2024年高考数学一轮复习第8章：圆锥曲线（附答案解析）

2024年广东省高考数学一轮复习第8章：圆锥曲线学生版

一、单项选择题

1.（2023・淄博模拟）双曲喏一x2=l的离心率为（

)

B遍c.毡

..—3

223

2.（2022•郑州模拟）已知椭圆C：，+（=13乂＞0）的离心率为|,以C的上、下顶点和一个

焦点为顶点的三角形的面积为48,则椭圆的长轴长为（）

A.5B.10C.15D.20

3.（2022・长春模拟）已知“为抛物线C：7=2抄齢＞0）上一点，点/到C的焦点的距离为7,

到x轴的距离为5,则p等于（）

A.3B.4C.5D.6

4.（2023•河北衡水中学检测）阿基米德（公元前287年一公元前212年）不仅是著名的物理学家，

也是著名的数学家，他利用'‘逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短

半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为坐，面积

为12m则椭圆C的方程为（）

D.3=l

C.

436

5.（2022•滁州模拟）已知椭圆^+迷=1的左、右焦点分别为后，点尸在椭圆上且在x轴

43

的下方，若线段的中点在以原点。为圆心，OF2为半径的圆上，则直线PF2的倾斜角为

（）

A.-B.-C.-D.—

6433

6.（2023・石家庄模拟）已知，点尸是抛物线C：f=4x上的动点，过点P向y轴作垂线，垂

足记为点M点M（3,4）,则|PM+|PN］的最小值是（）

A.2#-IC.3+1D.23+1

7.（2022•德州联考）已知双曲线C：三一三=1（。＞0,6＞0）的左、右焦点分别为*,Fi,曲线C

岸b-

上一点尸到X轴的距离为3c，且/尸尸2尸1=120。，则双曲线C的离心率为（）

A.3+1B.3+1

2

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C.A/5+1D片

8.（2022・连云港模拟）直线/：y=~x+\与抛物线C：y=以交于N,8两点，圆M过两点

8且与抛物线C的准线相切，则圆M的半径是（）

A.4B.10

C.4或10D.4或12

二、多项选择题

9.（2023・济南模拟）已知双曲线C：q一达=1（亦＞0）,则下列说法正确的是（）

2m

A.双曲线C的实轴长为2

B.双曲线C的焦点到渐近线的距离为加

C.若（2,0）是双曲线C的一个焦点，则机=2

D.若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则用=2

10.（2022•潍坊模拟）已知抛物线炉=多的焦点为尸，Wi-V），Mm,了2）是抛物线上两点,

则下列结论正确的是（）

A.点尸的坐标为18J

B.若直线过点F,则xm=一丄

16

C.若加=7而，则|MM的最小值为3

D.若|加鬥+|而=$则线段的中点「到》轴的距离为:

II.（2023•湖北四地联考）已知椭圆C：匕+£=15＞加0）的左、右焦点分别为尸2,长轴长

为4,点尸（S，1）在椭圆C外，点。在椭圆C上，贝U（）

A.椭圆C的离心率的取值范围是当

B.当椭圆C的离心率为，时，|0戶i|的取值范围是[2—3,2+S]

.A"一'"A

C.存在点。使得。円•。尸2=0

D.――I——的最小值为1

12^11。尸2|

12.（2022•济宁模拟）已知双曲线C：三一4=1（。＞0,6＞0）的左、右焦点分别为R,Fi,左、

a1bz

右顶点分别为4,A2,点尸是双曲线C上异于顶点的一点，贝W）

A.||Rh|一|以2||=2。

第2页共12页

B.若焦点尸2关于双曲线C的渐近线的对称点在C上，则C的离心率为小

C.若双曲线C为等轴双曲线，则直线的斜率与直线必2的斜率之积为1

D.若双曲线C为等轴双曲线，且/4以2=3/卩1也，则4以以2=工

10

三、填空题

13.（2022・烟台模拟）写岀一个满足以下三个条件的椭圆的方程.

①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为丄.

3

14.（2023•衡水中学模拟）若双曲线三一匕=1（心0,6>0）的离心率为2,则其两条渐近线所成

a-b2

的锐角为.

15.（2023•海东模拟）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事

实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：与N（x-a）2+（y—b）2相关的代数问

题可以转化为点Z（x,y）与点83,6）之间距离的几何问题.结合上述观点，可得方程、//+4X+8

+査一叙+8=43的解是.

16.（2022・临沂模拟）已知抛物线C：炉=2外伊>0）的焦点为尸，0（2,3）为C内的一点，M为C

上的任意一点，且依。|+財月的最小值为4,则f=；若直线/过点0,与抛物线C

交于48两点，且。为线段48的中点，则的面积为.

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2024年广东省高考数学一轮复习第8章：圆锥曲线教师版

一、单项选择题

1.（2023・淄博模拟）双曲喏一炉=1的离心率为（）

A重B如C.毡D.毡

2233

答案C

解析双曲线方一/=1的焦点在〉轴上，。=3，b=l,。=3+1=2,

所以离心率为£=2=毡.

a3

2.（2022•郑州模拟）已知椭圆C：5+捺=1（。乂>0）的离心率为，以C的上、下顶点和一个

焦点为顶点的三角形的面积为48,则椭圆的长轴长为（）

A.5B.10C.15D.20

答案D

解析根据题意，由椭圆的离心率为扌可得£=2

5a5

又丄X26Xc=48,即6c=48,且。2="+。2,

2

故可得a=10,b=8,c=6,则椭圆的长轴长2〃=20.

3.（2022・长春模拟）已知“为抛物线C：x2=2py/>0）上一点，点M到C的焦点的距离为7,

到x轴的距离为5,则p等于（）

A.3B.4C.5D.6

答案B

解析抛物线C：x2=200>O）的准线方程为了=一旨因为点”到C的焦点的距离为7,到

x轴的距离为5,所以彳=2,所以p=4.

4.（2023•河北衡水中学检测）阿基米德（公元前287年一公元前212年）不仅是著名的物理学家,

也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短

半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为止，面积

4

为12兀，则椭圆。的方程为（）

A,+圧=1B#+£=l

91634

第4页共12页

2

c.—x+D+=，

18-4^

答案A

解析由题意，设椭圆C的方程为4+5=1（心6>0）,

出D1

因为椭圆。的离心率为以，面积为12兀,

4

e=£=~，一」=亚

所以,aV424'

.12兀=。6兀,

解得层=16,備=9,

所以椭圆C的方程为3'+9=1.

169

5.（2022•滁州模拟）已知椭圆?+1=1的左、右焦点分别为冋，F2,点P在椭圆上且在x轴

的下方，若线段的中点在以原点。为圆心，为半径的圆上，则直线P&的倾斜角为

()

A.-B.-C.-D.—

6433

答案C

解析在椭圆：+；=1中，a=2,b=y[i,c=ya2—b2=1,

设线段尸入的中点为连接尸为，MFi,如图所示，则F1F2为圆。的一条直径，则FyMLPFi,

因为M为尸出的中点，则|P尸||=回/2|=2C=2,贝ij|尸尸2尸2。一厂冃|=2,

所以△尸乃乃为等边三角形，由图可知，直线的倾斜角为:.

6.（2023・石家庄模拟）已知，点P是抛物线C：V=4x上的动点，过点P向y轴作垂线，垂

足记为点N,点M（3,4）,则|尸〃|+1尸2的最小值是（）

A.2^-1B.^-lC.3+1D.2^+1

答案A

解析由拋物线C：V=4x知，焦点尸（1,0）,准线方程为x=-l,

第5页共12页

过点P作抛物线准线的垂线，垂足为。，如图,

由抛物线定义知『川+|戶根=1尸01—1+1尸財=1尸网+『河1一1，

当凡P,M三点共线时，IPM+FM取得最小值，则最小值为|〃冃-1=1（3—1>+（4—op—

1=2近一1.

7.（2022•德州联考）已知双曲线C：三一M=130,6>0）的左、右焦点分别为尸2,曲线C

a1hz

上一点尸到x轴的距离为3c,且/尸脱尸|=120。，则双曲线C的离心率为（）

A.S+1口t>.3+1

2

D旦

C.布+1

2

答案B

解析作PM-Lx轴于点A/,如图,

依题意1PMNPBFi=120。，

则NPF2M=6Q°,

由题意知尸2（C,0）,

由smZPF2M=^-=—,得|PB|=2c,

\PF2\2

由双曲线的定义知|尸产i|=2a+2c,而国产2|=2C,

在中，由余弦定理得

2

\PFx\=2卩+尸|尸2卩一2|尸尸2卜|FIF2|COSZPF2F1,

解得2a+2c=23以即a=（3-l）c,

又离心率e=£,于是有e=亜±L

a2

所以双曲线C的离心率为也±1.

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8.（2022・连云港模拟）直线/：y=—x+l与抛物线C：产=以交于/,8两点，圆/W过两点4,

8且与抛物线C的准线相切，则圆M的半径是（）

A.4B.10

C.4或10D.4或12

答案D

解析可设4（*1,yi）,8（x2,J2）,

y-=4x9

由「消去x,可得产+%-4=0,

y=-x+1

则歹1+歹2=-4,即yi+»2=-xi+1-为+1=-4,

则沏+&=6,可得45的中点坐标为尸（3,-2）,

易知，直线/过抛物线焦点（1,0）,

则/6|=x]+l+x2+l=8,

且48的垂直平分线方程为歹一（一2）=1X（x—3）,

即歹=x-5,

则可设圆M的圆心为M（〃，b）,半径为尸，

所以b=a—59

则圆的方程为（x—〃>+什-6）2=/，

即（工-〃）2+。-4+5）2=戸，

又圆心M。，6）到直线/.丿=一》+1的距离d=乜士仁U=R爷©,且满足图2+屋="，

勺2

则16+2（。-3）2=戶，①

又因为圆M与抛物线C的准线相切，所以|a+l|=r,

即（“+1）2=/，②

〃=a仿=1]

①②联立解得，’或，'

r=4b=12.

二、多项选择题

9.（2023•济南模拟）已知双曲线C：V—9=1（加>0）,则下列说法正确的是（）

2m

A.双曲线C的实轴长为2

B.双曲线C的焦点到渐近线的距离为加

C.若（2,0）是双曲线C的一个焦点，则机=2

D.若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则加=2

答案CD

解析由双曲线C：q一上=1,

2m

第7页共12页

得ci^2yb--\[ni9c=42+加,

则双曲线。的实轴长为2/，故A错误；

双曲线的渐近线方程为》=書0,即丿晟±/y=0,

取右焦点（42+〃?,0）和渐近线5工+/y=0,

则右焦点（旧7,0）到渐近线拓x+缶=0的距离为由啓画=拓，故B错误；

弋2+〃7

因为（2,0）是双曲线C的一个焦点，

所以c=、2+〃?=2,则〃?=2,故C正确；

因为渐近线歹=当曲和y=—当&垂直，

所以恒（一圖=—1,解得加=2,故D正确.

2

10.（2022・潍坊模拟）已知抛物线》2=今的焦点为F,M（xi，y\）,N（x2,㈤是抛物线上两点，

则下列结论正确的是（）

A.点尸的坐标为0）

B.若直线MV过点F,则xm=—-

16

c.若加=而，则|〃叫的最小值为:

D.若附尸|+|阳=糸则线段WN的中点P到X轴的距离为战

答案BCD

解析易知点尸的坐标为O'3,选项A错误；

根据抛物线的性质知，A/N过焦点尸时，

X\X2=-p1—..-,选项B正确；

16

若加=2标，则MN过点尸，则|MN|的最小值即抛物线通径的长，为22，即;，选项C正确;

抛物线/=｝的焦点为（85,

准线方程为片一:，

8

过点W,N,P分别作准线的垂线A/M',NN',PP',垂足分别为M',N',P（图略）,

所以|四川'|=|四用，\NN'|=|2VF|.

第8页共12页

所以|+|AW，|=財風+|*|=七

所以线段1，尸出卡幽」v，

所以线段脑V的中点尸到X轴的距离为『尸’|-：=3—：=本选项D正确.

11.（2023•湖北四地联考）已知椭圆C：5+三=13*0）的左、右焦点分别为Fi，F2,长轴长

a-b-

为4,点尸（価，1）在椭圆C外，点0在椭圆C上，则（）

A.椭圆C的离心率的取值范围是[°4]

B.当椭圆C的离心率为，时，|。冋的取值范围是[2—3,2+S]

C.存在点。使得0万•。芭=0

D.——-1—的最小值为1

邮I\QF2\

答案BCD

解析由题意得。=2,

又点P（/,1）在椭圆C外，

则2+丄＞1,解得*啦，

4b2

所以椭圆C的离心率e=£=亚三＞也，

a22

11

即椭圆C的离心率的取值范围是伸12'J,故A不正确;

当e=退时，c=朮,b—^a2—c2—1,

所以|。乃|的取值范围是[a-c,a+c],

即[2—3,2+S],故B正确；

设椭圆的上顶点为40,b）,Fi（-c,0）,尸2（c,0）,

由于AF\,AF2=h2-c2=2h2—a2<0,

所以存在点。使得话•话=0,故C正确；

（1。冋+1。尸2|）⑥]+函）=2+聲+需22+2=4,

I。尸|1I。尸2|

当且仅当|0Q|=|0B|=2时，等号成立，

又|。戶||+|。乃|=4,

第9页共12页

所以亠+亠21,故D正确.

\QFy\\QH

12.（2022•济宁模拟）已知双曲线C：,一£=15>0,6>0）的左、右焦点分别为尸I,尸2,左、

a1bz

右顶点分别为4,A2,点尸是双曲线C上异于顶点的一点，则（）

A.||弘1|一|以2||=2。

B.若焦点尸2关于双曲线C的渐近线的对称点在C上，则C的离心率为贴

C.若双曲线。为等轴双曲线，则直线以|的斜率与直线以2的斜率之积为1

D.若双曲线C为等轴双曲线，且/〃以2=3/RM2，则4％生=工

10

答案BCD

解析对于A,在△R1M2中，根据三角形两边之差小于第三边,

得11Hli-幽211Vl44|=2a,故A错误；

对于B,焦点乃（，0）,渐近线不妨取了=々，即bx—佇=0,

a

设出关于双曲线C的渐近线的对称点为（"］，"）,

口一义纟=—1,

m-ca

则

6比—*=0,

22

解得.2壊

n=----,

c

（cr—b22O£|

即尸2关于双曲线C的渐近线的对称点为

由题意知该点在双曲线上，

出㈠一附（2那=

22

ac62c2-’

将/=歩+加代入，

化简整理得〃一3a2b2—4/=0,即分=4层，

所以02=9=邛=1+号5,

理出az

故e=3,故B正确；

对于C,双曲线。为等轴双曲线，

即C：x2—y2=a2（a>0）,

设P（x。，次）SoWO）,

则xi—yi=a2,则xi-a2=yi,

第10页共12页

故kpA-kpA=丹•亠=丿1=1，故C正确；

PA,2

-x0+axo-axi-a

对于D,双曲线C为等轴双曲线，

即C:x2—y2=a2（a>0）,

且/小孙2=3/口/2,

设/刃"2=仇ZA}PA2=30,

则/*=4仇

根据C的结论kp“kpA,=1,

即有tan夕tan40—1,

在三角形中，只有两角互余时，它们的正切值才互为倒数，

故6»+4，=匹，。=工，故D正确.

210

三、填空题

13.（2022・烟台模拟）写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程.

①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为去

答案:+（=1（答案不唯一）

解析只要椭圆方程形如—十足=1（机>0）或上+上=1（加>0）即可.

9m8/n9m8/n

14.（2023・衡水中学模拟）若双曲线三一三=1（心0,6>0）的离心率为2,则其两条渐近线所成

a1b1

的锐角为.

答案:

解析V^=2,.-.4=4,故邛=4,

a出a1

a

•••两条渐近线方程为y=±Sx,

.•.两条渐近线所成的锐角为四.

3

15.（2023・海东模拟）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事

实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：与N（x-“）2+（y-b）2相关的代数问

题可以转化为点/（x,力与点83,6）之间距离的几何问题.结合上述观点，可得方程、9+以+8

+“於一4x+8=4S的解是.

答案x—^\[b