高考考前押题密卷(全国甲卷) 数学理试题

数学（理科）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡

上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

第I卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的

1.已知全集。=《€2冋-5》-64（）｝,集合/=｛xeZ|x（3-x）N。｝,8=｛1,2,4｝则集合

{-1,5,6}等于（）

A（64）cBBdGUfi）C/C（68）D.d（ACB）

uuuu

2

2.（改编）复数匸访与下列复数相等的是（）

c.立+LD.

22

-1-Wi

3.如图，网格小正方形的边长为1,网格纸上绘制了一个多面体的三视图，则该多面体的

体积为（）

147

A.14B.7C.—D.-

33

4.某公司对2022年的营收额进行了统计，并绘制扇形统计图如图所示，在华中地区的三

省中，湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约2156万元.则下列

说法错误的是()

A.该公司在湖南省的营收额在华中地区的营收额的占比约为35.6%

B.该公司在华东地区的营收额比西南地区、东北地区及湖北省的营收额之和还多

C.该公司在华南地区的营收额比河南省营收额的三倍还多

D.该公司2022年营收总额约为30800万元

做期盼数，则区间［1,2023］内的所有期盼数的和等于()

A.2023B,2024C.2025D.2026

7.已知w>0,函数/(x)=3sin(wx+g)-2在区间|,7t上单调递减，则卬的取值范围是

()

A.(0,；B.(0,21eg］

8.(改编)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为心+产-4夕=0,若直线y=上

存在一点P,使过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数4的值不可能是()

c-7D-T

二项式的系数和为256,把展开式中所有的项重新

排成一列，有理项都互不相邻的概率为（）

15

A.B.C.D.

64123

A.BD〃平面CBDB.平面丄平面C4D.

i1।।1

C.0c与NC共面D.异面直线与力q所成的角为90度

11

11.若存在xJ,+8）,使得关于X的不等式1

1+-INe成立,则实数。的最小值为

()

B

A.2-hkC.In2-1D.--1

ln2

12.如图抛物线「的顶点为A,焦点为产，准线为/,焦准距为4；抛物线「的顶点为8

1I2

,焦点也为F,准线为“，焦准距为6.1和厶交于P、。两点，分别过P、。作直线与

两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T,过尸的直线与封闭曲线ZP80交于C、。两点，

则下列说法错误的是（）

A..耳=5B.四边形MNST的面积为100C.FSFT=QD.|CD|的取值范围为

第II卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量〃，b满足卜卜1，M,a»b的夹角为150。，则2a+b与Q的夹角为

14.已知曲线卜=橢sin（x+9）在x=5处的切线为机，则过点（2,-3）且与切线机垂直的直

线方程为.

15.在等比数列3｝中，a,a是函数/（x）=?x3-4x2+4x-l的极值点，则。=

w3735

16.已知双曲线c：2i-E=iQ>o,b>o）的上焦点为尸，过焦点尸作c的一条渐近线的垂

。2bz

线，垂足为A,并与另一条渐近线交于点8,若产4=4卜尸|,则C的离心率

为。

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（-）必考题：共60分.

17.已知条件：①2a=6+2ccos8；（2）2asinJcosi?+6sin2J=2>/3acosC;③

QsinC=3-2cos2?.从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.

问题：在“I8C中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,满足：.

（1）求角C的大小；（2）若c=26,N/8C与N8/C的平分线交于点/,求瓦周长的最

大值.

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分

18.区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术.区块

链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2018年至2022

年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列.现收集我国近5年区块链企

业总数量相关数据，如表：

年份20182019202020212022

编号X12345

企业总数量y（单位：千个）2.1563.7278.30524.27936.224

（1）根据表中数据判断，y="+bx与y=ce厶（其中e=2.71828…为自然对数的底数），哪一

个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理

由)

(2)根据(1)的结果，求y关于x的回归方程；(结果精确到小数点后第三位)

—rixy

附：线性回归方程？=晟+2中，右=守:-----，a=y-bx

2LX2-fix2

i=l

参考数据：=Iny,Zxz=40.457,Zx2=55,x=—=3,z=-=2.196

•z•i,5•51

<=l»=]i=\i=1

⑶为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请

甲、乙、丙三家区块链公司参赛，比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜

负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若

有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公

司”.已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为甲胜丙的概率为乙胜丙的概率为丄，请

352

通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？

19.如图，已知正方体抽8-/产£尺的棱长为2,E,F分别为/厶%的中点.⑴已知点

G满足。q=4OG,求证民E,G,尸四点共面；(2)求平面与平面8所所成的锐二面角

的余弦值.

20.已知椭圆C:=+匕=1(。>6>0)的长轴长为4,A,8是其左、右顶点，M是椭圆上

Q2bl

3

异于4B的动点、,且％-k=--.

MAMB4

(1)求椭圆。的方程；(2)若P为直线x=4上一点，PA,总分别与椭圆交于C,。两点.

①证明：直线。过椭圆右焦点勺②椭圆的左焦点为J求厶.。的内切圆的最大面

积.

21.已知函数/(x)=lnx+2(aeR),设机，〃为两个不相等的正数，且/'("?)=/(〃)=3

x

.⑴求实数a的取值范围；(2)证明：a2<mn<aea.

(-)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的

第一题计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.杭州2022年第19届亚运会(The19thAsianGamesHangzhou2022),简称“杭州2022

年亚运会”，将在中国浙江杭州举行，原定于2022年9月10日至25日举办；2022年7月

19日亚洲奥林匹克理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日举办，赛事名称和标识

保持不变。某高中体育爱好者为纪念在我国举办的第三次亚运会，借四叶草具有幸福幸运

的象征意义，准备设计一枚四叶草徽章捐献给亚运会。如图，在极坐标系3中，方程

p=2(l+cos40+sin24。)表示的图形为“四叶草”对应的曲线C.(1)设直线/：

。哈(pe/?)与C交于异于。的两点4B,求线段Z8的长；

(2)设尸和0是C上的两点，且求的最大值.

O

［选修4-5：不等式选讲］

23.已知函数/(x)=|x-2|+可4.⑴求不等式/(x)210的解集；⑵若/G)的最小值为

、、4

tn,正数Q,b,C满足〃++C=,求证+力2+C2.

2023年高考考前押题密卷（全国甲卷）

数学（理科）•参考答案

123456789101112

BACAADDBCcDB

答案】：正或:2M

13.【塔:案】6（）。14【答案:1y=x-5.15.【答秦：]216.[

35

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（-）必考题：共60分.

17.【详解】（1）选择条件①，2a=b+2ccos8,

在“8C中，由余弦定理得2“=6+2C-"2+C2--=6+。2+02--，（2分）

2aca

整理得a2+A-c2=ab,则cosC=m+b2-c2=丄,又。式。,兀），所以。=；.（5分）

2ab23

选择条件②，2asinAcosB+bsin2A=2jJ〃cosC,于是

“sin/cosB+bsin/cos力=VJacosC,

在£IABC中，由正弦定理得，siruAcosB+AsinBcosA=>/3sin^cosC,（2分）

因为sin4¥0,则sin4cos8+sin8cos4=>/3cosC,即sin（4+8）=cosC,（3分）

因为4+8+C=TC,因此$也。=>/585。，即tanC=>/5,又。£（0,兀），所以C=?.（5分）

Q

选择条件③，>/3sinC=3-2cos2_,

Q

在“8。中，因为V^sinC=2-（2cos2,-1）=2-cosC,即的sinC+cosC=2,（2分）

则sin（c+z]=l,又CE（0,TI）,即有则0+"二不，所以。=彳.（5

[6丿6166丿623

分）

7TZu

（2）由（1）知，C=3,有N/8C+ZB/C=丁，（6分）

7T2冗

而N8/C与N/8C的平分线交于点/,即有乙48/+/A4/=号，于是乙〃8=了，（7分）

jr7T

设N48/=e,则9,_g.0<0<-,（8分）

BI_AI_AB273

在4/8/中，由正弦定理得，sin（"-6）sin0sinZ.A1B2n

必“亍一）SmT

jr

所以81=4sin（］-。），AI=4sin0,（9分）

所以△48/的周长为2。+4sin（g-0）+4sin0=2^3+4（^^cos0sinO）+4sin0

322

=2^3+2\/3cosQ+2sin6=4sin（0+g）+2＞/5,（10分）

TTjr7C27rjrjrjr

由。＜。＜3，得三＜。+万＜5~,则当。+彳=石，即。=-2"时，△/B/的周长取得最大值

3333326

4+26，

所以/周长的最大值为4+2JJ.（12分）

18.【详解】（1）根据表中数据可知增加的速度逐渐变快，

所以回归方程y=ce也适宜预测未来几年我国区块链企业总数量；（2分）

（2）对尸ce&两边取自然对数，得Iny=lnc+厶，令2==Inc1=d,得；二+晨

,（3分）

由于£xz=40.457Zx2=55=3J1Z

=z=2.196,（4分）

557i

/=!I/=!

Zxy-5x''z

40.457-5x3x2.196

贝！-------工0.752&=N_餘=2.196-0.752x3=-0.060,

2LLT2-5X255-5x32

（6分）

・・.z关于x的回归直线方程为z=0.752x-0.060,则歹关于刀的回归方程为j=eo.752x-o.（x）o；

（7分）

（3）对于首场比赛的选择有以下三种情况：A：甲与乙先赛；B-.甲与丙先赛；C：丙与乙

先赛，

由于在每场比赛中，甲胜乙的概率为：，甲胜丙的概率为|,乙胜丙的概率为:，（8分）

则甲公司获胜的概率分别是=++=

JJJ\JJ，J\\/JJJIJ

（9分）

3131139

p（5）_-+-xX—X—X—=—（10分）

=5x35（5（母河-1）23525，刀

「（C）二吋31113

X—X—+—X—X—（11分）

532355

9131

由于石〉病〉M，二甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最

大.（12分）

19.【详解】（1）如图1,取。。中点”，连接4H,HF,EG.

।

因为，，厂分别是的中点，所以HF//4B,且HF=4B,（1分）

所以4BFH是平行四边形,所以BF〃4H.因为DD=4DG,所以。O=4DG.（3分）

11

又DDr2DH,所以Oa=2DG,所以G是O"的中点.（5分）

又因为E是％。的中点，乐旗EGHAH,软以EGHBF,所以民E,G,尸四点共面.（6分）

（2）如图2,以点Z）为坐标原点，分别以为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

则8（2,2,0）,£（1,0,0）,C（0,2,0）,F（0,2,1）,（2,0,0）,4（2,0,2）,C（0,2,2）,

所以BE=（-1,-2,0）,5F=（-2,0,0,BA=（0,-2,2）,3c=（-2,0,2）.（7分）

1I

设平面8/C的一个法向量为n=（x,y,z）,

I11111

BAn=0f-2y+2z=0一/、

由一丄可得，J1c，取X=1,则〃=（1丄1）是平面历iC的一个法向量.

BCn=0[-2x+2z=011一

、।i।

（9分）

设平面8。"的一个法向量为〃2=（弓，匕/丿,

BEn=0-x-2y=0

1（）

由｛----可得,取匕=-1则〃=2,-1,4是平面5M的一个法向量.

BFn-0-2x+z=02

222

（11分）

Ix2+lx(-l)+lx45"

所以,V3xV21~2A，

所以平面8E尸与平面所成锐二面角的余弦值为挈.（12分）

20.【详解】⑴由已知得：a=2,A（-2,0）,fl（2,0）,设"（X/）Q#±2）,

000

因为M在椭圆上，1^2X2+4y2=4/;2（i）（2分）

因为％-k=-23._2#q=_2t7=_：,将①式代入，得44-Am=12-3x2,所以

A"X+2X—2X2—44-00

000

加=3,

所以椭圆C的方程为口分）

(2)①设尸(4,*0),则kp=占g=[,%=*=!所以工、=卜一2,

I:x=—y+2,

PBt

x=-y-2x)上主则C伴生,UQ(5

ZB_18f

联立方程y

，^c~27+t2c27+f2I27+t227+f2丿

3x2+4^2-12=0

分)

2。

x=—y+2-6/2/2—6'2h_6-6t

联立方程t，得y=--X则。9，（6分）

3x2+4^2-12=003+t2D3+1213+£234-/2

27-3/218/^2-9-6/、

椭圆的右焦点为勺（1,0）,FC=FD=，（7分）

27+/2'27+，2丿2心+，2'3+/2丿

因为卫士xp——2=0,说明C,D,尸三点共线，即直线CD恒过厂

27+f23+建27+屋3+"22

点.（8分）

②因为直线CZ）恒过£点，所以的周长为|CFl|+|Cq|+|Z）q+|。巧=4”，

设ACPZ）内切圆的半径为r,所以ACF。的面积S=lx4crxr,

I1^CFfi2

所以3'20、|乙一乙J=2axr,即4厂=上《一厶（9分）

若内切圆的面积最大，即r最大，也就是|4一乙|最大，

因为C,三点不共线，所以直线CZ）的斜率不为0,设直线CZ）的方程为》=叩+1,

代入上+匕=1得：（3加2+4）产+6叩-9=0,可得y+y=——,y-y=---------

cD

433机2+4cD3加2+4

又因为卜-y|=1JG+yy-4yy=：'""；!（*）

1CD1*CDCD3m2+4

____12n_12

令〃=，加2+1（〃21）,（*）式化为：3〃2+13拉+丄，（11分）

n

（］

因为函数y=3〃+丄=3〃+3在h,”）上单调递增，所以当«=i,即团=o时，（*）式取

nn

\7

最大值3,

39兀

所以13,故y,所以得到“C平内切圆面积的最大值为而，当於。时取得.（12

分）

21.【详解】（1）由题意，/（x）=3有两个不相等正根,

所以1必+2=3有两个不相等正根，即a=3x-xlnx有两个不相等正根，（1分）

X

记函数〃（x）=3x-xlnx,则〃（x）=2-Inx,

令/（X）=0,得x=e2,令〃'（%）>0,得0cx<e2,令〃（x）<0,得x>e2,

所以函数力（x）=3x-xlnx的单调递增区间为（0产），单调递减区间为（ez,+8）,（3分）

令〃（x）=0得x=e3,且厶（e?）=e2,x无限趋近于。时，函数值无限趋向于0,

作出函数〃（x）=3x-xlnx的图象，如图

eI*xA（x）=3x-xlnr

-LZ_--------_六3a<4分）

「：\一

eTv

要使a=3x-xlnx有两个不相等正根，则函数丿=。与函数〃（x）=3x-xlnx有两个交点,

由图知0<a<e2,故实数a的取值范围0<a<ez.（5分）

（2）函数/（x）定义域为（0,+8）/（x）=丄—巴=x-a

XX2X2

当°40时，/“》）>0,/G）在（0,+8）上单调递增，不符合题意；

当。>0时，若0<X<Q[时，r（x）<0,/（x）在（0,a）上单调递减，

若x>a时，/<x）>0,/G）在Q,+8）上单调递增，。分）

由题意，不妨设0<加<，a<n,先证明》?〃>。2.要证加〃>Q2,即证〃〉一；

m

）（（

因为竺且/G）在（a,+8）上单调递增,故只需证明f（/•卜/0?=/加），8

m

分）

令g(Q=.f—=--21nx-—+2\na(0<x<a),

(X丿ax

则g'G)=，_2+£=」-G-a>>0,所以g（x）在（0,a）上单调递增，（9分）

axX2ax2

所以当0<X<4时，g(x,<g（a）=0,则有/

X/\

因为0<〃2<Q,所以/9-则/—</（»）,故""7>42;

n）丿

再证mn<ae2,即证〃<f£1.因为〃>a,竺！>“，且/Q）在（a,+8）上单调递增，（io分）

mm

只需证明弹斗/(〃)

=3,即证ln〃-lnw+上-1>0,

l加丿e2

因为/(〃?)=ln〃2+巴=3,所以Ina=In加+In（3-In加），

m

所以只需证明上+ln（3-ln〃z）-1>0,令（pG）=±+ln（3-lnx）-l（0<x<e2）,（11分）

e2e2

则（P'G）=!一1令f（x）=x（3-Inx）（0<x<e2）,

x（3-lnx）*

当0<x<ez时，f'（x）=2-lnx>0,所以f（x）在G©）上单调递增,

/（x）〈/（e2）=e2,于是屮'&）<0,

当0Vx<ez时,

从而可得（p（x）在（0©）上单调递减，故屮（x）><p（e2）=0,

所以一+In（3-In阳）-1〉0成立，故"z〃<ae2.综上，<mn<ae2.（12分）

e2

（二）选考题：共10分.请考生在第2