M

=AUBUC.

•.•事件4,B,C两两互斥，

：.P(M)=P(AUBUQ=P(A)+P(B)+「(。

1+10+50_61

=-1000=1000,

故1张奖券的中奖概率为岛.

(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中

一等奖”为对立事件，

P(M=1-P(AU1-(HXjo+io())='iS,

故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9湍89.

思维升华事件关系的运算策略

进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的

全部结果，必要时可列出全部的试脸结果进行分析.当事件是由互斥事件组成时，运用互斥

事件的概率加法公式.

跟踪训练1(1)(多选)抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：

Ci=“点数为广,其中1=1,2,3,4,5,6；

A="点数不大于2"，D2="点数不小于2"，D3="点数大于5”；

E="点数为奇数”；

F="点数为偶数”.

下列结论正确的是（）

A.G与C2对立B.G与。2不互斥

C.DgFD.£2（DinD2）

答案BC

解析对于A,G="点数为1”，C2="点数为2”，G与C2互斥但不对立，故选项A不

正确；

对于B,Di="点数不大于2"，D2="点数不小于2”，当出现的点数是2时，9与。2同

时发生，所以。1与。2不互斥，故选项B正确；

对于C,。3="点数大于5”表示出现6点，F="点数为偶数”，所以。3发生时尸一定发

生，所以。3=尸，故选项C正确；

对于D,表示两个事件同时发生，即出现2点，E="点数为奇数”，所以D^D2

发生，事件E不发生，所以后二（20。2）不正确，故选项D不正确.

（2）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的

100位顾客的相关数据，如下表所示.

一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上

顾客数（人）X3025y10

结算时间

11.522.53

（分钟/人）

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.

①确定x,y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

②估计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.

解①由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.则顾客一次购物的结算时

「辽丁r田2-+一皿八、，u,1X15+1.5X30+2X25+2.5X20+3X10

间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为------------------丽------------------=

1.9（分钟）.

②记A为事件”一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，AI,A2,A3分别表示事件“该

顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一

次购物的结算时间为2分钟”，则可估计概率约为

153303251

2（41）=而=4，"A2）=而=正，2（&）=而=不

因为A=4UA2UA3,且Ai,A2,As两两互斥，

3317

所以P(A)=P(4UA2UA3)=P(AI)+P(A2)+P(A3)=诟+而+]=而,

故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率约为六7.

题型二古典概型

例3(1)(2023・南通质检)我国数学家张益唐在“挛生素数”研究方面取得突破，挛生素数也

称为享生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7.在大于3且不超过20的素数中，随机

选取2个不同的数，恰好是一组挛生素数的概率为()

卷B.5C.|D.|

答案D

解析大于3且不超过20的素数为5,7,11,13,17,19,共6个，

随机选取2个不同的数，分别为(5,7),(5,11),(5,13),(5,17),(5,19),(7,11),(7,13),(7,17),

(7,19),(11,13),(11,17),(11,19),(13,17),(13,19),(17,19),共15种选法，其中恰好是一组

李生素数的有(5,7),(11,13),(17,19),共3种，故随机选取2个不同的数，恰好是一组李生

素数的概率为吉3=存1

(2)在一次比赛中某队共有甲、乙、丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场顺序，则

乙、丙都不与甲相邻出场的概率是()

1123

A.而B，5C.5D词

答案D

解析在一次比赛中某队共有甲、乙、丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场顺序，

样本点总数〃=A§=120,“乙、丙都不与甲相邻出场”包含的样本点个数〃?=A2A3+A密热3

=36,所以“乙、丙都不与甲相邻出场”的概率尸=£=卷=木

思维升华利用公式法求解古典概型问题的步骤

-------u定型，根据事件的性质，确定事件类

.第：步型为古典概型,

定量，确定试验包含的样本点总数及、

箜誉尸［所求事件包含的样本点个数

~~求值，代入古典概型的概率计算公式'

住茎好［求解，

跟踪训练2(1)(2022.全国甲卷)从分别写有.123,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张,

则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()

A-|B3C1Dt

答案c

解析从写有123,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，共有15种取法，它们分别是

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),

(5,6),其中卡片上的数字之积是4的倍数的是(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6),共6

种取法，所以所求概率是「=泰=,

(2)(2022•宜宾质检)2022年冬奥会在北京、延庆、张家口三个区域布置赛场，北京承办所有冰

上项目，延庆和张家口承办所有雪上项目.组委会招聘了包括甲在内的4名志愿者，准备分

配到上述3个赛场参与赛后维护服务工作，要求每个赛场至少分到一名志愿者，则志愿者甲

正好分到北京赛场的概率为.

答案3

解析依题意3个赛场分配的志愿者人数只有1,1,2这种情况，则共有〃=aAg=36(种)安排

方法，

志愿者甲被分配到北京赛场有机=Ag+CgA3=12(种)安排方法，

所以志愿者甲正好分到北京赛场的概率尸=昙=：.

303

题型三概率与统计的综合问题

例4北京冬奥会顺利闭幕后，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束

后随机抽取120名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为1：1,抽取的学

生中男生有40名对讲座活动满意，女生中有30名对讲座活动不满意.

(1)完成下面2X2列联表，并依据小概率值a=0.10的独立性检验，能否推断对讲座活动是否

满意与性别有关？

满意不满意合计

男生

女生

合计120

(2)从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用比例分配的分层随机抽样方法抽取7名学生，

再在这7名学生中抽取3名学生谈谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中2名男生与1

名女生的概率.

n(ad-bc¥

参考数据：/='1,其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.100.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

Xa

解(1)2义2列联表如表所示.

满意不满意合计

男生402060

女生303060

合计7050120

零假设为Ho：对讲座活动是否满意与性别无关.

根据列联表中数据，

L.120X(40X30-20X30)224

-工计算付/=60X60X70X50=y^3.429>2.7O6=xo.io.

根据小概率值a=010的独立性检验，我们推断Ho不成立，即认为对讲座活动是否满意与性

别有关.

(2)由(1)知，在样本中对讲座活动满意的学生有70人，从中抽取7人，其中

7

"男生满意"的有40X方=4(人)，

7

"女生满意”的有30X而=3(人),

记“恰好抽中2名男生与1名女生”为事件4,

则W尸鲁嚼

所以恰好抽中2名男生与1名女生的概率为H

思维升华求解古典概型的综合问题的步骤

⑴将题目条件中的相关知识转化为事件；

(2)判断事件是否为古典概型；

(3)选用合适的方法确定样本点个数；

(4)代入古典概型的^率公式求解.

跟踪训练3从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出频率

分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题.

⑴成绩在［80,90)这一组的频数、频率分别是多少？

(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数；(不要求写过程)

(3)从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选2人，求他们在同一分数段的概率.

解(1)根据题意，成绩在［50,60)这一组的频率为0.015X10=0.15,在［60,70)这一组的频率为

0.025X10=0.25,在［70,80)这一组的频率为0.035X10=0.35,在［90,100)这一组的频率为

0.005X10=0.05,则成绩在［80,90)这一组的频率为3义口一(0.15+0.25+0.35+0.05)］=0.1,其

频数为40X0.1=4.

(2)这次竞赛成绩的平均数约为45X0.1+55X0.15+65X0.25+75X0.35+85X0.1+95X0.05

=68.5；

成绩在［70,80)这一组的频率最大，人数最多，则众数约为75；

70分左右两侧的频率均为0.5,则中位数约为70.

(3)记“选出的2人在同一分数段”为事件E,成绩在［80,90)内的有40X01=4(人)，设为a,

b,c,d；成绩在［90,100)内的有40X0.05=2(人)，设为A,8从这6人中选出2人，有(a,

b),(a,c),(a,d),(a,A),(a,B),(b,c),(b,d),(b,A),(b,B),(c,d),(c,A),(c,

B),(d,A),(d,B),(A,B),共15种选法,其中事件E包括(a,b),(a,c),(a,cl),(b,

7

c),(仇①，(c,d),(A,B),共7种选法，则尸(七)=正.

课时精练

应基础保分练

1.掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A,“向上的点数是1或5”为

事件B,则()

A.AUB表示向上的点数是1或3或5

B.A=8

C.AU8表示向上的点数是1或3

D.ACB表示向上的点数是1或5

答案A

解析设4={1,3},2={1,5},

则AD8={1},AUB={1,3,5},

：.A^B,AHB表示向上的点数是1,AUB表示向上的点数为1或3或5.

2.杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图.现将三张分别印有

“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入盒子中.若

从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是()

2121

AQBQC.77D.O

DJyy

答案C

解析记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为A,B,C,则样本点有(A,A),

(A,B),(A,O,(B,A),(B,B),(B,Q,(C,A),(C,B),(C,。，共9个，

其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的样本点有(A,B),(B,A),共2个，

2

所以所求的概率

3.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，

验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()

A.134石B.169石

C.338石D.1365石

答案B

解析这批米内夹谷约为辰X1534pl69(石).

4.在抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现"，事件B表示

“小于5的点数出现”，则在一次试验中，事件4+不发生的概率为()

A-3B-2C3D1

答案C

2142

解析掷一枚骰子的试验有6种等可能的结果，依题意知尸⑷=与

—21

所以P(B)=1一P(B)=1-§=G，

因为不表示“出现5点或6点”的事件，所以事件A与9互斥，从而尸(A+石)=P(A)+P(9)

_11_2

5.(2022・莆田质检)将5名支援某地区抗疫的医生分配到A,B,C三所医院，要求每所医院

至少安排1人，则其中甲、乙两名医生恰好分配到同一医院的概率为()

1674

-CD-

A.29

2516

答案B

解析由题意可知，分配情况分为两类：3,1,1或2,2,1,其方法总数为CgA§+C守双=150.

其中甲、乙两名医生恰好分配到同一医院的方法共有C3a支卜A4=36（种），

则甲、乙两名医生恰好分配到同一医院的概率为将=去.

6.（多选）下列说法中正确的有（）

A.若事件A与事件B是互斥事件，则P（AB）=O

B.若事件A与事件B是对立事件，则P（A+B）=1

C.某人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对

立事件

D.把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不

是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件

答案ABC

解析事件A与事件B互斥，则A,B不可能同时发生，所以P（AB）=O,故A正确；

事件A与事件B是对立事件，则事件B即为事件T,所以尸（4+8）=1,故B正确；

事件“至少有两次中靶”与“至多有一次中靶”不可能同时发生，且二者必有一个发生，所

以为对立事件，故C正确；

事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生，即“丙分得的是红

牌”，所以不是互斥事件，故D错误.

7.通过手机验证码注册某APP时，收到的验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证

码（0,“2,43,”4）满足a42*3<〃4,则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，

则它是首位为2的递增型验证码的概率为.

7

答案2000

解析**ci\=2,2<6Z2<6Z3<6T4,

〃3,。4从3,4,5,6,7,8,9中选，

选出3个数，让其按照从小到大的顺序有@=35（种）排法，

又四位验证码共有10X10X10X10=10000（种），

，它是首位为2的递增型险证码的概率为濡35而=5■7而不

8.（2022•全国甲卷）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为

姣案—

口呆35

解析从正方体的8个顶点中任选4个，取法有Cg=70（种）.

其中4个点共面有以下两种情况：

（1）所取的4个点为正方体同一个面上的4个顶点，如图1,有6种取法；

(2)所取的4个点为正方体同一个对角面上的4个顶点，如图2,也有6种取法.

故4个点在同一个平面共有6+6=12(种)情况.

所以所取的4个点在同一个平面的概率户=芫=

9.经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下:

排队人数012345人及5人以上

概率0.10.160.30.30.10.04

求：(1)至多2人排队等候的概率；

(2)至少3人排队等候的概率.

解记''无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件“2人排队等候”为事件C,

“3人排队等候”为事件。，“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事

件凡则事件4,B,C,D,E,尸彼此互斥.

(1)记''至多2人排队等候”为事件G,则G=A+B+C,所以尸(G)=P(4+8+C)=P(A)+P(B)

+P(O=0.1+0.16+0.3=0.56.

(2)方法一记''至少3人排队等候”为事件H,则H=Z)+E+F,所以P(H)=P(D+E+F)

=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.

方法二记“至少3人排队等候”为事件”，则其对立事件为事件G,所以P(4)=l一尸(G)

=0.44.

10.某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取6个网点统计得到其元旦期间的网购金额(单

位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.

046

1228

20

(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数；

(2)若网购金额(单位：万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网

点，根据茎叶图估计这90个服务网点中优秀服务网点的个数；

(3)从随机抽取的6个服务网点中任取2个做网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网

点的概率.

解（1）由题意知，样本数据的平均数x=-------------------=12.

21

（2）样本中优秀服务网点有2个，频率为由此估计这90个服务网点中优秀服务网点约

有90X；=30（个）.

（3）样本中优秀服务网点有2个，分别记为四，政，非优秀服务网点有4个，分别记为历，历,

历,仇，

从随机抽取的6个服务网点中任取2个的可能情况有（0,。2）,3,加），31,bi）.3,历），

3,Z?4），（。2,bl）,（。2,bi）,（。2,。3），（〃2,84），（加，力2），S1,6），Sl，64）»（岳,63），（岳，

仇），（匕3,Z?4）,共15种,

记“恰有1个网点是优秀服务网点”为事件M,则事件M包含的可能情况有（0,6），（卬，

岳），3【，匕3）,（两，人4）,（。2,加），（。2,岳），（。2,%）,（。2,b4），共8种,

Q

故所求概率尸（M）=m.

立综合提升练

11.如果事件A,B互斥,记石分别为事件A,8的对立事件，那么（）

A.AUB是必然事件

B.T是必然事件

C.N与不一定互斥

D.N■与下■一定不互斥

答案B

解析如图①所示，4UB不是必然事件，下是必然事件，了与万不互斥；如图②所

示，AUB是必然事件，加U不是必