2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第7章 空间直线、平面的垂直

第七章立体几何与空间向量

§7.5空间直线、平面的垂直

【考试要求】1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系2掌握直线与平

面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

一般地，如果直线I与平面a内的任意一条直线都垂直,就说直线/与平面a互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

mu」

如果一条直线与一个平

1

nUa

面内的两条相交直线垂=/丄口

判定定理

直，那么该直线与此平7

/丄〃7

面垂直

/丄〃

ab

垂直于同一个平面的两a丄臼

性质定理\^a//b

条直线平行27b丄臼

2.直线和平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的

角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是壁：一条直线和平面平行，或在平面内,

我们说它们所成的角是贵.

Af

(2)范围：［'2_.

3.二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

(2)二面角的平面角：如图，在二面角。一/一夕的棱/上任取一点。，以点。为垂足，在半平面

a和夕内分别作垂直干棱」的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的N/108叫做二面角的平

面角.

(3)二面角的范围：［0,兀］.

4.平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

如果一个平面过另一个

判定定理平面的垂线,那么这两亠pa丄夕

个平面垂直zL

两个平面垂直，如果一a丄6,一

个平面内有一直线垂直

性质定理于这两个平面的交线,J/丄〃

那么这条直线与另一个17/U£.

平面垂直/丄a

【常用结论】

I.三垂线定理

平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这

条斜线垂直.

2.三垂线定理的逆定理

平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射

影垂直.

3.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“丿”或“X”)

(1)若直线/与平面a内的两条直线都垂直，则/丄a.(X)

(2)若直线。丄a,6丄a,则a//b.(V)

(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(X)

(4)若a丄4，a丄5，则a〃a.(X)

【教材改编题】

1.(多选)下列命题中不正确的是()

A.如果直线a不垂直于平面a,那么平面a内一定不存在直线垂直于直线。

B.如果平面a垂直于平面£,那么平面a内一定不存在直线平行于平面夕

C.如果直线。垂直于平面a,那么平面a内一定不存在直线平行于直线a

D.如果平面a丄平面仏那么平面a内所有直线都垂直于平面£

答案ABD

解析若直线。垂直于平面a,则直线。垂直于平面a内的所有直线，故C正确，其他选项均

不正确.

2.如图，在正方形SGiG2G3中，E,尸分别是GiGz,G2G3的中点，。是£尸的中点，现在沿

SE,SF及E尸把这个正方形折成一个四面体，使G”G2,G3三点重合，重合后的点记为G,

则在四面体S-EFG中必有()

EG2

A.SG丄△EEG所在平面

B.SO丄/G所在平面

C.GF丄/XSEF所在平面

D.G。丄△$£尸所在平面

答案A

解析四面体S-E尸G如图所示,由SG丄GE,SG丄GF,

6£^6尸=6且GE,GFU平面EFG得SG丄△£7%；所在平面.

3.已知尸。垂直于正方形/8CD所在的平面，连接P8,PC,PA,AC,BD,则一定互相垂

直的平面有对.

答案7

解析如图，由于尸。垂直于正方形N8CZ),故平面PD4丄平面平面尸丄平面N8CZ),

平面POC丄平面ABCD,平面尸D4丄平面PDC,平面R4C丄平面PDB,平面必8丄平面PAD,

平面P3C丄平面尸0C,共7对.

A

■探究核心题型

题型一直线与平面垂直的判定与性质

例1(1)已知/,加是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断：

①/丄机；@m//a；③/丄a.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题.

答案②③。①(或①③》②)

解析已知/,加是平面a外的两条不同直线，由①/丄加与②加〃a,不能推出③/丄a,因为/

可以与a平行，也可以相交不垂直；由①/丄机与③/丄a能推出②”?〃a；由②”?〃a与③/丄a可

以推出①/丄加.

(2)(2023•娄底模拟)如图，在三棱柱481G中，点囱在底面Z8C内的射影恰好是点C.

①若点。是4c的中点，5LDA=DB,证明：ABLCC\.

②已知8iC=2,BiC=2®求△8CG的周长.

①证明•••点囱在底面Z8C内的射影是点C,

.••■8C丄平面ABC,

平面：.B\C±AB.

在△A8C中，DA=DB=DC,：.BC±AB,

■:BCCBiC=C,BC,BiCu平面8CG81,

丄平面BCCB,

：CGU平面BCC/I,：.ABA.CC\.

②解如图，延长8c至点E,使BC=CE,

连接GE,则81cl總CE,四边形8CEC1为平行四边形，

则CiE統BiC.

由①知8C丄平面Z8C,丄平面/8C,

VCE,8£u平面/8C,

ACiEA.CE,CiE丄BE,

■:CiE=BiC=20CE=BC=BiCi=2,BE=4,

：.CC\^yjCE^+CiE2-4,8c产诋西才总=2亚

AA5CC,的周长为2+4+2S=6+2行.

思维升华证明线面垂直的常用方法及关键

⑴证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性伍〃b,“丄a=6丄a);

③面面平行的性质(a丄a,a〃£=a丄4)；④面面垂直的性质.

(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.

跟踪训练1如图，在正方体力BCD—中，E,尸分别是棱CZ),小人的中点.

(1)求证：個丄BF：

(2)求证：AE1BF；

(3)棱CG上是否存在点P,使8尸丄平面ZEP?若存在，确定点尸的位置，若不存在，说明

理由.

⑴证明如图，连接48,则4囱丄45,

因为小尸丄平面4581/1,N81U平面

所以小尸丄

又A\B(~\A\F=A\,

所以/囱丄平面4BF.又BFU平面A\BF,所以，3丄BF.

(2)证明如图，取棱力。的中点G,连接/G,BG,则尸G丄4E,

因为AG=DE,ZBAG^ZADE,所以△胡G丝所以N/8G=NONE.

所以NE丄8G.又因为8GriFG=G,所以ZE丄平面5FG.

又BFU平面BFG,所以NE丄8E

(3)解存在.如图，取棱CG的中点尸，即为所求.连接EP,AP,C\D,因为E尸〃G。，

C\D//AB\,所以EP〃/81.

由(1)知/囱丄8尸，所以BF丄EP.

又由(2)知ZE丄8/，且

所以8尸丄平面AEP.

题型二平面与平面垂直的判定与性质

例2(2023•桂林模拟)如图所示，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PADL

底面Z8C。且4?=1,PA=AD=PD=2,E为的中点.

(1)求证：平面PC。丄平面/CE；

(2)求点B到平面ACE的距离.

⑴证明由以E为尸。的中点，可得丄尸。，

因为CD丄4。，平面以。丄平面48C。，平面HOC平面。。(=平面18。。，所

以8丄平面PAD,

而/EU平面以。，所以CD丄/E,

由CDClPD=D,则丄平面PCD,

又/EU平面/CE,所以平面PCD丄平面4CE.

⑵解如图，连接8。，与/C交于O,则。为8。的中点，

所以点。到平面/CE的距离即为点8到平面/CE的距离.

由平面PC。丄平面ZCE,过。作。〃丄CE,垂足为

则。加r丄平面ACE,则DM为点。到平面ACE的距离.

由8丄平面PAD,可得CDA.PD,

又CD=DE=l,所以。〃=丄篋=啦，

22

即点8到平面ACE的距离为坐.

2

思维升华(1)判定面面垂直的方法

①面面垂直的定义.②面面垂直的判定定理.

(2)面面垂直性质的应用

①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直

线”.②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.

跟踪训练2(2022•邯郸模拟)如图，在四棱锥尸一/BC。中，AB//CD,ABLAD,CD=2AB,

平面以。丄平面488,PA1AD,E和尸分别是CD和尸C的中点，求证：

⑴处丄平面N8CD；

⑵平面〃平面RW；

(3)平面BE/丄平面PCD.

证明(1)：平面RW丄平面48CD,

且PA垂直于这两个平面的交线AD,

丄平面/BCD

(2Y：AB//CD,CD=2AB,£是CZ)的中点，

：.AB//DE,S.AB=DE,

四边形/8ED是平行四边形，：.AD//BE,

平面以。，平面以。，.♦.BE〃平面以

和下分别是CD和尸C的中点，C.EF//PD,

:EFW平面以D,PDU平面以D,尸〃平面刃。,

■:BECEF=E,BE,EFU平面BEF,

，平面BEF〃平面PAD.

(3\：AB1.AD,二平行四边形/BE。是矩形，:.BE丄CD,ADLCD,

由①知以丄平面48cD,：.PA±CD,

"：PAHAD^A,

丄平面均。，：.CDLPD,

和尸分别是CD和PC的中点，：.PD//EF,

J.CDLEF,又YBECEF=E,丄平面

：CDu平面PCD,二平面BEF丄平面PCD.

题型三垂直关系的综合应用

例3如图，已知—是底面为正方形的长方体，NN。小=60。，］。=4,点

P是上的动点.

(1)试判断不论点尸在/。上的任何位置，是否都有平面87%丄平面Z4。。，并证明你的结

论；

(2)当尸为/A的中点时，求异面直线441与5尸所成的角的余弦值；

⑶求PBi与平面AAyDyD所成的角的正切值的最大值.

解(1)是...•氏4丄平面44Q。，氏4<=平面即讯

平面57%丄平面AA\D\D,

,无论点尸在/d上的任何位置，都有平面8弘丄平面AA\D\D.

(2)过点尸作尸E丄小A,垂足为E,连接SE,如图，

则PE〃A4,

二/81PE（或其补角）是异面直线AAx与S尸所成的角.

在RtA^iOi中，

ZADiAi=60°,

：./小皿=30。，

：.A\B\=A\D\=~AD\=2,

2

'.A\E=-A\D\=\,AA\=yl3A\D\=2\l3,

2

；.PE=：AAI=3,5/=山1不+4£2=4,

在RtA5iP£中,

22

BlP=\[B[E+PE=2y[2,

PE_而_巫

cos/B\PE=

BiP―2祖—4

.•・异面直线"4与HP所成的角的余弦值为手.

(3)由(1)知,8闻丄平面4401，

:.NB1P4是PB\与平面Mb。。所成的角,

aa二2

tanZB\PA\A\P~A\f

・••当4尸最小时，tan/囱E4i最大,

这时4P丄/Di,

4P=">''4=3,

AD\

得tanZB,/^i=—,

3

即PBi与平面AA^D所成的角的正切值的最大值为细.

3

思维升华(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.

(2)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相

关定理、性质进行推理论证.

跟踪训练3(2023•柳州模拟)如图，在三棱锥P-/8C中，AB=BC=2,PA=PB=PC=AC

=2/，。为ZC的中点.

(1)证明：尸O丄平面/8C；

(2)若点〃在棱3c上，且与平面N8C所成角的正切值为水,求二面角〃一必一C的平

面角的余弦值.

⑴证明方法一如图，连接05.

•:AB=BC=2,AC=2近

：.AB2+BCi^AC2,

即△/8C是直角三角形，

又。为ZC的中点，

；Q=08=0C,

又,：PA=PB=PC,

：.△尸0/纟丝△POC,

ZP0A=ZPOB=NP0C=90°.

C.POLAC,POLOB,

,：OBC\AC=O,OB,ZCU平面Z8C,

...尸。丄平面ABC.

方法二如图，连接。8,

■:PA=PC,。为ZC的中点，PA=PB=PC=AC=20

：.POLAC,PO=#,

又,：AB=BC=2,

：.AB±BC,BO=啦,

：.PO2+OB2^PB2,

：.PO1OB,

VOBQAC^O,OB,NCU平面40C,

...PO丄平面ABC.

(2)解由(1)知，尸O丄平面Z8C,

为尸加在平面/8C上的射影，

：.NPM0为尸”与平面力8c所成角，

•；tan/PMO=^=退=#,

OMOM

：.OM=1,

在△45C和△0MC中，由正弦定理可得MC=1,

:.M为8c的中点.

如图，作ME丄NC交NC于E,

则E为。C的中点，作防丄RI交于尸，连接板,

：.MF,LPA,

...NMFE即为所求二面角加一冋一。的平面角，ME^~,

2

£F=^£=^X-X2^2=^,

2244

MF=7ME2+EF=^.

二EF3回

cosNMFE

~MF~31

故二面角M—以一C的平面角的余弦值为晅.

31

课时精练

立基础保分练

1.（多选）若平面a,产满足a丄6，aC8=I,P^a,P^l,则下列命题中是真命题的为（）

A.过点P垂直于平面a的直线平行于平面夕

B.过点P垂直于直线/的直线在平面a内

C.过点P垂直于平面夕的直线在平面a内

D.过点尸且在平面a内垂直于/的直线必垂直于平面夕

答案ACD

解析由于过点P垂直于平面a的直线必平行于平面夕内垂直于交线的直线，则直线平行于平

面夕，因此A正确；过点尸垂直于直线/的直线有可能垂直于平面a,不一定在平面a内，因

此B不正确；根据面面垂直的性质定理知，选项C,D正确.

2.如图，在四棱锥P-ABCD中，△刈8与8c是正三角形，平面R18丄平面PBC,AC±BD,

则下列结论不一定成立的是（）

A

A.BPVACB.尸£＞丄平面488

C.ACLPDD.平面丄平面NBC。

答案B

解析如图，取线段8尸的中点0,连接040C,易得8P丄04,BPLOC,又。/COC=

0,所以8尸丄平面O4C,所以8P丄NC,故选项A正确；又4c丄BD,BPCBD=B,所以

/C丄平面P8。，所以ZC丄PD,故选项C正确；又/CU平面所以平面P8。丄平面

ABCD,故选项D正确.

3.如图，在斜三棱柱/8C一小81G中，/8/C=90。，BC\LAC,则G在底面Z8C上的射影

H必在（）

4

A.直线48上

B.直线8c上

C.直线4c上

D.△Z8C内部

答案A

解析连接NG（图略），由NC丄43,ACVBC\,4BCBCkB,得/C丄平面/8G.平

面ABC,.•.平面/8G丄平面ABC.：.C\在平面ABC上的射影，必在平面ABC\与平面ABC

的交线AB上.

4.（多选）如图，在以下四个正方体中，直线Z8与平面C0E垂直的是（）

答案BD

解析对于A,显然48与CE不垂直，则直线与平面C£>£不垂直；对于B,因为N8丄CE,

ABLED,且CECED=E,所以N8丄平面CDE；对于C,显然与CE不垂直，所以直线

与平面C£>E不垂直；对于D,因为丄平面Z8C,贝llED丄Z8,同理C£丄月8,因为

EDnCE=E,所以丄平面CDE.

5.（多选）（2022,齐齐哈尔模拟）若加，"是两条不同的直线，a,尸，y是三个不同的平面，则下

列命题错误的是（）

A.若mU0,a丄4，则机丄a

B.若加〃a,n//a,则机〃〃

C.若机丄£,m//a,则a丄4

D.若a丄y,a丄夕,则/丄y

答案ABD

解析由zn,〃是两条不同的直线，«,夕，y是三个不同的平面，

在A中，若mU0,a丄/?,则w与a相交、平行或mu%故A错误；

在B中，若机〃a,n//a,则机与"相交、平行或异面，故B错误；

在C中，若加丄尸，机〃a,则由面面垂直的判定定理得a丄£,故C正确；

在D中，若a丄y,a丄“，贝（I•与y相交或平行，故D错误.

6.（多选）在长方体/8。。一小BIGDI中，已知81。与平面488和平面44由山所成的角均

为30。,则下列说法正确的是（）

A.AB=\[2AD

B.48与平面/囱。。所成的角为30。

C.AC=CBi

D.8Q与平面B8CC所成的角为45°

答案AD

解析如图，连接8。，易知N5O8是直线囱。与平面48C。所成的角，

所以在RtZXBZ）朋中，NBDBi=30°,

设881=1,则8|。=28囱=2,

BD=\）BiD2—BB仁W

易知NAB\D是直线BiD与平面448山所成的角，

所以在RtAADBi中，N/8iZ)=30。.

因为BQ=2,所以AD=-B\D=1,

2

4BI=7BID2-AD2=®

所以在RtZiZBBi中，/8=山历一所以A项正确;

易知是直线N8与平面4囱。£）所成的角，

因为在RtAABBi中，sinNBAB1=组=也,

AB\32

所以N8/8i#30。，所以B项错误；

在RtACBBi中，CBL'BC+BBA価,

而ACZABZ+BGZ,所以C项错误；

易知NQ8C是直线囱。与平面881cle所成的角，

因为在RtZXDSC中，CBi=CD=亚,所以NO81c=45。，所以D项正确.

7.如图所示，在四棱锥尸一/BCD中，以丄底面/8CQ,且底面各边都相等，”是PC上的

一动点，当点〃满足条件：®BM±DM,©DM1PC,③丄尸C中的时，平面

八四。丄平面PCD（只要填写一个你认为是正确的条件序号即可）.

答案②（或③）

解析连接/C（图略）丄底面48CO,；.以丄底面各边都相等，.../C丄8D

4rMe=/,丄平面B4C,J.BDVPC.

当丄尸C（或8M丄PC）时，即有尸C丄平面MBD,

而尸CU平面尸8,...平面MB。丄平面PCD

8.在矩形N8CD中，AB〈BC,现将沿矩形的对角线8。所在的直线进行翻折，在翻

折的过程中，给出下列结论：

①存在某个位置，使得直线ZC与直线8。垂直；

②存在某个位置，使得直线"8与直线CD垂直；

③存在某个位置，使得直线X。与直线8c垂直.

其中正确结论的序号是.

答案②

AE1.BD

解析①假设ZC与8。垂直，过点工作4E丄8D于点E,连接CE,如图所示.则］■

BDLAQ

分8。丄平面/EC,则80丄CE,而在平面8C。中，CE与8力不垂直，故假设不成立，①不

正确；

②假设么8丄8,丄/。，CZ）C4Z）=。，.•.N8丄平面/CD,.,.48丄4C,由可知，

存在这样的直角三角形，使力8丄4C,故假设成立，②正确；

③假设丄8C,'：CDrBC,ADQCD=D,，8C丄平面4CD,：.BC±AC,即△ZBC为直

角三角形，且48为斜边，而4B<BC,故矛盾，假设不成立，③不正确.

9.如图所示，在四棱锥P-/8C。中，底面ABCD是/。/8=60。且边长为a的菱形，侧面PAD

为正三角形，其所在平面垂直于底面N88,若G为的中点.

(1)求证：8G丄平面以。；

(2)求证：ADLPB；

(3)若E为8c边的中点，能否在棱尸C上找到一点尸，使平面。E尸丄平面/8CO?并证明你

的结论.

(1)证明在菱形Z8C。中，ZDAB=6Q°,G为力。的中点，

所以BGLAD.

又平面以。丄平面/8C。，平面P4OC平面488=/。，8GU平面/8CA,所以5G丄平面

PAD.

(2)证明如图，连接尸G,因为△%£>为正三角形，G为线段4)的中点,

AB

所以PGVAD.

由(1)知BG丄又PGCBG=G,所以力。丄平面PG8.

因为P8U平面PG8,所以丄P8.

(3)解能，当尸为线段PC的中点时，平面。£尸丄平面/8CD证明如下：

如图，取线段PC的中点F,连接DE,EF,DF.

在△PBC中，FE//PB,在菱形/8C。中，GB//DE.

而在tU平面DEF,DEU平面DEF,EFCDE=E,P8U平面PGB,G8<=平面PGB,PBCGB

=B,所以平面OEF〃平面尸G8.

因为平面口。丄平面Z8C。，平面以。。平面PGU平面R4。，PG1AD,所以

PG丄平面ABCD.

又PGU平面PGB,所以平面PG8丄平面N8CD,

所以平面OEP丄平面ABCD.

10.(2023・广州模拟)如图，在三棱锥尸一/8。中，平面以C丄平面P8C,以丄平面/8C.

C

(1)求证：8c丄平面必C；

(2)若AC^BC=PA,求二面角A-PB-C的平面角的大小.

⑴证明如图，作/。丄PC交尸C于点

因为平面以C丄平面尸8C,平面R4Cn平面P8C=PC,ZOU平面以c,

所以丄平面PBC,

又8CU平面P8C,所以工。丄BC,

又因为以丄平面/8C,8CU平面/8C,

所以PA±BC,

久PA,/OU平面HC,PACAD=4,

所以8c丄平面PAC.

(2)解如图，作/。丄PC交PC于点。，DE丄PB交PB于点、E,连接/£,

由(1)知工。丄平面PBC,

因为P8U平面P8C,则/。丄P8,

又DEU平面ADE,ADDDE=D,

所以P6丄平面NOE,

因为ZEU平面ADE,

所以PBA.AE,

则/4E7)即为二面角/一尸8-C的平面角.

又DEU平面PBC,则ADA.DE,

不妨设AC=BC=PA=1,

1X1也

则PC=yj2,AD=T=T)

又由(1)知8c丄平面PAC,

因为NCU平面PAC,

所以BC1AC,

所以48=心，以丄平面”C,

又/BU平面ABC,

则以丄则尸B=S,出,

V33

也

则sinZ^£Z）=—,

4E业2

3

由图知二面角4-P8-C的平面角为锐角,

所以N/ED=Z

3

即二面角/一尸8—（7的平面角的大小为四.

3

理综合提升练

11.如图，正三角形以。所在平面与正方形/8C。所在平面互相垂直，。为正方形的

中心，M为正方形48C。内一点，且满足A/P=MC,则点M的轨迹为（）

答案A

解析如图，取4）的中点E,连接PE,PC,CE.

因为△以。为正三角形,

所以PE±AD,

又平面以。丄平面48CD,平面月4OA平面48co=力。,

所以PE丄平面/8CD,

从而平面PEC丄平面/8C。，分别取PC,48的中点尸，G,连接。/，DG,FG,

由PD=DC知DF±PC,易得DGLEC,

则OG丄平面PEC,

又尸平面PEC,

所以DGVPC,

又DFCDG=D,

所以PC丄平面OPG,

又点尸是PC的中点，

因此，线段OG上的点满足MP=MC.

12.（多选）如图所示，一张A4纸的长、宽分别为2/a,2a,A,B,C,D分别是其四条边的

中点.现将其沿图中虚线折起，使得丹，P2,B，尸4四点重合为一点P,从而得到一个多面

体.下列关于该多面体的命题正确的是（）

P,._____B_____P

/A'、

/\

A\i7C

\/

p,——'厶

A.该多面体是四棱锥

B.平面8/0丄平面

C.平面BNC丄平面ZCZ）

D.该多面体外接球的表面积为％标

4

答案BC

解析由题意得该多面体是一个三棱锥，故A错误；尸丄8P,APLCP,BPCCP=P,

尸丄平面BCD.

又平面8/。，.•.平面8/。丄平面8a）,故B正确；同理可证平面8/C丄平面

故C正确；通过构造长方体可得该多面体的外接球半径所以该多面体外接球的表

2

面积为5na2,故D错误.

13.（多选）如图，在正方体/88—小囱©。|中，点尸在线段81c上运动，则下列说法正确

的是（）

A.直线瓦1丄平面/GO

B.三棱锥尸一小GO的体积为定值

匹匹

C.异面直线ZP与4。所成角的取值范围是4'2_

D.直线GP与平面小C。所成角的正弦值的最大值为达

3

答案ABD

解析A项，如图，连接囱。|,

D.G

AB

由正方体可得小G丄Bi。,

且丄平面小81Go

又HCU平面A\BXC\D\,

则8S丄4G,

因为

所以小G丄平面BDiBi,

又平面BDM

所以4c丄8A.

同理，连接易证得4。丄8。，

因为40rl4c1=41,A\D,mGU平面4CQ,

所以8。丄平面4GZ),故A正确；

B项，匕.极锥pvs『三棱怫'

因为点尸在线段囱C上运动，

所以S&QP=，Q/B,为定值，

且G到平面4PD的距离即为G到平面45。的距离，也为定值,

故三棱锥产一/iCtD的体积为定值，故B正确；

C项，当点尸与线段BiC的端点重合时，/P与小。所成角取得最小值，最小值为:，故C错

误；

D项，因为直线8。丄平面小。。，

所以若直线GP与平面4G。所成角的正弦值最大，

则直线GP与直线89所成角的余弦值最大，

即点P运动到81c中点处，直线GP与直线8。所成角为NGBOi,

设正方体棱长为1,在RtZYDiC港中，

cosNCiBDi=2=*=也故D正确.

BDiV33

7

14.如图，在矩形/8CD中，点E,尸分别在线段48,AD±.,AE=EB=AF=~FD=4,沿

3

直线EF将△力■翻折成△/'EF,使平面/'EF丄平面8EF,则二面角H一五。一。的平

面角的余弦值为.

A，

DC

宏案心

3

解析如图，取线段'的中点从ZF的中点G,连接HG,ArH,GH.

A，

DC

由题意，知/'E=A'F及H是EF的中点、,

所以4'H丄EF.