环境流体力学 课件 4.4 不可压缩无旋流动

4.4.1知识点:势函数4.4.1知识点:势函数1知识点:势函数1知识点:势函数1知识点:势函数1知识点:势函数1知识点:势函数1知识点:势函数1知识点:势函数1知识点:势函数Laplace方程线性方程：方程不显含时间t，但同样适用于不可压缩非定常无旋流动？方程解可线性叠加1知识点:势函数4个变量：u1,u2,u3,p4个方程：1个线性，3个非线性速度和压强联立求解无旋带来的简化

2个变量：φ，p2个方程：1个线性、1个非线性速度和压强分开来求解1知识点:势函数Laplace方程线性方程：方程不显含时间t，但同样适用于不可压缩非定常无旋流动√方程解可线性叠加1知识点:势函数Laplace方程线性方程：方程不显含时间t，但同样适用于不可压缩非定常无旋流动初始条件：边界条件：方程解可线性叠加壁面远场自由面1知识点:势函数例

：无粘不可压缩流体的均匀来流，绕过一无穷长直圆柱。已知均匀来流速度V∞，圆柱半径a，流体密度ρ，不计重力。求流场速度及圆柱表面所受压强。边界条件壁面远场？欧拉方程2例题:势函数例

：无粘不可压缩流体的均匀来流，绕过一无穷长直圆柱。已知均匀来流速度V∞，圆柱半径a，流体密度ρ，不计重力。求流场速度及圆柱表面所受压强。边界条件壁面远场？欧拉方程2例题:势函数在r=a处，在无穷远处，因此速度势φ是2例题:势函数例：无粘…圆柱绕流无粘2例题:势函数例：无粘…圆柱绕流2例题:势函数例：2例题:势函数例：2例题:势函数液体表面波分析考虑在重力场作用下的理想不可压缩流体，若处于静止状态，根据静力学原理，自由面为平面，由于某种外界的作用，流体的表面离开了自己的平衡位置，则由于重力场力图使自由面恢复到原来的位置，流体中便产生了运动，这种运动以波的形式在整个自由面上传播，这样我们在自由面上就看到一种以一定速度运动的表面波，称为重力波。现象：风吹过水面形成风浪船行进中在水面产生的波海水的潮汐涨落引起的潮波海底地震引起的海浪称为海啸空气和水中的声波水面泛起的涟漪液体表面波分析控制方程：分析液体波动时，假设液体是无粘的，不可压缩和无旋的，质量力只有重力。因此可以定义势函数满足作变换显然以后的方程还是用表示，设底部的边界面表达式，则由，边界条件为底部，底部边界面为，代入上式，得设自由面为，则，由运动学边界条件或或液体表面波分析控制方程：不考虑表面张力，则自由表面两侧的压强必须相等边界条件：初始条件：设存在初始扰动，此时，有取自由面上，于是液体表面波分析分析原来静止的流体受到瞬时压力冲量后所产生的流动，如物体突然冲入水中而产生的运动将无粘性不可压流体的欧拉方程关于时间从零到瞬时力作用时间Δt

积分，有在开始时刻t=0时，流体是静止的，则表示瞬时力消失时流体的运动速度由于Δt极短，可以认为在Δt时间内流体质点没有离开原先位置。这样方程中和与Δt

同一量级，当Δt→0时的极限为零，由此得到定义瞬时压力冲量为，于是这就是说，在时刻Δt，当瞬时力停止作用时，流体开始运动，这样的运动是有势的，存在速度势φ，为初始条件：这就说明了势函数的力学意义公式总结量级分析量级分析量级分析小振幅假设量级分析量级分析平面小振幅简谐进行波设波动是一维的，发生在Oxz平面，液体深度为d，一维有限等深液体中的波动所满足的控制方程和边界条件用变量分离法求解，令取β=0，且取A1B为A1，

A2B

为A2

，则平面小振幅简谐进行波由边界条件，得

于是，即由边界条件，得，即。令，有

平面小振幅简谐进行波(1)自由面形状自由面形状为一余弦曲线，振幅为，

A0或A将由初始条件决定。随x及t均作周期性变化。固定时间t，使相位变化后的值将相同，此相应一个波的距离称波长λ，即定义由此，k表示个单位长度内所包含波的个数，称波数(图)。曲线上最高处称波峰，最低处称波谷。平面小振幅简谐进行波(1)自由面形状固定x，使相位变化后的值将相同，相应的时间间隔称周期T，即定义这里，

表示个单位时间内波面振动的次数，称圆频率(图)。表示单位时间内振动的次数，称频率。平面小振幅简谐进行波另外，若视某一值(或相位角)不变，则此将沿x轴移动，其移动速度由常数而得到，由此有这表明，整个波面(任意)将以速度c向右推进，故称c为波速(或相速度)，与此相应的波称为进行波，波速c随k而变(图)，小k(或大λ)的波，c较大，即长波传播速度较快，而短波则传播较慢。这种波的传播速度与波长有关的现象称为波的频散或色散。这是波动的一个重要现象。以后将会看到，一些波动是频散的(频率不同的波如果相位分离)，另一些波动则是无频散的(相位不分离)。图中还显示c随水深d增加而减小，浅水波的波速最小，深水波波速最大。波速c与波长λ的关系(d表示深度)平面小振幅简谐进行波(2)质点速度于是由式可见，质点速度分量是周期性变化的。并且根据双曲余弦和双曲正弦函数的性质(

时是增函数)，z和x方向的速度在液面处最大，离液面愈深，速度愈小，在底面处z方向速度为零，x方向的速度达到最小值，说明在水底有液体的平动。平面小振幅简谐进行波

(3)质点的迹线求质点运动迹线的方程考虑到质点运动的幅度为小量，故速度表示式中x0、z0可以分别代替x、z积分不致产生很大误差，从而有消去上式中的t，得可见迹线为一椭圆，长半轴为x轴，短半轴为z轴，长短半轴都随深度增加而减小，在底部退化为一直线。平面小振幅简谐进行波(4)流线将速度分量代入流线微分方程平面小振幅简谐进行波(5)压强将速度势代入基本方程显然，有限等深水波波动特征会受到深度d的影响，并且各处的压强不满足静水压强。将迹线方程代入，并用x0、z0分别代替压强表达式右端第二项的x、z，得平面小振幅驻波前进的进行波，如果遇到障碍反射，则产生传播方向相反，其它与原进行波完全一致的波，根据线性理论，这两列波可以迭加，设原进行波为它的反射波它们的迭加(1)自由面形状这表明，对某一固定时刻，自由面为一正弦曲线(图)，波面与x轴交于这些交点的位置不随时间变化，这些交点称为节点。两相邻节点间交替地出现最高和最低液面，分别称为波峰与波谷(统称腹点)，峰谷将随时间交替出现，若前半周期为峰，则后半周期变为谷。A0仍称振幅，则称为波幅，波面上仅在波峰和波谷处达到。与进行波不同，此波面只作上下振动，不向左右传播，因此，称这种波为驻波。驻波的波长、波数、周期和圆频率，与进行波有一样的关系：平面小振幅驻波(2)质点速度于是这表明，在节点x=nπ/k处，w=0，而u≠0，即质