广东省2021年春季高考数学模拟试卷15（含解析）

2021年广东春季高考数学模拟试卷（15）

注：本卷共22小题，满分150分。

一、单选题（本大题共15小题，每小题6分，满分90分）

1.已知集合/={xXT>。},B={0,1,2,3},则（CR/）C8=（）

A.{2,3}B.{0,1}C.D.（一8,—1）D（l,+oo）

【答案】B

【解析】

【分析】

由集合Z的描述有“={》1x<-1或X>1},应用集合的交补运算求（CR〃）n5即可.

【详解】

由4={x|-1>o}={x|x<T或x〉1},

.-.C^={x|-l<x<l},由8={0,1,2,3},

.•.（7）18={0,1}.

故选：B

【点睛】

本题考查了集合的基本运算，根据已知集合利用交补运算求集合，属于简单题.

2.随机抛掷一枚质地均匀的骰子，则其向上一面的点数为偶数的概率为（）

1111

A.-B.-C.-D.一

6432

【答案】D

【解析】

【分析】

利用列举法可得基本事件的总数和所求事件包含的基本事件数，再根据古典概型的概率公式可得结

果.

【详解】

随机抛掷一枚骰子，向上点数有1,2,3,4,5,6共6种，为偶数的为2,4,6共3种情况，则概

…31

率为一=一.

62

故选：D.

【点睛】

本题考查了利用列举法求古典概型的概率，属于基础题.

3.直线x+広—1=0的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】D

【解析】

【分析】

求出斜率，根据斜率与倾斜角关系，即可求解.

【详解】

x+>/3y-1=0化为y=-x+，

直线的斜率为-立，倾斜角为150°.

3

故选:D.

【点睛】

本题考查直线方程一般式化为斜截式，求直线的斜率、倾斜角，属于基础题.

4.已知数列｛%｝中，q=2,an+x=an+2,则4=（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】C

【解析】

【分析】

根据等差数列的定义可知，数列｛/｝是等差数列，求出该数列的公差，利用等差数列的通项公式可

求出。6的值.

【详解】

Van+l=a„+2,:.a^-an=2,所以，数列｛%｝是以2为首项，以2为公差的等差数列，

因此，&=6+5x2=12.

故选：C.

【点睛】

本题考查等差数列基本量的计算，涉及等差数列定义的应用，考查计算能力，属于基础题.

5.如果圆G(xa)2+(y3)2=5的一条切线的方程为尸2x,那么a的值为()

A.4或1B.1或4C.1或4D.1或4

【答案】B

【解析】

【分析】

根据圆心到直线的距离等于半径可求得答案.

【详解】

因为圆G(xa>+(y3)2=5的圆心为C(a,3),半径厂=石，

\l(i-3|I—

所以圆心为C(a，3)到直线尸2x的距离为壮+(=、5,解得。=1或4,

故选：B.

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.

6.已知x,ye（0,+8）,x+y=l,则9的最大值为（）

1八11

A.1B.—C.—D.一

234

【答案】D

【解析】

【分析】

直接使用基本不等式，可以求出中的最大值.

【详解】

因为x,ye（0,+oo）,x+y-\,所以有1=x+y2n肛<（；））=；,当且仅当x=y=—

时取等号，故本题选D.

【点睛】

本题考查了基本不等式的应用，掌握公式的特征是解题的关键.

y—1W0,

7.不等式组｛八表示的平面区域是（）

x>0

【答案】D

【解析】

【分析】

利用不等式表示的几何意义可得正确的选项.

【详解】

y-140表示直线y=l及其下方，x»0表示V轴和V的右侧，

故选：D.

【点睛】

本题考查一元一次不等式组的几何意义，考查学生数形结合的核心素养，本题属于基础题.

8.在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：.......去掉一个最高分和一个最低

分后，所剩数据的平均值和方差分别为()

，，，，

【答案】D

【解析】

【分析】

去掉一个最高分和一个最低分后，利用平均值和方差的求解公式可求所剩数据的平均值和方差.

【详解】

去掉一个最高分和一个最低分后，剩余分数如下：、、、、，

平均值为:(9.4+9.4+9.6+9.4+9.7)=9.5；

方差峙(加9.»+(9.…》+(9.6-9.»+(94-9.»+(9.7-9.5月=。.。16；

故选：D.

【点睛】

本题主要考查平均数和方差的求解，明确求解公式是解题关键，侧重考查数据分析的核心素养.

9.sin350cos250+cos35°sin25°的值等于()

A•丄1R5•LL(z、•-6----\n).-----

4222

【答案】D

【解析】

【分析】

利用和角的正弦公式化简求值得解.

【详解】

由题得sin35。cos25。+cos35。sin25°=sin(350+25)=sin60'=

故选：D

【点睛】

本题主要考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

10.下列函数为偶函数的是()

A.y=sinxB.y=cosxC.y—tanxD.y-sin2x

【答案】B

【解析】

【分析】

根据偶函数的定义逐个选项判断即可.

【详解】

对于/,函数定义域为R,/(x)=y=sinx,/(-x)=sin(-x)=-sinx=-/(x),即、=$小工

为奇函数，故4错误；

对于8,函数定义域为火，/(x)=y=cosx,/(—x)=cos(-x)=cosx=/(x),即3=以九%为

偶函数，故6正确;

对于C,函数定义域为:x+左乃，左eZ,,/(x)=y=tanx,

/(-x)=tan(-%)=-tanx=-/(x),即歹=tanx为奇函数，故c错误；

对于〃，函数定义域为7?,/(x)=y=sin2x,/(-x)=sin(-2x)=-sin2x=-/(x),即

y=sin2x为奇函数，故。错误；

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了利用定义判断函数的奇偶性，属于基础题.

11.如图，菱形力88的对角线4C和8。相交于点O,则下列结论中错误的是()

A.ACLBDB.卜。冃啊

C.|^5|=|55|D.TBUCD

【答案】C

【解析】

【分析】

利用菱形的性质和平面向量的定义依次判断选项即可得到答案.

【详解】

因为四边形/8C0为菱形，对角线NC和3。相交于点O,

所以NC丄8£>,.。卜卜耳，ABIICD>故A,B,D正确.

而卩万卜|丽|不一定相等，故C错误.

故选：C

【点睛】

本题主要考查平面向量的定义，属于简单题.

/、[1-x,x<0/、/、

12.已知函数=,若=/⑴，则实数。的值为()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】

根据等式/(-1)=/(1)可得出关于实数a的等式，由此可求得实数。的值.

【详解】

=即4=2.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用分段函数值求参数，考查计算能力，属于基础题.

13.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几

何体是

A.棱柱B.棱台

C.棱柱与棱锥的组合体D.不能确定

【答案】A

【解析】

【分析】

运用图形判断，结合棱柱的概念.

【详解】

如图，•.•平面加£8〃平面ZWCC,.•.有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四

边形(水面与两平行平面的交线)因此呈棱柱形状.

故选A

【点睛】

本题考查了空间几何体长方体的性质及概念，考查空间想象能力，属于中档题.

14.若圆C与圆(x+2)2+(y-l)2=1关于原点对称，则圆C的标准方程为()

A.(x-2)2+(y+1)~=1B.(x-2)~+(y-1)-=1

C.(X—2)2+(N+2)2=1D.(x+l)2+(y-2)2=l

【答案】A

【解析】

【分析】

根据关于原点对称点的坐标性质，结合圆的对称性质、圆的标准方程进行求解即可

【详解】

圆(x+2)2+(y-l)2=1的圆心为(—2,1),半径为1.

点(一2,1)关于原点的对称点为C(2,-1),

所以圆C的方程为(x—2)2+。+1)2=1.

故选：A

【点睛】

本题考查了圆关于点称方程的求法，考查了关于原点对称点的坐标特点，属于基础题.

15.为了研究某班学生的数学成绩x(分)和物理成绩V(分)的关系，从该班随机抽取10名学生,

根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，=%+&.已

1010

知Zw=750,£M=800,5=1.2,该班某学生的物理成绩为86,据此估计其数学成绩约为（）

/=1/=1

A.81B.80C.93D.94

【答案】B

【解析】

【分析】

计算嚏=75，7=80.故/=｝一标=一10,代入数据计算得到答案.

【详解】

1010

-'毛”，-自乂on）故&=1一版=一10,即夕=L2x—10,

x=——=75y=——=80丿

1010

当y=86时，86=1.2x-10,解得x=80.

故选：B.

【点睛】

本题考查了线性回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.

二、填空题

16.已知|£上5,|加=4，£与5的夹角。=60°，则73=_____.

【答案】10

【解析】

【分析】

由a%=|aI•仲cos。计算出答案即可

【详解】

因为我1=5,彷|=4,£与B的夹角6=60°

所以a3=|a|卡卜cos6=5x4xcos60°=10

故答案为：10

【点睛】

本题考查的是向量数量积的直接计算，属于基础题.

2

17.计算：1。8I4+(-8"=.

2

【答案】2

【解析】

【分析】

根据指数和对数的运算性质，直接求值即可得解.

【详解】

2

log,4+(-8户=-2+4=2,

2

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了指对数的运算，考查了指数和对数的运算性质，属于基础题.

18.设数列｛叫是首项为1，公比为-2的等比数列,则卬+同+/+同一

【答案】15

【解析】

试题分析：因为数列｛%｝是首项为1,公比为-2的等比数列，所以=(—2)”T,

同+同+同+同=1+2+4+8=15.

考点：等比数列通项公式.

【方法点晴】本题主要考查了等比数列的定义和通项公式的应用，属于基础题，解答时先根据给出

的首项和公比求出｛q,｝的通项公式.求数列各项绝对值的和解答的关键是判断出各项的符号，本题

中公比为-2,显然，显然第一项、第三项为正数，第二项、第四项项为负数，求和时就都变成了正

数，求和就容易了.

19.分形几何号称“大自然的几何”，是研究和处理自然与工程中不规则图形的强有力的理论工具,

其应用已涉及自然科学、社会科学、美学等众多领域.图1展示了“科赫雪花”的分形过程.

现在向图2的“科赫雪花”中随机撒1000粒豆子（豆子的大小忽略不计），有340粒豆子落在内部

的黑色正六边形中，已知正六边形的面积约为L7cm2,根据你所学的概率统计知识，估计图2中“科

赫雪花”的面积为cm，

【答案】5

【解析】

【分析】

根据几何概型的意义，计算即可得出结果.

【详解】

正六边形的面积约为1.7cm?，设“科赫雪花”的面积为Scm2

•••向图2的“科赫雪花”中随机撒1000粒豆子，有340粒豆子落在内部的黑色正六边形中，

二由几何概型的概率公式进行估计得：

故答案为：5

【点睛】

本题考查模拟方法估计概率，考查几何概型的概率计算，属于基础题.

三、解答题

20.A/BC的内角4，B,C的对边分别为b,c.已知a=@，b=2,A=60°.

（1）求sin8的值;

（2）求c的值.

【答案】（1）sin5=—；（2）c=3.

7

【解析】

【分析】

由正弦定理求出sinB,由余弦定理列出关于。的方程，然后求出c.

【详解】

解：（1）因为近，b=2,J=60°.

由正弦定理/匚=—"，可得=二所以sin8=叵；

sinJsin6sin600sin57

（2）由余弦定理/=〃+,2—2bccos/，V72=22+C2-2X2CCOS60°-

c-3,c=—1（舍），所以c=3.

【点睛】

本题考查正弦定理和余弦定理，在已知两边和一边对角时可用余弦定理列方程求出第三边.

21.如图所示，三棱锥必比'中，为丄平面/阳ABLAC,且£,尸分别为8aPC的中点.

（1）求证：舒//平面月仍；

（2）已知以=6,求三棱锥见£C的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）4.

【解析】

【分析】

（1）连接£厂有中位线EFHPB,结合EF,PB与面PAB的关系，由线面平行的判定即可证EF//

面/MB；（2）过/作FG//尸力交ZC于G易知fG是三棱锥物用的高，结合已知有S“EC=9学

即可求三棱锥用尾的体积.

【详解】

（1）连接£尸，在△P8C中EF为中位线，故EFi/PB,

:EF6面PAB，PBu面P4B

：.EF//面PAB；

（2）过厂作EG//P4交ZC于G,如下图示：

•.•序丄平面ABC,

R7丄平面/8G即EG是三棱锥的皮的高，又尸为先的中点，

P4

由必=6,则/G=——=3,

2

S4x4

又4分心4,£'为6。的中点且48丄力乙知：S“£c=谓”=’-=4，

三棱锥科比的体积V=^FG-S.AKC=4.

【点睛】

本题考查了应用线面平行的判定证明线面平行，应用三棱锥体积公式求体积，属于简单题.

22.已知等差数列｛4｝的前〃项和S,满足工=0，55=-5.

（1）求｛6,｝的通项公式；

*■

（2）bn=一。“+2求数歹”7^—|的前〃项和7；.

IM+J

n

【答案】（1）4=2-〃；（2）T„=——.