北师大版年八年级数学下册《同步考点解读专题训练》专题1.3直角三角形(知识解读)(原卷版+解析)

专题1.3直角三角形（知识解读）【学习目标】掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3.能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL）及其应用.【知识点梳理】知识点1勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.理解勾股定理的一些变式：，，.运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段知识点2勾股定理证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.知识点3勾股定理逆定理1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.2.如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.知识点4直角三角形的判定（直角边、斜边）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。知识点5命题内容定义能判断一件事情的语句，叫做命题。组成命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出来的事项表达形式通常可以写成“如果......,那么......”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。分类题设成立，结论也成立，这样的命题叫做真命题题设成立，结论不成立，这样的命题叫做假命题。【典例分析】【考点1：勾股定理】【典例1】（2020秋•温江区期末）如图是一个直角三角形，它的未知边的长x等于（）A．13 B． C．5 D．【变式1-1】（2020春•东莞市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，则BC的值是（）A． B． C． D．【变式1-2】（春•长白县期中）直角三角形的两直角边是6和8，则第三边是（）A．7 B．10 C．2 D．10或2【变式1-3】（春•新化县期末）若一直角三角形两边长为4和5，则第三边长为（）A．3 B． C．3或 D．不确定【典例2】（2020春•雨花区期末）如图，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝36，S2＝64，则S3＝（）A．8 B．10 C．80 D．100【变式2-1】（2020秋•卢龙县期末）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（）A．6 B．36 C．64 D．8【变式2-2】（2020春•新乡期末）如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3，则最大正方形E的边长是（）A．13 B． C．47 D．【变式2-3】（2021春•甘井子区校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝45°，AB＝4，以AC为边的阴影部分图形是一个正方形，则这个正方形的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点2勾股定理证明】【典例3】勾股定理是毕达哥拉斯定理的中国称谓，它揭示了直角三角形三边的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一，我国古代称直角三角形的直角边为“勾”或“股”，斜边为“弦”，因而将这条定理称为勾股定理．请你从以下图形中，任意选择一个来证明这个定理．【变式3-1】我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B． C． D．【变式3-2】如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．148 B．100 C．196 D．144【变式3-3】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．【考点3：勾股定理逆定理】【典例4】在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A．a＝6，b＝8，c＝10 B．a＝5，b＝5，c＝5 C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝4，b＝5，c＝6【变式4-1】（2020春•甘井子区期末）下列各组数中，不可能成为直角三角形的三条边长的是（）A．1，2，3 B．1， C．3，4，5 D．1，1，【变式4-2】（2020春•朝阳区校级月考）以下列长度的线段为边能组成直角三角形的是（）A．6，7，8 B．7，8，9 C．，1，2 D．8，9，10【变式4-3】（2021春•红谷滩区校级期末）△ABC满足下列条件中的一个，其中不能说明△ABC是直角三角形的是（）A．b2＝（a+c）（a﹣c） B．a：b：c＝1：：2 C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5【典例5】（2021秋•拱墅区校级期中）如图，已知四边形ABCD中，AB＝24，BC＝7，CD＝15，AD＝20，∠B＝90°，求四边形的面积．【变式5-1】（2020秋•太平区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．（1）求BC的长；（2）求证：△BCD是直角三角形．【变式5-2】（2020春•东昌府区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．【变式5-3】（2021春•长沙县期末）如图，小方格都是边长为1的正方形．（1）求四边形ABCD的边AB与BC的长；（2）用勾股定理逆定理的知识证明：∠ABC＝90°．【考点4：判定全等角形（HL）】【典例6】（2021秋•信都区期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2．【变式6-1】（2021秋•阳江期末）如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．求证：CE＝BF．【变式6-2】（2021春•华容县期末）如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE＝CD，求证：Rt△BEC≌Rt△CDB．【变式6-3】（2019秋•铁东区期中）如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，BF＝EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF．明：试题解析著作权属所有，未经书【考点5：四种命题及其关系】【典例7】（2022春•鹿城区校级期中）用反证法证明命题“若|a|＜3，则a2＜9”时，应假设（）A．a＞3 B．a≥3 C．a2≥9 D．a2＞9【变式7-1】（2022春•滨江区校级期中）用反证法证明“在△MBC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”时，应先假设（）A．∠A＝60° B．∠A＜60° C．∠A≠60° D．∠A≤60°【变式7-2】（2022春•顺德区校级期中）用反证法证明：若abc＝0，则a，b，c至少有一个为0，应该假设（）A．a，b，c没有一个为0 B．a，b，c只有一个为0 C．a，b，c至多一个为0 D．a，b，c三个都为0【典例8】（2021秋•港南区期末）用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°．”已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°．【变式8】（2021秋•襄汾县月考）用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）．已知：如图，l1∥l2，l1，l2都被l3所截．求证：∠1+∠2＝180°．证明：假设∠1+∠2180°．∵l1∥l2，∴∠1∠3．∵∠1+∠2180°，∴∠3+∠2≠180°，这和矛盾，∴假设∠1+∠2180°不成立，即∠1+∠2＝180°．专题1.3直角三角形（知识解读）【学习目标】掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3.能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL）及其应用.【知识点梳理】知识点1勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.理解勾股定理的一些变式：，，.运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段知识点2勾股定理证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.知识点3勾股定理逆定理1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.2.如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.知识点4直角三角形的判定（直角边、斜边）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。知识点5命题内容定义能判断一件事情的语句，叫做命题。组成命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出来的事项表达形式通常可以写成“如果......,那么......”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。分类题设成立，结论也成立，这样的命题叫做真命题题设成立，结论不成立，这样的命题叫做假命题。【典例分析】【考点1：勾股定理】【典例1】（2020秋•温江区期末）如图是一个直角三角形，它的未知边的长x等于（）A．13 B． C．5 D．【答案】B【解答】解：∵x＝＝，故选：B．【变式1-1】（2020春•东莞市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，则BC的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，∴BC＝＝＝．故选：A．【变式1-2】（春•长白县期中）直角三角形的两直角边是6和8，则第三边是（）A．7 B．10 C．2 D．10或2【答案】B【解答】解：∵两直角边是6和8，∴第三边＝＝10．故选：B．【变式1-3】（春•新化县期末）若一直角三角形两边长为4和5，则第三边长为（）A．3 B． C．3或 D．不确定【答案】C【解答】解：当5是直角边时，则第三边＝＝；当5是斜边时，则第三边＝＝3．综上所述，第三边的长是或3．故选：C．【典例2】（2020春•雨花区期末）如图，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝36，S2＝64，则S3＝（）A．8 B．10 C．80 D．100【答案】D【解答】解：∵在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，又由正方形面积公式得S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，∴S3＝S1+S2＝36+64＝100．故选：D．【变式2-1】（2020秋•卢龙县期末）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（）A．6 B．36 C．64 D．8【答案】A【解答】解：如图，∵∠CBD＝90°，CD2＝14，BC2＝8，∴BD2＝CD2﹣BC2＝6，∴正方形A的面积为6，故选：A．【变式2-2】（2020春•新乡期末）如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3，则最大正方形E的边长是（）A．13 B． C．47 D．【答案】B【解答】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，由勾股定理得：x2＝32+52＝34；y2＝22+32＝13；z2＝x2+y2＝47；即最大正方形E的面积为：z2＝47，边长为z＝．故选：B．【变式2-3】（2021春•甘井子区校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝45°，AB＝4，以AC为边的阴影部分图形是一个正方形，则这个正方形的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【解答】解：因为在△ABC中，∠A＝∠B＝45°，AB＝4，所以AC＝＝2，所以这个正方形的面积为＝8，故选：C．【考点2勾股定理证明】【典例3】勾股定理是毕达哥拉斯定理的中国称谓，它揭示了直角三角形三边的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一，我国古代称直角三角形的直角边为“勾”或“股”，斜边为“弦”，因而将这条定理称为勾股定理．请你从以下图形中，任意选择一个来证明这个定理．【解答】证明：方法一：由（1）图可知：S正方形ABCD＝（a+b）2＝a2+b2+2ab，又∵S正方形ABCD＝，∴a2+b2+2ab＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，方法二：由（2）图可知：S正方形ABCD＝c2，又∵S正方形ABCD＝＝2ab+a2+b2﹣2ab＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，方法三：由（3）图可知：S梯形ABCD＝＝+ab，又∵s梯形ABCD＝，∴，∴a2+b2＝c2．【变式3-1】我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、大正方形的面积为：c2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理．B、梯形的面积为：＝；也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：＝，∴＝，∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理．C、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：＝2ab+c2，∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理．D、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴D选项不能证明勾股定理．故选：D．【变式3-2】如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．148 B．100 C．196 D．144【答案】A【解答】解：设将CA延长到点D，连接BD，根据题意，得CD＝12×2＝24，BC＝7，∵∠BCD＝90°，∴BC2+CD2＝BD2，即72+242＝BD2，∴BD＝25，∴AD+BD＝12+25＝37，∴这个风车的外围周长是37×4＝148．故选：A．【变式3-3】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．【解答】证明：用两种方法求梯形的面积：S梯形ABCD＝2×ab+c2，S梯形ABCD＝（a+b）2，∴2×ab+c2＝（a+b）2，化简得a2+b2＝c2．【考点3：勾股定理逆定理】【典例4】在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A．a＝6，b＝8，c＝10 B．a＝5，b＝5，c＝5 C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝4，b＝5，c＝6【答案】D【解答】解：A、∵62+82＝102，故选项A中的三条线段能构成直角三角形，故选项A不符合题意；B、∵52+52＝（5）2，故选项B中的三条线段能构成直角三角形，故选项B不符合题意；C、∵32+42＝52，故选项C中的三条线段能构成直角三角形，故选项C不符合题意；D、∵42+25≠62，故选项D中的三条线段不能构成直角三角形，故选项D符合题意；故选：D．【变式4-1】（2020春•甘井子区期末）下列各组数中，不可能成为直角三角形的三条边长的是（）A．1，2，3 B．1， C．3，4，5 D．1，1，【答案】A【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；B、（）2+12＝（）2，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；C、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项不合题意；D、12+12＝（）2，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；故选：A．【变式4-2】（2020春•朝阳区校级月考）以下列长度的线段为边能组成直角三角形的是（）A．6，7，8 B．7，8，9 C．，1，2 D．8，9，10【答案】C【解答】解：A．∵62+72≠82，∴以6，7，8为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵72+82≠92，∴以7，8，9为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵12+（）2＝22，∴以，1，2为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；D．∵82+92≠102，∴以8，9，10为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C．【变式4-3】（2021春•红谷滩区校级期末）△ABC满足下列条件中的一个，其中不能说明△ABC是直角三角形的是（）A．b2＝（a+c）（a﹣c） B．a：b：c＝1：：2 C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5【答案】D【解答】解：A、由b2＝（a+c）（a﹣c）可得：c2+b2＝a2，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；B、12+（）2＝22，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；C、由∠C＝∠A﹣∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，可得：∠A＝90°，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴最大角∠C＝75°，∴不能构成直角三角形，故选项符合题意；故选：D．【典例5】（2021秋•拱墅区校级期中）如图，已知四边形ABCD中，AB＝24，BC＝7，CD＝15，AD＝20，∠B＝90°，求四边形的面积．【答案】234【解答】解：∵AB＝24，BC＝7，∠B＝90°，由勾股定理得AC2＝242+72＝625．又∵CD＝15，AD＝20，∴CD2十AD2＝152+202＝625，∴AC2＝CD2+AD2，∴∠D＝90°，∴四边形ABCD的面积＝×24×7+×15×20＝234．【变式5-1】（2020秋•太平区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．（1）求BC的长；（2）求证：△BCD是直角三角形．【解答】（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，∴BC＝＝＝5；（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，∴△BCD是直角三角形．【变式5-2】（2020春•东昌府区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．【答案】24【解答】解：连接AC，∵∠B＝90°，∴AC＝＝5，∵52+122＝132，∴∠ACD＝90°，∴四边形ABCD的面积＝×5×12﹣×3×4＝24．【变式5-3】（2021春•长沙县期末）如图，小方格都是边长为1的正方形．（1）求四边形ABCD的边AB与BC的长；（2）用勾股定理逆定理的知识证明：∠ABC＝90°．【答案】（1），，（2）∠ABC＝90°【解答】解：（1），，（2）如图，连接AC，在Rt△ACG中，AG＝5，CG＝1，∴AC＝，由（1）可得AB2+BC2＝＝26＝AC2，∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，∴∠ABC＝90°．【考点4：判定全等角形（HL）】【典例6】（2021秋•信都区期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2．【答案】略【解答】证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝90°，∴△ABC与△ACD为直角三角形，在Rt△ABC和Rt△ADC中，∵AB＝AD，AC为公共边，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠1＝∠2．【变式6-1】（2021秋•阳江期末）如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．求证：CE＝BF．【答案】略【解答】证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，∴∠ABC＝∠DEF＝90°．在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．∴BC＝EF．∴BC﹣BE＝EF﹣BE．即：CE＝BF．【变式6-2】（2021春•华容县期末）如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE＝CD，求证：Rt△BEC≌Rt△CDB．【答案】略【解答】证明：∵BD，CE分别是△ABC的高，∴∠BEC＝∠CDB＝90°，在Rt△BEC和Rt△CDB中，，∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL）．【变式6-3】（2019秋•铁东区期中）如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，BF＝EC．求证：Rt△A