环境流体力学 课件 第四章第四节3平面小振幅简谐进行波

平面小振幅简谐进行波设波动是一维的，发生在Oxz平面，液体深度为d，一维有限等深液体中的波动所满足的控制方程和边界条件用变量分离法求解，令取β=0，且取A1B为A1，

A2B

为A2

，则平面小振幅简谐进行波由边界条件，得

于是，即由边界条件，得，即。令，有

平面小振幅简谐进行波(1)自由面形状自由面形状为一余弦曲线，振幅为，

A0或A将由初始条件决定。随x及t均作周期性变化。固定时间t，使相位变化后的值将相同，此相应一个波的距离称波长λ，即定义由此，k表示个单位长度内所包含波的个数，称波数(图)。曲线上最高处称波峰，最低处称波谷。平面小振幅简谐进行波(1)自由面形状固定x，使相位变化后的值将相同，相应的时间间隔称周期T，即定义这里，

表示个单位时间内波面振动的次数，称圆频率(图)。表示单位时间内振动的次数，称频率。平面小振幅简谐进行波另外，若视某一值(或相位角)不变，则此将沿x轴移动，其移动速度由常数而得到，由此有这表明，整个波面(任意)将以速度c向右推进，故称c为波速(或相速度)，与此相应的波称为进行波，波速c随k而变(图)，小k(或大λ)的波，c较大，即长波传播速度较快，而短波则传播较慢。这种波的传播速度与波长有关的现象称为波的频散或色散。这是波动的一个重要现象。以后将会看到，一些波动是频散的(频率不同的波如果相位分离)，另一些波动则是无频散的(相位不分离)。图中还显示c随水深d增加而减小，浅水波的波速最小，深水波波速最大。波速c与波长λ的关系(d表示深度)平面小振幅简谐进行波(2)质点速度于是由式可见，质点速度分量是周期性变化的。并且根据双曲余弦和双曲正弦函数的性质(

时是增函数)，z和x方向的速度在液面处最大，离液面愈深，速度愈小，在底面处z方向速度为零，x方向的速度达到最小值，说明在水底有液体的平动。平面小振幅简谐进行波

(3)质点的迹线求质点运动迹线的方程考虑到质点运动的幅度为小量，故速度表示式中x0、z0可以分别代替x、z积分不致产生很大误差，从而有消去上式中的t，得可见迹线为一椭圆，长半轴为x轴，短半轴为z轴，长短半轴都随深度增加而减小，在底部退化为一直线。平面小振幅简谐进行波(4)流线将速度分量代入流线微分方程平面小振幅简谐进行波(5)压强将速度势代入基本方程显然，有限等深水波波动特征会受到深度d的影响，并且各处的压强不满足静水压强。将迹线方程代入，并用x0、z0分别代替压强表达式右端第二项的x、z，得平面小振幅驻波前进的进行波，如果遇到障碍反射，则产生传播方向相反，其它与原进行波完全一致的波，根据线性理论，这两列波可以迭加，设原进行波为它的反射波它们的迭加(1)自由面形状这表明，对某一固定时刻，自由面为一正弦曲线(图)，波面与x轴交于这些交点的位置不随时间变化，这些交点称为节点。两相邻节点间交替地出现最高和最低液面，分别称为波峰与波谷(统称腹点)，峰谷将随时间交替出现，若前半周期为峰，则后半周期变为谷。A0仍称振幅，则称为波幅，波面上仅在波峰和波谷处达到。与进行波不同，此波面只作上下振动，不向左右传播，因此，称这种波为驻波。驻波的波长、波数、周期和圆频率，与进行波有一样的关系：平面小振幅驻波(2)质点速度于是这表明，在节点x=nπ/k处，w=0，而u≠0，即质点仅作水平运动。在波峰及波谷处，u=0，而w≠0，即质点仅作上下(垂直方向)运动。除节点及峰谷点外，质点同时有水平及垂直方向的运动。平面小振幅驻波

(3)质点的