《勾股定理的逆定理》第1课时 教学设计【人教版八年级数学下册】

6/6第十七章勾股定理17.2勾股定理的逆定理第1课时教材分析教材分析本课在学习勾股定理的基础上，研究当三角形中两边的平方和等于第三边的平方时，这个三角形是否为直角三角形．在研究过程中，介绍了逆命题、逆定理的概念．教学目标教学目标理解勾股定理的逆定理，经历“观察－测量－猜想－论证”的定理探究的过程，体会数学推理；了解逆命题的概念，知道原命题为真命题，它的逆命题不一定为真命题．教学重难点教学重难点探索并证明勾股定理的逆定理.课前准备课前准备课件，多媒体资源教学过程教学过程一、创设问题情境据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距，4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你认为结论正确吗？这个问题意味着，如果三角形的三边分别为3，4，5，这些数满足关系：32+42=52，围成的三角形是直角三角形．设计意图：由古埃及人画直角的方法，引入勾股定理逆定理的猜想，吸引学生研究的兴趣.二、探究新知1.实验操作：画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），它们是直角三角形吗？①2.5，6，6.5；②6，8，10．注意提醒学生：这里2.52+62=6.52；62+82=102.（2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数．（3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想．【点拨】已知三边长画一个三角形，学生可以借助直尺确定长度，圆规画弧线的方法来完成.2.作出猜想：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形.设计意图：教学中先要求学生画几个三角形，测量边长，然后计算边长的平方，并分享最长边的平方与其他两边平方和之间的关系，最后引导得出结论.这种测量、计算、归纳和猜想的过程，是典型的几何探索过程.3.验证猜想：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形.设计意图：引导学生用图形和数学符号语言表示命题，明确任务.已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2.求证：△ABC是直角三角形.证明：如图，作Rt△,使∠=90°，=a，=b,由勾股定理得，.∴,,,∴△≌△ABC，∴∠C=∠=90°,即△ABC是直角三角形.设计意图：本问题中，难以直接证明三角形是直角三角形.联想到三角形全等这一工具，通过构造直角三角形，证明当前三角形与一个直角三角形全等，从而证明当前三角形是直角三角形.让学生体会这种证明思路的合理性，帮助学生突破难点.4.得出定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形.三、应用定理练习在△ABC中，AC²-AB²=BC²，那么（）A．∠A=90°B.∠B=90°C.∠C=90°D.不能确定哪个角是直角四、介绍逆命题的概念逆命题和逆定理：命题1：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²+b²=c².命题2：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．概念：两个命题的题设与结论正好相反，像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.五、概念辨析练习说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题是真命题吗？两条直线平行，内错角相等；对顶角相等；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．解：（1）逆命题：内错角相等，两直线平行．真命题．（2）逆命题：相等的角是对顶角．假命题．（3）逆命题：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．真命题．【反思】任何一个命题都有逆命题；原命题是真命题，其逆命题不一定是真命题．六、综合运用例1判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：（1）a=15，b=17，c=8；（2）a=13，b=15，c=14；（3）a=，b=4，c=5．【分析】根据勾股定理及其逆定理判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．解：（1）∵15²+8²=225+64=289,17²=289，∴15²+8²=17²，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形；（2）∵13²+14²=169+196=365,15²=225，∴13²+14²≠15²，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形；（3）∵4²+5²=16+25=41,()²=41，∴4²+5²=()²，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.【拓展】像15,8,17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.练习同学们还知道哪些勾股数？请完成以下未完成的勾股数：（1）3,4，；（2）6,8，；（3）7,24，；（4）7,40，；（5）9,12，.答案：5；10；25；41；15.例2一般地，如果a、b、c是一组勾股数(c最大)，ak、bk、ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？解：∵a，b，c是一组勾股数，∴a²+b²=c².∴a²k²+b²k²=c²k²，即(ak)²+（bk）²=(ck)².又∵k为正整数，∴ak，bk，ck也是正整数，∴ak，bk，ck(k为正整数)也是一组勾股数.练习请根据上题的结论，由3，4，5再写出几组勾股数.七、拓展在下列表格中，已知△ABC的三边长分别为a，b，c.计算并填写下表：边长/cm三边间关系三角形的形状abca²b²c²a²+b²a²+b²与c²①45716254941a²+b²＜c²钝角三角形②6810③6912④567⑤51213⑥4810⑦569八、课堂小结1.利用勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形的一般步骤：①确定最大边长c；②计算a2+b2和c2的值,若a2+b2=c2,则