2023中考九年级数学分类讲解 - 第十二讲 圆(含答案)(全国通用版)

第十二讲圆

专项一圆的相关概念及性质

知识清单

1.圆的定义及其相关概念

圆：如图1,在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所

形成的图形叫做.其固定的端点。叫做线段。4叫做.

弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做,如图1,AC,BC是弦,c图।

8c是直径.

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧

都叫做半圆.大于半圆的弧叫做（用三个点表示，如图1中的旃C）,小于半圆的弧叫做

（如图1中的注C）.

圆心角：顶点在的角叫做圆心角（如图1中的/A08是才3所对的圆心角）.

圆周角：顶点在上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角（如图1中的NACB是也8所对的圆周角）.

2.圆是轴对称图形，对称轴是,由此可得

垂径定理：垂直于弦的直径弦，并且弦所对的两条弧.

推论：平分弦（不是）的直径______弦，并且弦所对的两条弧.

3.圆是中心对称图形，对称中心是,由此可得

在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量

4.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即N84C=LNBOC（如图2）.

2

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等，即N8AC=/B£>C（如图2）.

推论2:半圆（或直径）所对的圆周角是,即/BC4=90。（如图2）;90。的圆周角

所对的弦是直径.

图2

推论3:圆内接四边形的对角.

考点例析

例1往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图1所示.若水面宽度AB=

24cm,则水的最大深度为（）

A.5cmB.8cmC.10cmD.12cm

分析：如图1,作与弦AB垂直的半径，先利用垂径定理求出8。的长，再根据勾股定理求出。。的长，

进而得出C。的长.

归纳：过圆心作弦的垂线可以构造垂径定理基本图形，常结合勾股定理求线段长.在图1所示的A8,0B,

OD,CD四个量中，OB=OO+C£>,（当J+OfP=，利用这两个关系式，知道其中任何两个，其余

两个都能求出来.

例2如图2,四边形4BCZ）是。0的内接四边形，ZADC=150°,弦4c=2,则。O的半径等于.

图2

分析：根据圆内接四边形的性质可得N4BC的度数，连接OA,OC,由圆周角定理求出NAOC的度数，判

断△。/1。的形状后，可求。。的半径.

例3如图3,已知AB是。。的直径，NACQ是AO所对的圆周角，ZACD=30°.

（1）求ND4B的度数；

（2）过点。作。E_LAB,垂足为E,OE的延长线交。。于点F.若48=4,求OF的长.

图3

分析：（1）连接8。，根据同弧所对的圆周角相等可得NB=/AC£>=30。，再由A3是。。的直径，可得/

AOB=90。，进而可求/D48的度数；（2）在RSAB0中，根据30。角所对的直角边等于斜边的一半可得

AD的长，在R3AOE中，DE-ADsinZDAE,再结合垂径定理可求出。尸的长.

解：

归纳：在圆中经常构造直径所对的圆周角，利用圆周角定理与直角三角形的性质解题.

跟踪训练

1.如图，AB为。。的直径，C,。为。。上的两点.若NA8D=54。，则NC的度数为（）

A.34°B.36°C.46°D.54°

第1题图

2.尸是。。内一点，过点尸的最长弦的长为10cm,最短弦的长为6cm,则。。的长为（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

3.如图，四边形ABC。为。。的内接四边形，若四边形为菱形，则N84D的度数为（）

A.45°B.60°C.72°D.36°

4.如图，在RtA48C中，NABC=90。，乙4=32。，点B,C在。O上，边A8,4c分别交。。于。，E

两点，点8是CO的中点，则NABE=

5.如图，为。O的弦，D,C为的三等分点，AC//BE.

(1)求证：ZA=ZE；

(2)若3C=3,BE=5,求CE的长.

第5题图

专项二与圆有关的位置关系

知识清单

1.点与圆的位置关系

设。。的半径为r,点P到圆心O的距离为d,则有

点P在圆外___r;

点P在=dr：

点P在圆内G>dr.

2.直线与圆的位置关系

设。。的半径为r,圆心O到直线1的距离为d,则有

直线1与。0相交Od___r;

直线1与。0相切<=>d—r;

直线］与0O____=d___r.

3.切线的性质

定理洞的切线于过切点的半径.

4.切线的判定

(1)和圆只有个公共点的直线是圆的切线.

(2)经过半径的外端并且于这条半径的直线是圆的切线.

(3)如果圆心到一条直线的距离圆的半径，那么这条直线是圆的切线.

5.切线长定理(选学)

切线长:经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间叫做这点到圆的切线长.

定理:从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长,这一点和圆心的连线两条切线的夹角.

6.三角形的外接圆与内切圆

外接圆内切圆

圆心名称三角形的外心三角形的内心

圆心位置三角形三条边的垂直平分三角形三条角平分线

线的交点的交点

性质三角形的外心到三角形三三角形的内心到三角

个顶点的距离相等形三边的距离相等

考点例析

例1如图1-①，正方形ABCQ的边长为4,。。的半径为1.若。。在正方形ABCQ内平移(。。可以与

该正方形的边相切),则点A到。。上的点的距离的最大值为.

①②

图1

分析：如图1-②，当。。平移最靠近点C,即当。。与CB,CD相切时，点A到。0上的点。的距离最

大，结合切线的性质定理和切线长定理求解.

例2如图2,在RtAABC中，ZACB=90°,E是BC的中点，以AC为直径的。。与A8边交于点。，连

接。E.

（1）判断直线。E与。0的位置关系，并说明理由；

（2）若CO=3,DE=~,求（DO的直径.

2

分析：（1）连接0D,根据直角三角形斜边上中线的性质与等腰三角形的性质，可证/E£>0=90。，从而

判定DE与。。相切；（2）先在RtABOC中求出8C,8£）的长，再借助相似三角形求出AC的长，即得。

。的直径.

解：

归纳：切线的判定方法主要有两种：若直线与圆有交点，则连接过交点的半径，证其与直线垂直（连半径,

证垂直）；若不能确定直线与圆有交点，则过圆心向直线作垂线段，证圆心到直线的距离等于半径（作垂

线，证半径）.

跟踪训练

1.如图，NBAC=36。，点。在边4B上，。0与边AC相切于点£）,交边AB于点E,F,连接尸£）,则/

4五。的度数为（）

A.27°B.29°C.35°D.37°

2.如图，PA,PB是。。的切线，A,8是切点.若NP=70。，则NAB。等于（）

A.30°B.35°C.45°D.55°

3.如图，FA,GB,HC,ID,JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则NBAF+/C8G+/OCH+NEO/+

ZAEJ=

J

第3题图

4.如图①，ZkABC内接于。0,直线MN与。。相切于点£>,0。与BC相交于点E,BC//MN.

(1)求证：ZBAC=ZD0C；

(2)如图②，若AC是。。的直径，E是。。的中点，。。的半径为4,求AE的长.

第4题图

5.如图，AABC内接于。0,A8是。。的直径，E为AB上一点，BE=BC,延长CE交4。于点£>,AD

—AC.

(1)求证：AO是。。的切线；

(2)若tan/ACE=l,0E=3,求BC的长.

3

第5题图

专项三弧长与扇形面积的计算

知识清单

1.弧长公式：在半径为R的圆中，"。的圆心角所对的弧长/=.

2.扇形面积公式：在半径为R的圆中，圆心角为〃。的扇形的面积S=

在半径为R的圆中，圆心角所对的弧长为/的扇形的面积5=.

考点例析

例1如图1,传送带的一个转动轮的半径为18cm,转动轮转”。，传送带上的物品A被传送12兀cm,则〃

分析：物品A被传送的距离等于转动轮转〃。的弧长，根据弧长公式求弧所对的圆心角的度数即为“值.

例2如图2,正六边形的边长为2,以A为圆心，AC的长为半径画弧，得EC,连接AC,AE,

则图中阴影部分的面积为（）

出2后

A.2兀B.4兀C.兀D.-----兀

33

图2

分析：阴影部分是以AC为半径、以/C4E为圆心角的扇形，借助正六边形的性质，分别求出AC的长与

/C4E的度数，根据扇形的面积公式计算.

例3设圆锥的底面圆半径为r,圆锥的母线长为/,满足2丹/=6,这样的圆锥的侧面积（）

99

A.有最大值一兀B.有最小值一兀

44

99

C.有最大值二兀D.有最小值三兀

22

分析：根据扇形的面积公式结合关系式2r+/=6,列出圆锥的侧面积与r之间的函数解析式，再通过函数的

性质求圆锥的侧面积的最大值或最小值.

归纳：对于圆锥，要熟悉立体图形与展开图（平面图形）之间的对应关系：圆锥的侧面展开图为扇形，圆

锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面周长是扇形的弧长.

跟踪训练

1.图①是一把扇形书法纸扇，图②是其完全打开后的示意图，外侧两竹条0A和0B的夹角为150。，OA

的长为30cm,贴纸部分的宽4c为18cm,则CO的长为（）

A.5无cmB.10KcmC.20ncmD.25ncm

①②

第1题图

2.如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）,

那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（）

17,77,25,

A.——7tmB.——7tm-C.——7tm-D.——7tm2

6

第2题图

3.已知圆锥的母线长为10,高为8,则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为（用含兀的代数式

表示），圆心角为度.

4.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,8,。均在小正方形的顶点上,且点B,C在AO

专项四正多边形与圆

知识清单

1.正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的,这个圆就是这

个正多边形的

2.与正多边形有关的概念

180。(〃-2)

如图，已知正〃边形的边长为a,半径为R,则这个正〃边形的每个内角为

n

中心角a=,边心距r=,周长面积S=—“ar.

考点例析

例1如图1,面积为18的正方形A8C。内接于。0,则AB的长度为（）

99

B.—兀D.—7T

24

图1

分析：连接OA,0B,则AOAB为等腰直角三角形.由正方形ABC。的面积为18,可求得边长AB,进而

可得半径OA,根据弧长公式可求AB的长.

例2（2021・河北）如图2,的半径为6,将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为A“（〃为1〜

12的整数），过点必作。。的切线交4A”的延长线于点P.

（1）通过计算比较直径和劣弧4Al的长度哪个更长；

（2）连接AAu，则44”和南1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；

（3）求切线长以7的值.

图2

分析：（1）利用弧长公式求劣弧的长度，与直径比较大小；（2）先直觉观察猜想结论，再利用圆

周角定理证明；（3）由切线的性质可得RtAB4IA7,解此三角形可得叫7的值.

解：

跟踪训练

1.（2021•贵阳）如图，。。与正五边形ABCDE的两边4E,CO相切于月，C两点，则NAOC的度数是

（）

2.（2021・绥化）边长为4cm的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是.

3.（2021•湘潭）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金

分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”

如图①，点C把线段A8分成两部分，如果J=X二M.618,那么称点C为线段AB的黄金分割点.

AC2

第3题图

（1）特例感知：在图①中，若AB=100,求AC的长；（结果保留根号）

（2）知识探究：如图②，作。。的内接正五边形；

①作两条相互垂直的直径MMAh

②作ON的中点P,以P为圆心，物为半径画弧交。何于点。；

③以点A为圆心，A。为半径，在。。上连续截取等弧，使弦AB=BC=C£>=O£=AQ,连接AE；

则五边形ABCDE为正五边形.

在该正五边形作法中，点。是否为线段OM的黄金分割点？请说明理由；

（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割

有着密切的联系.

延长题（2）中的正五边形A8CDE的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线段PO的黄金

分割点，请利用题中的条件，求cos72。的值.

专项五圆中的数学思想

1.方程思想

例1（2021・西宁）如图1,AB是。。的直径，弦于点E,CD=10,BE=2,则。。的半径OC

分析：先由垂径定理求得CE的长，再在RtAOCE中由勾股定理得出关于半径的方程，解方程即可.

2.分类讨论思想

例2（2021・朝阳）已知。。的半径是7,A8是。。的弦，且A8的长为76，则弦A8所对的圆周角的

度数为.

分析：弦A8所对圆周角的顶点可能在优弧上，也可能在劣弧上，所以需要分两种情况讨论.解答时，利

用垂径定理构造直角三角形，借助三角函数求弦A8所对的圆心角的度数，再根据圆周角定理及其推论求

弦AB所对的圆周角的度数.

3.转化思想

例3（2021•枣庄）如图2,正方形的边长为2,。为对角线的交点，点E,F分别为BC,的中

点.以C为圆心，2为半径作B。，再分别以E,尸为圆心，1为半径作圆弧8。，OD,则图中阴影部分

的面积为（）

A.71-1B.花-3C.兀-2D.4-71

图2

分析：连接则。。与线段OD围成的图形面积等于OB与线段OB围成的图形面积，故阴影部分的面

积等于扇形CBD与直角三角形CBD的面积之差.

归纳：求不规则图形的面积，经常通过割补法或等积法将其转化为规则图形，再利用面积公式进行计算.

跟踪训练

1.（2021.兴安盟）如图，两个半径长均为后的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFO的圆心

C是A8的中点，且扇形CFO绕着点C旋转，半径AE,CF交于点G,半径BE,CD交于点、H,则图中

阴影部分的面积等于（）

71乃

A.--1B.--2C.it-1D.兀-2

22

2.（2021•青海）点P是非圆上一点，若点P到。。上的点的最小距离是4cm,最大距离是9cm,则。O

的半径是.

3.（2021•绥化）一条弧所对的圆心角为135。，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径

为cm.

参考答案

专项一圆的相关概念及性质

例1B例22

例3(1)连接BO.因为NACQ=30。，所以NB=NACQ=30。.

因为AB是。。的直径，所以/ADB=90。.所以ND42=90。-NB=60。.

(2)因为NAQB=90。，NB=30。，AB=4,所以AQ=LAB=2.

2

因为ND4B=60。，DELAB,且AB是直径，所以EF=DE=AO-sin6(r=6.

所以DF=2DE=2-Ji.

1.B2.B3.B4.13°

5.(1)证明：因为4C〃BE,所以NE=NACD

因为。，C为ACB的三等分点，所以BC=CD=AO.

所以NACO=NA.所以NE=/A.

(2)解：由(1)知BC=C£>=A。，所以

所以8E=B£>=5,BC=CD=3,t^CBD^/\BDE.

所以需BD35区”225

=---,即nn一=----，解得DE=—

DE5DE3

所以CE=DE-CD=—-3=—.

33

专项二与圆有关的位置关系

例13A/2+1

例2(1)证明：连接0D.

因为AC是。。的直径，所以NAOC=90。，所以N8OC=90。.

因为E是BC的中点，所以DE=CE=8E,所以/EDC=/ECD

XOD=OC,所以/OOC=NOCO.

因为NOCC+N£>CE=NACB=90。，所以NOQC+NECC=90。，即NEDO=90。.所以。E_LO£).

又0。为。。的半径，所以。E与。。相切.

(2)解：由(1),得NBZ)C=90。，DE=CE=BE.

因为OE=』，所以BC=5.所以BD=jBC2-CD2=，52—32=4.

2

因为NBC4=/BOC=90。，NB=NB,所以△BCAs/^BOC.

RCAC51515

所以0=2)，即土=士.解得AC=2.所以。。的直径为u.

CDBD3444

1.A2.B3.180

4.(1)证明：连接OB.

因为直线MN与。。相切于点。，所以OD上MN.

因为BC〃MN,所以ODLBC.所以30=CD.所以NBOD=NCOD.

因为NBAC=，/BOC,所以NBAC=/OOC.

2

(2)解：因为E是。。的中点，所以0E=£)E=2.

在RtAOCE中，CE=y]OC2-OE2=742-22=2百.

由(1)知0E_L8C,所以BE=CE=26.

又。是AC的中点，所以0E是A4BC的中位线.所以A8=2OE=4.

因为AC是。。的直径，所以NA8C=90。.

在Rt^ABE中，AE=yjAB2+BE2="+(2&『=277.

5.(1)证明：因为AB是。0的直径，所以乙4cB=90。，即/ACE+/BCE=90。.

因为AD=AC,BE=BC,所以NACE=NO,NBCE=NBEC.

又/BEC=NAED,所以NAEQ+NO=90。.所以ND4E=90。，即A£>_LAE.

因为OA是(DO的半径，所以A。是。。的切线.

(2)解：由(1),得tanNACE=tan。=」，设AE=a,则AD=AC=3a.

3

因为OE=3,所以。4=4+3,AB=2a+6,BE=BC=a+3+3^a+6.

在RSABC中，由勾股定理，得AB2=BC2+4C2,即(2“+6)2=(a+6)2+(3a)2,解得0=0(舍去)，

改=2.所以BC=a+6=8.

专项三弧长与扇形面积的计算

例1120例2A例3C

5乃

1.B2.B3.12兀2164.

4

专项四