河南百校联盟2020-2021学年高二上学期1月联考数学（理）试题

河南百校联盟2020~2021学年高二1月联考理科数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4.本卷命题范围：选修21。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，2.抛物线的焦点坐标是（）A. B. C. D.3.关于x的方程有正实数解的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.4.已知双曲线C：（，），直线l：与双曲线C仅有一个公共点，则双曲线C的离心率为（）A. B. C.2 D.5.在正方体中，已知M是的中点，则与平面所成角的余弦值为（）A. B. C. D.6.已知椭圆的离心率为，则实数m的值为（）A.2 B.3 C.3或 D.2或7.若“，”是假命题，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.8.设曲线C的方程为，给出关于曲线C的性质的结论：①曲线C关于坐标轴对称，也关于坐标原点对称；②曲线C上的所有点均在椭圆内部.下面判断正确的是（）A.①错误②正确 B.①正确②错误 C.①②都错误 D.①②都正确9.如图，，是双曲线C：（）的左、右焦点，过的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若点A为的中点，且，则（）A.4 B. C.6 D.910.以为圆心，4为半径的圆与抛物线C：相交于A，B两点，如图，点P是优弧上不同于A，B的一个动点，过P作平行于y轴的直线交抛物线于点N，则的周长的取值范围是（）A. B. C. D.11.以下四个关于双曲线的命题：①设A，B为两个定点，m为正数，若动点P使，则动点P的轨迹是双曲线；②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线与椭圆有相同的焦点；④若双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线C上一点，若，则或.其中真命题的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.412.已知椭圆上存在两个不同的点A，B关于直线对称，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.王安石在《游褒禅山记》中写道：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也。”请问“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的__________条件.（填“充分”“必要”“充要”中的一个）14.双曲线C：的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则的面积为__________.15.如图，二面角为135°，，，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为C，D，若，，，则的长度为___________.16.已知抛物线C：焦点为F，准线方程，直线l与抛物线C交于A，B两点，连接并延长交抛物线C于点D，若中点的纵坐标为，则当最大时，___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）已知p：方程对应的图形是双曲线；q：函数（）的最大值不超过2.若为真命题，为假命题，求实数m的取值范围.18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，E是的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.19.（本小题满分12分）已知过点的双曲线C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是.（1）求双曲线C的方程；（2）若O是坐标原点，直线l：与双曲线C的两支各有一个交点，且交点分别是A，B，的面积为，求实数k的值.20.（本小题满分12分）在三棱柱中，平面平面，，四边形为菱形，且，E，F分别是棱，的中点，.（1）求异面直线和所成角的余弦值；（2）求到平面的距离.21.（本小题满分12分）以抛物线C：（）的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知，.（1）求抛物线C的方程；（2）过的直线l交抛物线C于不同的两点P，Q，交直线于点G（Q在之间），直线交直线于点H.是否存在这样的直线l，使得（F为C的焦点）?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知，是椭圆C：（）的左、右焦点，过的直线与椭圆C交于P，Q两点，R为P，Q的中点，直线的斜率为1.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆Ｃ的右焦点的直线l与椭圆C分别相交于A，B两点，且与圆O：相交于G，H两点，求的取值范围.2020~2021学年高二1月联考·理科数学参考答案、提示及评分细则1.B全称命题的否定是特称命题，改成，改成.故选B.2.A由，得，则，且焦点在y轴正半轴上，所以焦点坐标是.故选Ａ.3.A因为，当时，，故关于x的方程有正实数解的充要条件是，所以选项B，C，D都是方程有正实数解的充分条件，排除选项B，C，D，故选A.4.C由题意知直线l过双曲线的右焦点，且与双曲线仅有一个公共点，则l与双曲线的一条渐近线平行，所以，所以.故选C.5.D以，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2，则，，，显然平面，所以是平面的一个法向量，所以与平面所成角的正弦值为，故所求角的余弦值为.故选D.6.C当焦点在x轴上时，，.所以，解得；当焦点在y轴上时，，，所以，解得.故选C.7.B因为“，”是假命题，所以“，”是真命题，即存在，使成立.又等号仅当，即时成立，所以只要，解得.故选B.8.D利用研究曲线方程的方法易知①正确，在曲线C上，，，即曲线C在一个矩形内，易判断该矩形在椭圆内部，故②正确.故选D.9.A因为点A为的中点，所以，又，所以，，所以，所以，所以.所以.故选A.10.A易知圆心也是抛物线C的焦点，设与抛物线的准线交于点H，根据抛物线的定义，可得，故的周长.设点B的坐标为，由解得即.由于点P不与A、B两点重合，也不在y轴上，所以的取值范围为，所以的周长的取值范围为.故选A.11.B对于①，A，B为两个定点，m为正数，，当时，动点P的轨迹是两条射线，故①错误；对于②，方程的两根为和2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故②正确；对于③，双曲线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为，故③正确；对于④，因为，所以，所以点P在双曲线的左支，所以，即，所以，故④错误.故正确的命题有②③.故选B.12.D依题意，设直线的方程是，代入椭圆方程化简得，设，，的中点是，则，解得，又，所以，.因为的中点D在直线上，所以，所以，所以，解得.故选D.13.必要因为“非有志者不能至”，所以“能至是有志者”，因此“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必要条件.14.不妨设点P在第一象限，根据题意可知，所以，，又，，所以.15.3因为，，，所以，又因为二面角为135°，所以，所以.16.16因为抛物线C：的准线方程，所以，所以，所以抛物线C的方程是.不妨设，，，由抛物线定义得.因为，所以，所以，当且仅当时取等号.所以当最大时，为等边三角形，此时A，B关于y轴对称，不妨设，联立，消去y，得，所以，所以.所以.17.解：对于p，因为方程对应的图形是双曲线，所以，解得或.所以若p为真命题，则或. 1分对于q：当时，，解得，所以；当时，，解得，所以；当时，，所以.所以若q为真命题，则. 4分若为真命题，为假命题，则p，q一真一假. 5分若p真q假，则实数m满足，解得或； 7分若p假q真，则实数m满足解得. 9分综上所述，所求实数m的取值范围为. 10分18.（1）证明：因为平面，平面，所以. 2分又，E是的中点，所以. 3分又，都在平面内，且，所以平面. 5分（2）解：因为平面，平面，平面，所以，.又因为，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的建立空间直角坐标系.则，，，，，所以，. 7分设平面的法向量，则，即令，则，，所以. 9分又因为平面，所以是平面的一个法向量，所以. 11分由图可知二面角是锐二面角，所以二面角的余弦值是. 12分19.解：（1）因为双曲线C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是，所以可设双曲线C的方程是（），则，解得.所以双曲线C的方程是. 5分（2）由消去y整理，得. 6分由题意知，解得且.设，，则，. 8分因为l与双曲线的交点分别在左、右两支上，所以，所以，所以，则.所以，即， 11分解得或，又，所以. 12分20.解：取的中点O，连接，，，则，又，所以，由题意知为等边三角形，又点O为的中点，所以. 2分因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以， 4分所以，，两两垂直，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图），则，，，，，，所以，，，，. 6分（1）设异面直线和所成角为，则. 8分（2）设平面的法向量为，则，即，令，得，，所以， 10分所以点到平面的距离. 12分21.解：（1）设圆的方程为，∵，可设，代入得，∴，代入，得.① 1分∵，抛物线的准线方程为，可设，代入，得.② 2分解①②得（舍去）.∴抛物线C的方程是. 4分（2）C的焦点Ｆ的坐标，显然直线l与坐标轴不垂直，设直线l的方程为（），，.联立，消去y得. 5分由，解得，∴且.由韦达定理得，. 6分方法一：直线的方程为，又，所以，所以， 7分∵，∴直线与直线的斜率相等.又，∴. 8分整理得，即，化简得，，即. 9分∴，整理得， 11分解得.经检验，符合题意.∴这样的直线l存在，且直线l的方程为或，即或. 12分方法二：∵，∴，∴. 9分整理得，∴， 10分整理得. 11分解得，经检验符合题意.∴这样的直线l存在，且直线l的方程为或，即或. 12分22.解；（1）