4.1万有引力定律（讲义）（5考点10题型）

4.1万有引力定律TOC\o"13"\h\z\u考点一天体质量和密度的计算 1考点二卫星运行参量的比较与计算 2考点三卫星变轨问题分析 3考点四宇宙速度的理解与计算 3考点五双星或多星模型 3TOC\o"44"\h\z\u题型1开普勒三定律的理解和应用 4题型2利用重力加速度求天体质量和密度 6题型3利用环绕法计算天体质量和密度 9题型4卫星运行参量与轨道半径的关系 12题型5同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较 15题型6宇宙速度 16题型7卫星变轨问题 18题型8双星问题 22题型9天体追及相遇问题 25题型10天体自转稳定的临界问题 27考点一天体质量和密度的计算1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即Geq\f(Mm,r2)＝man＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2r,T2)(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg(g表示天体表面的重力加速度)．2．天体质量和密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.由于Geq\f(Mm,R2)＝mg，故天体质量M＝eq\f(gR2,G)，天体密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR).(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.①由万有引力等于向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得出中心天体质量M＝eq\f(4π2r3,GT2)；②若已知天体半径R，则天体的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)；③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq\f(3π,GT2).可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．考点二卫星运行参量的比较与计算1．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律2．极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9km/s.(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心．考点三卫星变轨问题分析1．当卫星的速度突然增大时，Geq\f(Mm,r2)<meq\f(v2,r)，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝eq\r(\f(GM,r))可知其运行速度比原轨道时减小．2．当卫星的速度突然减小时，Geq\f(Mm,r2)>meq\f(v2,r)，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝eq\r(\f(GM,r))可知其运行速度比原轨道时增大．卫星的发射和回收就是利用这一原理．考点四宇宙速度的理解与计算1．第一宇宙速度又叫环绕速度．推导过程为：由mg＝eq\f(mv\o\al(2,1),R)＝eq\f(GMm,R2)得：v1＝eq\r(\f(GM,R))＝eq\r(gR)＝7.9km/s.2．第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．3．第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．注意(1)两种周期——自转周期和公转周期的不同．(2)两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度．(3)两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的不同．(4)第二宇宙速度(脱离速度)：v2＝11.2km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．(5)第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．考点五双星或多星模型绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图6所示，双星系统模型有以下特点：图6(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq\o\al(2,1)r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq\o\al(2,2)r2(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L(4)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即eq\f(m1,m2)＝eq\f(r2,r1)(5)双星的运动周期T＝2πeq\r(\f(L3,Gm1＋m2))(6)双星的总质量公式m1＋m2＝eq\f(4π2L3,T2G)题型1开普勒三定律的理解和应用（2023春•矿区校级期中）如图是太阳系中两小行星的轨道示意图，已知两小行星的轨道在同一平面内，其中Amors轨道的半长轴大于1AU，Atiras轨道的半长轴小于0.98AU，可知（）A．Amors和Atiras在同一平面内绕太阳沿圆轨道运行 B．Amors和Atiras绕太阳运行的角速度大小始终相等 C．相同时间内，Amors与太阳连线扫过的面积等于Atiras与太阳连线扫过的面积 D．Amors和Atiras公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的三次方【解答】解：A、根据开普勒第一定律可知Amors和Atiras两行星在同一平面内绕太阳沿椭圆轨道运行，故A错误；B、根据开普勒第二定律可知Amors和Atiras绕太阳运行过程中线速度大小时刻变化，在近日点的线速度最大，在远日点线速度最小，由v＝ωr可知角速度大小也在变化，故B错误；C、根据开普勒第二定律可知相同时间内，Amors与Atiras各自与太阳连线扫过的面积相等，故C错误；D．根据开普勒第三定律可知，Amors和Atiras公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的三次方，故D正确。故选：D。（2023春•宜昌期中）对于开普勒行星运动定律的理解，下列说法中正确的是（）A．开普勒三大定律仅适用于太阳系中行星的运动 B．开普勒第二定律表明，行星离太阳越远，速度越大 C．月亮绕地球运动的轨道是一个标准的圆，地球处在该圆的圆心上 D．开普勒第三定律r3T2=k中，月亮绕地球运动的【解答】解：A．开普勒三大定律不仅仅适用于太阳系中行星的运动，也适合于宇宙中其他天体的运动，故A错误；B．开普勒第二定律表明，从近日点到远日点速度越来越小，所以行星离太阳越远，速度越小，故B错误；C．月亮绕地球运动的轨道是一个椭圆，地球处在椭圆的其中一个焦点上，故C错误；D．k值与中心天体的质量有关，月亮绕地球运动的k值与地球绕太阳运动的k值不同，故D正确。故选：D。（2023春•番禺区期中）地球公转轨道接近圆，但彗星运动轨道则是一个非常扁的椭圆。天文学家哈雷成功预言哈雷彗星的回归，它最近出现的时间为1986年，预测下次飞近地球将在2061年左右。如图为地球与哈雷彗星绕日运动的示意图，且图中M点为两轨迹的交点。则下列分析正确的是（）A．哈雷彗星在M点时的速度与地球在M点时的速度相同 B．哈雷彗星在M点时的加速度与地球在M点时的加速度相同 C．根据已知数据可估算哈雷彗星轨道的半长轴是地球公转半径的753倍D．地球与太阳的连线和哈雷彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等【解答】解：A．哈雷彗星在M点时的速度与地球在M点时的速度方向不同，但是速度的大小关系由题设条件无法判定，故A错误；B．根据牛顿第二定律可知：a=F引m=GMmr2m=GMrC．根据开普勒第三定律可知：r则：r代入数据有：r哈=3D．根据开普勒第二定律可知：同一颗行星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等。所以地球与太阳的连线在相等时间内扫过的面积与哈雷彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积不相等，故D错误。故选：B。题型2利用重力加速度求天体质量和密度（2023春•来宾期末）2022年11月29日23时08分，搭载“神舟十五号”载人飞船的“长征二号”运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，三名航天员顺利进驻中国空间站，与“神舟十四号”航天员乘组首次实现“太空会师”，对我国空间站建造具有里程碑意义。已知空间站的离地高度为h，空间站的运行周期为T，地球自转周期为T0，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，则（）A．地球的质量为4πB．地球的质量为g(R+h)C．地球的密度为3π(R+h)D．地球的密度为3π【解答】解：AD．对地球上的物体进行分析，地球对其的万有引力不等于地球上物体的向心力，即：GMm所以：M又因为：M=ρ所以地球密度为：ρ≠3πGB．对地球上的物体进行分析，地球对其的万有引力几乎等于重力：GMm解得地球的质量为：M=gR2C．对空间站进行受力分析，地球对其的万有引力提供向心力，则有：GMm可得地球的质量为：M=根据质量和密度的关系可得：M=ρ所以地球密度为：ρ=3π(R+h)3故选：C。（2023春•南开区期末）火星是太阳系中与地球最为类似的行星，“天问一号”探测器成功着陆火星，标志着我国在深空探测领域的技术进入世界先进行列。若火星可视为均匀球体，已知火星表面的重力加速度大小为g，火星半径为R，火星自转周期为T，万有引力常量为G，则可估算出（）A．火星的质量为4πB．火星的第一宇宙速度为2πRTC．火星的密度为3g4πGRD．火星同步卫星到火星表面的高度为3【解答】解：A、对于近心卫星，设其运行周期为T′，则GMmR2=解得火星的质量为：M=4π2R3GT'2。火星的同步卫星周期等于火星自转的周期T，大于近心卫星的周期，则TB、火星表面得第一宇宙速度为v=2πRT'≠C、在火星表面上，根据GMm'R2=m′g，可得火星的质量为M=gRD、火星的同步卫星周期等于火星自转的周期，则GMm解得火星同步卫星到火星表面的高度为：h=3g故选：C。（2022秋•武邑县校级期末）2022年11月1日，梦天实验舱与“天宫”空间站在轨完成交会对接，目前已与天和核心舱、问天实验舱形成新的空间站“T”字基本构型组合体。已知组合体的运行轨道距地面高度为h（约为400km），地球视为理想球体且半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是（）A．组合体运行周期T为2πR+hB．地球的密度可表示为3g4πGRC．组合体轨道处的重力加速度为gR(R+h)D．组合体的运行速度介于7.9km/s和11.2km/s之间【解答】解：在地球表面，万有引力等于重力GMmA．万有引力提供向心力GMm得T=故A错误；B．在地球表面，万有引力等于重力GMm则地球的质量M=地球的体积V=则地球密度ρ=解得ρ=故B正确；C．万有引力提供向心力GMm得g故C错误；D．第一宇宙速度是环绕的最大速度，卫星围绕地球做圆周运动最大速度为7.9km/s，则组合体的运行速度小于7.9km/s，故D错误。故选：B。题型3利用环绕法计算天体质量和密度（多选）（2023春•万安县校级期末）某宇宙飞船绕地球做圆周运动的周期为T，由于地球遮挡，宇航员发现有16T时间会经历“日全食”过程，如图所示，已知地球的半径为R，引力常量为G，地球自转周期为TA．宇宙飞船离地球表面的高度为2R B．地球的平均密度为ρ=24πC．一天内飞船经历“日全食”的次数为T0D．宇宙飞船的运行速度为4πR【解答】解：A、由几何关系，飞船每次“日全食”过程的时间内飞船转过α角，所需的时间为t=α2π•由于宇航员发现有16T时间会经历“日全食”过程，则：α2π=设宇宙飞船离地球表面的高度h，由几何关系可得：RR+h=sinα2=12可得：B、宇宙飞船的轨道半径r＝R+h＝2R；根据万有引力提供向心力，则有：GMmr2=mr4π2T2，解得M联立解得地球的平均密度为ρ=24πGTC、地球自转一圈时间为T0，飞船绕地球一圈时间为T，飞船绕一圈会有一次日全食，所以每过时间T就有一次日全食，得一天内飞船经历“日全食”的次数为N=T0TD、宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，宇宙飞船的运行速度为：v=2πrT=故选：CD。（多选）（2023春•蕉城区校级期末）2022年4月16日，长征四号丙运载火箭在太原卫星发射中心升空，将世界首颗具备二氧化碳激光探测能力的卫星——大气环境监测卫星送入预定轨道，发射任务取得圆满成功。如图，大气环境监测卫星绕地球运动可视为匀速圆周运动，运行周期为T。已知地球的半径为R，地球相对该卫星的张角为θ，引力常量为G，下列说法正确的是（）A．大气环境监测卫星不处于平衡状态 B．大气环境监测卫星运动过程中机械能保持不变 C．大气环境监测卫星的轨道半径为Rsinθ D．地球的平均密度为3π【解答】解：A、大气环境监测卫星绕地球运动可视为匀速圆周运动，是变速运动，故大气环境监测卫星处于不平衡状态，故A正确；B、大气环境监测卫星绕地球运动做匀速圆周运动时，动能和势能都不变，机械能守恒，故B正确；C、由几何关系可知大气环境监测卫星的轨道半径为：r=RsinθD、由万有引力提供向心力：GMm而地球的质量可表示为：M=ρ联立可得地球的平均密度为：ρ=3πGT故选：AB。（多选）（2023春•濮阳期末）2020年11月24日，嫦娥月球探测器由长征五号运载火箭成功发射升空，并进入环月轨道飞行。假设嫦娥探测器环绕月球飞行时，距月球表面高度为h，绕月球做匀速圆周运动（不计周围其他天体的影响），测出其飞行周期为T，已知引力常量G和月球半径R，则下列说法正确的是（）A．嫦娥探测器绕月球飞行的线速度大小等于2π(R+h)TB．月球的质量等于4πC．月球表面的重力加速度大小等于4πD．嫦娥探测器绕月球飞行的向心加速度大小等于4【解答】解：A．嫦娥探测器绕月球飞行的飞行周期为T，故线速度大小为：v=ωr=2π(R+h)T，故B．嫦娥探测器绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得：GMm(R+h)2=mωC．对于月球表面质量为m的物体，根据万有引力和重力的关系可得：GMmR2=mg，结合M=4πD．嫦娥探测器绕月球飞行的向心加速度大小为：a=ω2(R+h)=故选：AB。题型4卫星运行参量与轨道半径的关系（2023秋•枣强县期末）2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，授课期间利用了我国的中继卫星系统进行信号传输。若空间站在近地轨道上做匀速圆周运动，中继卫星系统中某卫星是地球静止轨道卫星，其距地面高度约为空间站距地面高度的10倍。则下列说法正确的是（）A．静止轨道卫星运行周期小于空间站运行周期 B．静止轨道卫星运行线速度小于空间站运行线速度 C．静止轨道卫星运行加速度大于空间站运行加速度 D．静止轨道卫星运行角速度大于空间站运行角速度【解答】解：根据万有引力提供向心力得GMmr2=m4π2T2r＝m解得：T＝2πr3GM，v=GMr，a可知卫星的轨道半径越大，运行周期越大，线速度、加速度和角速度均越小，因为静止轨道卫星的轨道半径比空间站的大，所以静止轨道卫星运行周期大于空间站运行周期，静止轨道卫星运行线速度、加速度、角速度均小于空间站运行线速度、加速度、角速度，故ACD错误，B正确。故选：B。（2022秋•西城区期末）我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高，极大丰富了我国自主对地观测数据源，为现代农业、防灾减灾、环境监测等领域提供了可靠稳定的卫星数据支持。系列卫星中的“高分三号”的轨道高度约为755km，“高分四号”的轨道为高度约3.6×104km的地球同步轨道。已知地球表面重力加速度g＝9.8m/s2，若将卫星的运动均看作是绕地球的匀速圆周运动，则（）A．“高分三号”的运行周期大于24h B．“高分三号”的向心加速度大于9.8m/s2 C．“高分四号”的运行角速度大于地球自转的角速度 D．“高分三号”的运行速度大于“高分四号”的运行速度【解答】解：“高分三号”的轨道高度约为755km，“高分四号”的轨道为高度约3.6×104km的地球同步卫星，则“高分三号”的轨道半径小于“高分四号”的轨道半径，且“高分四号”的周期为24h。A、根据开普勒第三定律可得r3T2=k，可知“高分三号”的运行周期小于“高分四号”的运行周期，即小于B、根据牛顿第二定律可得GMmr2=ma，解得a=GMr2，在地球表面，有：GMmR2=mg，解得g=GMR2C、“高分四号”为地球同步卫星，其运行角速度等于地球自转的角速度，故C错误；D、由万有引力提供向心力有：GMmr2=mv2r，解得：故选：D。（2023春•黎川县校级期末）如图所示，A、B、C是三颗人造地球卫星，它们轨道半径的关系为rA＝rB＜rC，下列说法正确的是（）A．它们的速度关系vA＝vB＞vC B．A、B的质量一定相等 C．它们的周期关系TA＝TB＞TC D．它们的角速度关系ωA＝ωB＜ωC【解答】解：A、设地球质量为M，卫星的质量为m，轨道半径为r。根据万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需要的向心力，有GMm解得卫星的线速度：v=由它们轨道半径的关系为rA＝rB＜rC，可知vA＝vB＞vC，故A正确；B、A、B两颗人造地球卫星的轨道半径相同，当其质量可以不同，故B错误；C、根据万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需要的向心力，有GMm解得卫星的运行周期：T=2πr3GM，由它们轨道半径的关系为rA＝rB＜rC，可知TA＝TB＜TCD、根据万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需要的向心力，有GMm解得卫星的角速度：ω=GMr3，由它们轨道半径的关系为rA＝rB＜rC，可知ωA＝ωB＞ωC故选：A。题型5同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较（2023春•哈尔滨期末）如图所示，A为地球赤道上的物体，随地球表面一起转动，B为近地轨道卫星，C为同步轨道卫星，D为高空探测卫星若A、B、C、D绕地球转动的方向相同，且均可视为匀速圆周运动，则其向心加速度大小关系正确的是（）A．aA＞aB＞aC B．aB＞aC＞aA C．aD＞aC＞aB D．aA＞aC＞aD【解答】解：卫星B、C、D，由地球的万有引力提供向心力，满足：GMmr则有：a=因为卫星B、C、D的半径关系为：rB＜rC＜rD，所以有：aB＞aC＞aD对于A物体和C卫星，两者周期相同、角速度相同，且rA＜rC，根据公式a＝ω2r，可得：aA＜aC综上可得，aB＞aC＞aA由于信息不足，无法比较A物体和D卫星的向心加速度大小，故ACD错误，B正确。故选：B。（多选）（2023秋•宁河区期末）如图所示，A、B、C在同一平面内，A是静止在地面上的物体，B、C是两颗人造卫星。其中B为近地卫星，C为同步卫星。则以下判断正确的是（）A．卫星B的线速度大于地球的第一宇宙速度 B．A、B的角速度大小关系为ωA＜ωB C．A、B、C周期的大小关系为TC＞TB＞TA D．A、B、C都在赤道所在平面上【解答】解：A、B为近地卫星，根据卫星线速度公式v=GMr分析可知，B的运行速度等于地球的第一宇宙速度，故B、A是静止在地面上的物体，C为地球同步卫星，则A、C的角速度相等，即ωA＝ωC。根据ω=vr=GMr3可知，B、C的角速度大小关系为ωC＜ωB，则ωAC、A是静止在地面上的物体，C为地球同步卫星，则TC＝TA。根据ωC＜ωB，由T=2πω得：TC＞TB，所以TC＝TA＞TB，故D、A、B、C在同一平面内，A是静止在地面上的物体，结合图可知A、B、C都在赤道所在平面上，故D正确。故选：BD。题型6宇宙速度（2023春•沧州期末）天文学家哈雷成功预言了哈雷彗星的回归，海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位，也成为科学史上的美谈。海王星的质量是地球的17倍，半径是地球的4倍，则卫星绕海王星表面做圆周运动的线速度大小约为（）A．64km/s B．16km/s C．4km/s D．2km/s【解答】解：卫星绕地球表面做圆周运动，根据万有引力提供向心力可得：m代入数据解得线速度大小约为：v=由于地球的第一宇宙速度为v＝7.9km/s，则GMR卫星绕海王星表面做圆周运动的线速度大小约为：v代入数据解得：v′＝16km/s，故B正确、ACD错误。故选：B。（2023春•建平县校级期末）2022年9月14日《天体物理学杂志》宣布了一个新发现的超级地球，并且这一颗新的天体，它当中有30%都是水，它离地球的距离仅仅在100光年．假设在超级地球表面将一可视为质点的小球以速度v0沿竖直向上的方向抛出，小球上升的最大高度为h，已知超级地球的半径为R，超级地球的自转周期为T，引力常量为G。求：（1）超级地球的第一宇宙速度；（2）超级地球的同步卫星到超级地球表面的距离。【解答】解：（1）小球竖直向上抛出，根据竖直上抛规律得：v对于超级地球表面的物体，重力等于万有引力，即有G超级地球的第一宇宙速度为近地卫星的运行速度，运行的轨道半径等于超级地球半径，根据万有引力提供向心力得：G整理得v=（2）超级地球的同步卫星绕超级地球做匀速圆周运动，设同步卫星距离超级地球表面的高度为h′，则同步卫星的轨道半径为r＝R+h′同步卫星的环绕周期等于超级地球的自转周期T，根据万有引力提供向心力有GMmr整理解得：h'=答：（1）超级地球的第一宇宙速度为v0（2）超级地球的同步卫星到超级地球表面的距离为3v（2023春•滁州期末）2021年5月22晶，“祝融号”火星车成功驶入火星表面。2021年8月30日，“祝融号”火星车驶上火星表面满100天，累计行驶1064米，如图甲所示。（1）为减小沾在火星车太阳能板上的尘土对火星车的影响，“祝融号”火星车可以像蝴蝶一样扇动翅膀。若在扇动太阳能板时，沾在太阳能板边缘，距火星地面高度为h的某块尘土无初速度下落，经过时间t落在地面上。已知万有引力常量为G，火星可视为半径为R、质量分布均匀的球体。忽略火星大气的影响，求火星的质量M。（2）火星与地球有很多相似之处，已知火星的质量为地球的0.1倍，半径为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度g取10m/s2。若在火星表面上用一轻质细绳与小球相连，让小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，如图乙所示，其中小球质量m＝0.2kg，球心到O点的距离l＝1m，不计火星表面空气阻力，求小球在最高点的最小速率。【解答】解：（1）由尘土无初速度下落，经过时间t落在地面上，则由自由落体运动规律：h可得火星表面的重力加速度为：g=在火星表面GMmR（2）在任意星球表面不考虑星球自转时，由GMmR所以：g代入解得火星表面的重力加速度大小为：g小球在最高点最小速率时：mg火=解得小球在最高点的最小速率：vmin=g火l答：（1）火星的质量M为2h（2）小球在最高点的最小速率为2m/s。题型7卫星变轨问题（2023秋•江苏期末）2023年10月26日，神舟十七号在酒泉卫星发射中心点火升空，成功将航天员汤洪波、唐胜杰、江新林顺利送入太空。发射入轨后，神舟十七号成功对接于空间站核心舱前向端口，形成三舱三船组合体，对接后的组合体仍在空间站原轨道上运行。对接前，空间站与神舟十七号的轨道如图所示。已知空间站距地球表面约400km。则神舟十七号（）A．需要加速变轨才能实现对接 B．需要减速变轨才能实现对接 C．对接后，绕地球运行周期大于24小时 D．对接前，绕地球做圆周运动的线速度比空间站的小【解答】解：AB、对接前，神舟十七号轨道半径小于空间站的轨道半径，神舟十七号要想与空间站对接，需获得能量突破地球万有引力的束缚、向高轨道运行，根据卫星变轨原理，可知神舟十七号需要加速变轨才能实现对接，故A正确，B错误；C、对地球卫星有GMmr2=mω2r＝m(2πT)2地球同步卫星距地球表面约36000km＞400km，则地球同步卫星（周期为T同＝24h）的轨道半径大于空间站的轨道半径，所以，T同＝24h＞T空，故C错误；D、设地球质量为M，卫星轨道半径为r，根据万有引力提供向心力，对地球卫星有GMmr2=mv2r，可得故选：A。（2022秋•广东期末）2022年11月29日晚，长征二号运载火箭将神舟十五号载人飞船精准送入预定轨道，并于11月30日7时33分对接天和核心舱，形成三舱三船组合体，这是中国太空站目前最大的构型。如图所示为“神舟十五号”对接前变轨过程的简化示意图，AC是椭圆轨道Ⅱ的长轴，“神舟十五号”从圆轨道Ⅰ先变轨到椭圆轨道Ⅱ，再变轨到圆轨道Ⅲ，与在圆轨道Ⅲ运行的天和核心舱实施对接。下列说法正确的是（）A．“神舟十五号”两次变轨过程中均需要点火减速 B．“神舟十五号”在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期小于天和核心舱运行的周期 C．“神舟十五号”在椭圆轨道Ⅱ上经过C点时的速率大于天和核心舱经过C点时的速率 D．“神舟十五号”在椭圆轨道Ⅱ上C点时的加速度大于天和核心舱在C点时的加速度【解答】解：A、卫星从低轨道变轨到高轨道需要在变轨处点火加速，故“神舟十五号”两次变轨过程中均需要点火加速，故A错误；B、根据开普勒第三定律可得：a3T2C、“神舟十五号”从椭圆轨道Ⅱ变轨到圆轨道Ⅲ需要在C处点火加速，故“神舟十五号”在椭圆轨道Ⅱ上经过C点时的速率小于天和核心舱经过C点时的速率，故C错误；D、根据牛顿第二定律可得GMmr2=ma，解得a=GMr2，“神舟十五号”在椭圆轨道Ⅱ上C点时距离地心的距离等于核心舱在C点时距离地心的距离，所以“神舟十五号”在椭圆轨道Ⅱ上故选：B。（2023春•红塔区校级期末）如图为“高分一号”与北斗导航系统两颗卫星在空中某一平面内运动的示意图。“北斗”系统中两颗卫星“G1”和“G3”以及“高分一号”均可认为绕地心O做匀速圆周运动。卫星“G1”和“G3”的轨道半径为r，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A、B两位置，“高分一号”在C位置。若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，不计卫星间的相互作用力。则下列说法正确的是（）A．卫星“G1”和“G3”的加速度大小相等且为RrB．如果调动“高分一号”卫星快速到达B位置的下方，必须对其加速 C．卫星“G1”由位置A运动到位置B所需的时间为πr3RD．“高分一号”所在高度处的加速度大于地面处的重力加速度【解答】解：A、根据万有引力提供向心力可知：GMm整理可得：a=卫星“G1”和“G3”的轨道半径相等，所以加速度大小也相等，在地球表面的物体所受重力等于万有引力，可知：GMm变形可得：GM＝gR2联立可得卫星“G1”和“G3”的加速度大小为：a=gR2B、“高分一号”卫星加速，将做离心运动，轨道半径变大，速度变小，路程变长，运动时间变长，故如果调动“高分一号”卫星快速到达B位置的下方，必须对其减速，故B错误；D、由万有引力提供重力可得地面处重力加速度为：g=“高分一号”做圆周运动所需向心力由万有引力提供，其加速度为：a由于“高分一号”运动半径大于地球半径，所以“高分一号”所在高度处的加速度小于地面处的重力加速度，故D错误；C、根据万有引力提供向心力有：GMm整理可得：ω=所以卫星“G1”由位置A运动到位置B所需的时间为：t=π3ω故选：C。题型8双星问题（2022秋•张家口期末）如图甲所示，2022年7月15日，由清华大学天文系祝伟教授牵头的国际团队近日宣布在宇宙中发现两个罕见的恒星系统。该系统均是由两颗互相绕行的中央恒星组成，被气体和尘埃盘包围，且该盘与中央恒星的轨道成一定角度，呈现出“雾绕双星”的奇幻效果。若其中一个系统简化模型如图乙所示，质量不等的恒星A和B绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动，由天文观察测得其运动周期为T，A到O点的距离为r1，A和B的距离为r，已知引力常量为G，则A的质量为（）A．4π2r2(r-C．4π2r3【解答】解：取B为研究对象，B绕O点做匀速圆周运动，设A、B的质量分别为m1和m2由牛顿第二定律得Gm1m2解得：m1=故A正确，BCD错误；故选：A。（多选）（2023春•弥勒市校级期末）由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在平面内以相同角速度做匀速圆周运动．如图所示，三颗星体的质量均为m，三角形的边长为a，引力常量为G，下列说法正确的是（）A．每颗星体受到的引力大小均为3GmB．每颗星体的角速度均为3GmaC．若a不变，m是原来的2倍，则周期是原来的12D．若m不变，a是原来的4倍，则线速度是原来的1【解答】解：A、对其中一个星体，受力分析如下图所示：由万有引力定律得：F1=G每个星体受到的引力为：F=2F1cos30°=B、由几何关系可知，每个星体均绕等边三角形的中心O点做匀速圆周运动的半径为：r=根据引力F提供向心力得：3解得：ω=3Gma3C、对每个星体，根据合力F提供向心力得：3G解得：T=2π若a不变，m是原来的2倍，则周期是原来的22，故CD、对每个星体，同理可得：3解得：v=若m不变，a是原来的4倍，则线速度是原来的12，故D故选：BD。（多选）（2023春•四川期末）天文爱好者观测到一组稳定的双星系统，如图所示，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动。天体A的质量为m，星体B的质量为km，引力常量为G，则两颗星体的（）A．角速度大小相等 B．线速度大小之和为恒定值 C．轨道半径之比rA：rB＝1：k D．向心力大小之比FA：FB＝k：1【解答】解：A．双星系统绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，因此角速度大小相等，故A正确；B．设A、B做匀速圆周运动的角速度为ω，天体之间的距离为L，则它们的线速度分别为v1＝ωr1，v2＝ωr2则v1+v2＝ω（r1+r2）＝ωLA、B做匀速圆周运动的角速度和它们之间的距离不变，所以线速度大小之和为恒定值，故B正确；C．天体受到的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律可得：Gm×KML解得：rA：rB＝k：1，故C错误；D．根据万有引力提供向心力有FA解得：FA：FB＝1：1，故D错误。故选：AB。题型9天体追及相遇问题（2023春•河北期末）如图所示为三颗卫星a、b、c绕地球沿逆时针方向做匀速圆周运动的示意图，其中b、c是地球同步卫星，在半径为r1的轨道上，a在半径为r2的轨道上，此时a、b恰好相距最近，已知地球质量为M，地球自转的角速度为ω，引力常量为G，则（）A．卫星a、c与地心的连线单位时间扫过的面积相等 B．卫星c与卫星a的周期之比为r2C．从此时到卫星a和b下一次相距最远，还需经过时间2πGMD．若已知近地卫星的周期为T0，则可估算得出地球的平均密度ρ【解答】解：A．卫星地球做匀速圆周运动，设轨道半径为r时，在很短时间Δt内扫过的面积为S。根据万有引力提供向心力可得：GMmr2=mv根据面积计算公式可得：S=12v⋅Δtr=12ΔtGMrB．根据万有引力提供向心力可得：GMm可得：T=则卫星c与卫星a的周期之比为：T1T2C．根据万有引力提供向心力有：G可得：ω=由此可知卫星a的角速度为：ω设卫星a和b下一次相距最远的时间为t，则有：ωat﹣ωt＝π联立解得：t=πGMrD．若已知近地卫星的周期为T0，根据万有引力提供向心力可得：GMm又：M=ρV=ρ联立可得：ρ=3πGT故选：D。（2023春•亳州期末）