数学北师大版必修3学案3-2-3互斥事件

2．3互斥事件知识点一互斥事件[填一填]1．互斥事件不能同时发生的两个事件叫作互斥事件(或称互不相容事件)．2．事件A与B的并(或和)一般地，由事件A和B至少有一个发生(即A发生，或B发生，或A、B都发生)所构成的事件C称为事件A与B的并(或和)，记作C＝A∪B.事件A∪B是由事件A或B所包含的基本事件组成的集合．3．互斥事件的概率加法公式(1)如果A、B是互斥事件，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(2)如果事件A1，A2，…An两两互斥(彼此互斥)，那么事件“A1∪A2∪…∪An”发生(是指事件A1，A2，…An中至少有一个发生)的概率等于这n个事件分别发生的概率和，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．[答一答]1．怎样正确理解事件A与事件B的和？提示：并(和)事件具有三层意思：(1)事件A发生，事件B不发生；(2)事件A不发生，事件B发生；(3)事件A，B同时发生．即事件A，B中至少有一个发生．与集合的并集的性质A∪B＝B∪A类似，事件A与事件B的并(和)事件等于事件B与事件A的并(和)事件，即A∪B＝B∪A.例如在掷骰子的试验中，事件C，D分别表示投掷骰子出现2点、3点，则C∪D＝{出现2点或3点}．知识点二对立事件[填一填]4．对立事件(1)定义：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫作互为对立事件，事件A的对立事件记作eq\x\to(A).(2)概率公式：P(eq\x\to(A))＝1－P(A)．[答一答]2．怎样正确理解互斥事件与对立事件？提示：互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个要发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件同时不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥．1．要注意互斥事件与对立事件的区别与联系：互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：(1)事件A发生且事件B不发生．(2)事件A不发生且事件B发生．(3)事件A与事件B同时不发生．而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形：①事件A发生且事件B不发生．②事件B发生且事件A不发生．对立事件是互斥事件的特殊情形．2．关于概率的加法公式：(1)使用条件：A、B互斥．(2)推广：若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．(3)在求某些复杂的事件的概率时，可将其分解为一些概率较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易．类型一互斥事件与对立事件的判断【例1】某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”．判断下列事件是否是互斥事件，如果是，判断它们是否是对立事件．(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.【思路探究】判断两个事件是否互斥，就是判断它们在一次试验中是否能同时发生；判断两个互斥事件是否对立，就是判断它们在一次试验中是否必有一个发生．【解】(1)由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件．由于事件B和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件．(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件．(4)事件B“至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报”中有3种可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”．即事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．(5)由(4)的分析可知，事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．规律方法互斥事件和对立事件的判断方法(1)判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们在一次试验中能否同时发生，若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件．(2)判断两个事件是否为对立事件，主要看在一次试验中这两个事件是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生．如果这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，这两个事件就不是对立事件．事实上，解决此类问题的关键是明晰“恰”“至少”“至多”“都”等关键词．抛掷一枚质地均匀的骰子，用图形画出下列每对事件所含结果构成的集合之间的关系，并说明二者之间是否构成对立事件．(1)“朝上的一面出现奇数”与“朝上的一面出现偶数”；(2)“朝上的一面的数字不大于4”与“朝上的一面的数字大于4解：(1)根据题意作出Venn图(如图(1))．从图中可以看出：“朝上的一面出现奇数”与“朝上的一面出现偶数”各自所含结果所组成的集合互为补集，因此它们构成对立事件．(2)根据题意作出Venn图(如图(2))．从图中可以看出：“朝上的一面的数字不大于4”与“朝上的一面的数字大于4类型二互斥事件的概率计算【例2】假设向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，炸中其余两个的概率各为0.1，只要炸中一个，另两个也会发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．【思路探究】本题应先判断“军火库发生爆炸”所包含的结果是否可写成几个互斥事件所包含结果的和的形式，如果可以，则分别计算出每个基本事件发生的概率，再利用概率的加法公式进行计算．【解】设A、B、C分别表示炸中第一、第二、第三个军火库这三个事件，则P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.又设D表示军火库发生爆炸这个事件，则有D＝A＋B＋C，其中A、B、C彼此互斥．所以P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225，则军火库发生爆炸的概率为0.225.规律方法利用互斥事件的加法公式解题体现了化整为零、化难为易的思想．但要注意用此公式时，首先要判断事件是否互斥，如果事件不互斥，就不能用此公式．在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现1点}，B＝{出现3点或4点}，C＝{出现的点数是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}．(1)说明以上4个事件的关系；(2)求两两运算的结果．解：解答时抓住运算定义．在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，记作Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，也不对立；事件B与D不是互斥事件，也不是对立事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．(2)A∩B＝∅，A∩C＝A，A∩D＝∅.A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1或3或4}，A∪C＝C＝{出现点数1或3或5)，A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1或2或4或6}．B∩C＝A3＝{出现点数3}，B∩D＝A4＝{出现点数4}．B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{出现点数1或3或4或5}．B∪D＝A2∪A3∪A4∪A6＝{出现点数2或3或4或6}．C∩D＝∅，C∪D＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6＝{出现点数1,2,3,4,5,6}．类型三对立事件的概率计算【例3】一个箱子内有9张票，其号数分别为1,2，…，9.从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是多少？【思路探究】从9张票中任取2张，要弄清楚取法种数为eq\f(1,2)×9×8＝36，“号数至少有一个为奇数”的对立事件是“号数全是偶数”，用对立事件的性质求解非常简单．【解】从9张票中任取2张，有(1,2)，(1,3)，…，(1,9)；(2,3)，(2,4)，…，(2,9)；(3,4)，(3,5)，…，(3,9)；…(7,8)，(7,9)；(8,9)，共计36种取法．记“号数至少有一个为奇数”为事件B，“号数全是偶数”为事件C，则事件C为从号数为2,4,6,8的四张票中任取2张有(2,4)，(2,6)，(2,8)，(4,6)，(4,8)，(6,8)共6种取法．∴P(C)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，由对立事件的性质得P(B)＝1－P(C)＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).规律方法(1)求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求对立事件的概率．(2)涉及到“至多”“至少”型的问题，可以用互斥事件以及分类讨论的思想求解，当涉及的互斥事件多于两个时，一般用对立事件求解．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是eq\f(5,6).解析：方法1：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，向上的点数有36种结果，其中点数之和小于10的有30种，故所求概率为eq\f(30,36)＝eq\f(5,6).方法2：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，向上的点数有36种结果，其中点数之和不小于10的有(6,6)，(6,5)，(6,4)，(5,6)，(5,5)，(4,6)，共6种，故所求概率为1－eq\f(6,36)＝eq\f(5,6).类型四互斥事件、对立事件的综合应用【例4】一个盒中装有除颜色外完全相同的12个球，其中有5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．【解】方法1：(1)从12个球中任取1球，得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9(种)不同的取法，任取1球有12种取法．所以任取1球得到红球或黑球的概率为eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)从12个球中任取1球，得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法．从而得红球或黑球或白球的概率为eq\f(5＋4＋2,12)＝eq\f(11,12).方法2：(利用互斥事件求概率)记事件A1＝“任取1球为红球”；A2＝“任取1球为黑球”；A3＝“任取1球为白球”；A4＝“任取1球为绿球”，则P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)，P(A3)＝eq\f(2,12)，P(A4)＝eq\f(1,12).根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＝eq\f(3,4).(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(11,12).方法3：(利用对立事件求概率)(1)由方法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4，所以取得1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq\f(2,12)－eq\f(1,12)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)A1＋A2＋A3的对立事件为A4，所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).规律方法解决此类问题要注意分类讨论和等价转化的数学思想的运用，在决定用哪个公式前，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出相关事件是不是互斥事件或对立事件，不要由于乱套公式而出错．甲、乙两人下棋，和棋的概率为eq\f(1,2)，乙获胜的概率为eq\f(1,3)，求：(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．解：(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率P＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).即甲获胜的概率是eq\f(1,6).(2)法1：设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).法2：设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).即甲不输的概率是eq\f(2,3).——易错警示——不能区分事件是否互斥而致错【例5】掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率均为eq\f(1,6)，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的数不超过3”，求P(A∪B)．【易错点分析】事件A与事件B不是互斥事件，不能应用概率的加法公式．【防范措施】1.明确概率的加法公式使用的条件．2．掌握互斥事件的特点，分清事件是否为互斥事件．【正解】记事件“出现1点”，“出现2点”，“出现3点”，“出现5点”分别为A1，A2，A3，A4.这四个事件彼此互斥，故P(A∪B)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).某城市2018年的空气质量状况如下表所示：污染指数T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50<T≤100时，空气质量为良；100<T≤150时，空气质量为轻微污染．该城市2018年空气质量达到良或优的概率为(A)A.eq\f(3,5) B.eq\f(1,180)C.eq\f(1,19) D.eq\f(5,9)解析：所求概率为eq\f(1,10)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,5)，故选A.一、选择题1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(C)A．对立事件 B．不可能事件C．互斥但不对立事件 D．以上答案都不对解析：由互斥事件的定义可知：甲、乙不能同时得到红牌，由对立事件的定义可知：甲、乙可能都得不到红牌，即“甲或乙分得红牌”的事件可能不发生．2．一人打靶连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是(C)A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．两次都不中靶 D．只有一次中靶解析：连续射击两次包含的基本事件有“两次都不中靶”、“一次中靶”、“两次中靶”，而“至少有一次中靶”包含“一次中靶”与“两次中靶”，故其对立事件为“两次都不中靶”．3．2015年5月12日尼泊尔发生里氏7.5级地震，此后，连续下了几天的雨，下表是气象人员记录的一组观察值及其概率的情况：日降雨量(单位：mm)[0,50)[50,100)[100,150)概率0.140.300.32则日降雨量在[50,150)内的概率及日降雨量不低于150mm的概率分别为(B)A．0.24,0.62 B．0.62,0.24C．0.24,0.72 D．0.14,0.62解析：记“日降雨量在[0,50)内”为事件A，“日降雨量在[50,100)内”为事件B，“日降雨量在[100,150)内”为事件C，事件A，B，C彼此互斥，且P(A)＝0.14，P(B)＝0.30，P(C)＝0.32，则日降雨量在[50,1