中考数学复习：二次函数与几何图形综合题

专题(九)二次函数与几何图形综合题

1.(2021•陕西)已知抛物线y=-*2+2x+8与x轴交于点A,B(点4在点8的左侧)，

与y轴交于点C.

(1)求点5,C的坐标；

(2)设点C与点C关于该抛物线的对称轴对称.在j轴上是否存在点P,使

与APOB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理

由.

解：(l)Vj=-x2+2x+8,令x=0,y=8,，C(0,8),令y=0,即一嚙+2*+8=0,

解得*1=-2,刈=4,：.B(4,0)

PCPO

(2)存在点P,设P(0,y),'：CC'//OB,且PC与尸。是对应边，=而，即

也产=与，解得yi=16,J2=y，二尸(0,16)或尸(0,y)

2.(2021•泰安)二次函数了="2+法+4(0#0)的图象经过点火一4,0),B(l,0),与y

轴交于点C,点尸为第二象限内抛物线上一点，连接8P,AC,交于点Q,过点尸作尸。丄x

轴于点D.

(1)求二次函数的表达式；

(2)连接8C,当NOP8=2/BCO时，求直线8P的表达式；

(3)请判断：债是否有最大值，如有，请求出有最大值时点P的坐标；如没有，请说

明理由.

解：(1):•二次函数》=。*2+心+43£0)的图象经过点A(-4,0),8(1,0),:.

16〃-4)+4=0,(a=—l

a+b+4=(),解得]/>=一39,

二该二次函数的表达式为y=-x2-3x+4

(2)如图，设8尸与y轴交于点E,,.,PD〃y轴，...NOP8=NOE8,丫/。08=2NBCO,

：.ZOEB=2ZBCO,:.NECB=NEBC,：.BE=CE,设OE=a,贝！JCE=4—a,：.BE=4

-a,在RtZ\80E中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2,.,.(4-a)2=a2+l2,解得”=今，

o

；15

_15%=卞

=~89

：.E(0,v)，设BE所在直线表达式为尸厶+e(20),解得，

O_15

、A+e=0,=~89

直线8P的表达式为产一竽x+y

⑶■有最大值.设PO与4c交于点N,过点8作y轴的平行线与AC相交于点M,

〃—4=〃%z+〃=0,解得］m=l,

设直线AC表达式为》="a+",VA(-4,0),C(0,4),:.

〃=4,

二直线4c表达式为y=x+4,点的坐标为(1,5),：.BM=5,•:BM//PN,:.4PNQ

pgPNPO

sABMQ,：・°B=~BM9设P(0o，—a。?—3ao+4)(-4Va()V0),则N(〃o,〃o+4),/.

—Go2—3。。+4—(〃o+4)—。(/―4。0—(ao+2)2+4，，当a«=-2时，卷有

55

最大值，此时，点尸的坐标为(-2,6)

3.(2021•连云港)如图，抛物线(6/+9)与x轴交于点A,&与y

轴交于点&已知于3,0).

(1)求m的值和直线BC对应的函数表达式；

(2)尸为抛物线上一点，若SWKC=SAABC，请直接写出点尸的坐标

解：(1)将8(3,0)代入,=加炉+(“产+3)工一(6机+9),化简，得〃产+机=0,则机=0(舍

去)或m=-l,:・m=-l,Aj=-x2+4x—3./.C(0,-3),设直线BC的函数表达式为y

(O-=33A»+Z>,Hk=l,

=kx+b,直线经过点5(3,0),C(0,-3),,、直线3c的

b=-3,

函数表达式为y=x-3

(2)如图，过点A作APi〃3C,设直线AB交y轴于点G,将直线3C向下平移GC个

单位，得到直线P2P3.由⑴得直线〃C的表达式为y=x-3,A(l,0),・•・直线AG的表达式

x=x=2,

为y=x-L联立，解得，=0或,，Pi(2,1)或(1,0),由直线

y=l,

AG的表达式可得G(0,—1),，GC=2,，。"二？，.•.直线P2P3的表达式为：y=x-5,联

“3-亚「=3+河

L2'2，3一遮

解得4

立或《,l・・尸2(~彳—

-7-^17-7+V172

1尸2U=2'

一二回),尸3(耳亘，二中亘),综上可得，符合题意的点尸的坐标为：(2,1),(1,

3一遮-7-53+回一7+遮

0),(2，2)，(2，2)

(3)如图，取点。使NACQ=45°,作直线CQ,过点A作A。丄C。于点。，过点。作

OF丄x轴于点尸，过点C作CE丄O产于点E,则△AC。是等腰直角三角形，...AZ)=CD,

A△CDE^ADAF(AAS),：.AF=DE,CE=OF.设OE=A/=a,由OA=L贝!ICE=。尸

=a+L由OC=3,则OF=3-a,，a+l=3—a,解得a=l.，0(2,-2),又C(0,—3),

，直线CD对应的表达式为x—3,设Q(〃，；n-3),代入y=—*2+4*—3,n—3

=—"2+4”-3,整理得“2"=0.又"#0,则"=1，二QA，—4)

4.(2021•东营)如图，抛物线y=—；J^+AX+C与x轴交于A,5两点，与y轴交于点

C,直线y=—;x+2过B,C两点，连接AC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求证：△AOCs/viCS；

(3)点M(3,2)是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线8c上方的一点，过点D

作OE丄x轴交直线5C于点E,点尸为抛物线对称轴上一动点，当线段OE的长度最大时，

求PD+PM的最小值.

解：(1),.,直线y=—；x+2过8,C两点，当x=0时，y=2,即C(0,2),当y=0时,

x=4,即B(4,0),把8(4,0),C(0,2)分别代入》=一；x2+Z>x+c,得

—8+4》+c=0,

C=2,

解得卜=亍

[c=2,

.•.抛物线的解析式为〉=一；ix2+^1x+2

1313

(2)，.•抛物线y=—5必+]x+2与x轴交于点A,，-5/+,x+2=0,解得xi=-1,

M=4,.•.点4的坐标为(一1,0),：.AO=1,48=5,在RtZXAOC中，AO=L0C=2,

：,AC=y[5，，斃=害，•.嘰=坐，，斃=晋，又,•,N04C=NC4B,

AC-x/53A"3ACAn

△AOCsAACB

(3)设点D的坐标为(x,—1x2+|x+2),则点E的坐标为(x,—；#+2),・,./)£=一；

x2+1x+2—(一；x+2)=—；^2+2x=—1(x—2)2+2,V-1<0,・••当x=2时，线段

OE的长度最大，此时，点。的坐标为(2,3),VC(0,2),M(3,2),.,.点C和点M关于

对称轴对称，连接C。交对称轴于点尸，此时尸O+PM最小，连接CM交直线OE于点F,

则/。以7=90°,点尸的坐标为(2,2),...CD=yCF2+OF2=下,,：PD+PM=PC+PD

=CD,.♦.PO+PM的最小值为小

5.(2021•眉山)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线了=”+/+4(存0)经过点

A(—2,0)和点8(4,0).

(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；

(2)点尸为该抛物线上一点(不与点C重合)，直线CP将△A5C的面积分成2：1两部分,

求点尸的坐标；

(3)点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿)，轴移动，运动时间为f秒，当N0C4

=N0C3-N0MA时，求f的值.

解：(1)设抛物线的表达式为y=a(x+2)(x-4)=a*2-2ax—8a,即-8a=4,解得”=一

|,故抛物线的表达式为产+*+4①

(2)由点A,〃的坐标知，OB=2OA,故CO将aABC的面积分成2：1两部分，此时,

点尸不在抛物线上；如图①，当AB=2时，C”将△A5C将△48C的面积分成2：1

两部分，即点”的坐标为(2,0),则C”和抛物线的交点即为点尸，由点C,”的坐标得，

直线CH的表达式为y=-2x+4②，联立①②并解得一：或一:(舍去)，故点尸的

j=-8[y=4

坐标为(6,-8)

(3)在点OB上取点£(2,0),则NACO=NOCE,・・・NOCA=NO。区一NOMA,故NOM4

=NECB,过点E作EH丄3c于点H,在△5CE中，由O3=OC知，NO3C=45°,则

EH=^EB=*(4-2)=啦=BH,由点3,。的坐标知，BC=4y/2,贝!J。"=5。一3"

=3y[29则tanNECB==?^rr=tanZ.OMA,则tanA.OMA=7)T7=T,

l✓，丄y\l厶CX/KfVZXFJIJ

则QW=6,故CM=OM±OC=6±4=2或10,贝ljf=2或10

6.(2021•玉林)已知抛物线：》二“-^^一面团::^与了轴交点为厶，8(点A在点8的

左侧)，顶点为D

(1)求点A,8的坐标及抛物线的对称轴；

(2)若直线y=—；x与抛物线交于点M,N,且M,N关于原点对称，求抛物线的解析

式；

(3)如图，将(2)中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点O'在直线/：y=太上，

设直线/与y轴的交点为O',原抛物线上的点尸平移后的对应点为点。，若O'P=O'Q,

求点P,。的坐标.

解：(1)令y=0,则有ax?—3or—4a=0,即r2—3x—4=0,解得*i=—1,必=4,:.

—1+43

A(-l,0),5(4,0),对称轴为直线x=―2—

y=ax2—3ax—4a,

3即荘

{产一步，

3

-

323〃一主

一2又'・•点M,N关于原点对称，工一--=0,*.a=

1)A13

---

2尸22

(3)Vj=1》2一5x-2=1(X一,产一专,由题意得向上平移后的抛物线解析式为y=

///NO

137

-卩

-十-・・・抛物线向上平移了4个单位长度，设尸(X,\"2一|x—2),则Q(\x2

22/8Xf

3713137

-Tx+2),由题意得O'(0，G),'：O'P=O'Q,：.zX2-Zx-2+zx2-zX+2=2XQ,

LoLLLLO

解得X1=-g,X2=g,若X=-3，则y=；X2~2X~2=2X(_3)2_2X(—2)—2=

91Q123713|737

-X，工PL3，­x)，2(—Q，『)，若x=Q，贝廿=Qx2—zX—2=7X(r)2—~XT

—2=—|,：.P^,—1),Q(W,y),综上,P(—1,—|),Q(—j,y)或P(1,

)，0(2-)

7.(2021•南充)如图，已知抛物线＞=&+h+4(“#0)与x轴交于点4(1,0)和8,与y

轴交于点C,对称轴为直线x=1.

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图①，若点尸是线段3c上的一个动点(不与点B,C重合)，过点尸作y轴的平行

线交抛物线于点Q,连接0Q,当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理

由；

(3)如图②，在⑵的条件下，。是0C的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E,且NOQE

=2NO〃Q.在y轴上是否存在点尸，得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若

不存在，请说明理由.

图①图②

。+5+4=0,_

解：(1)由题意得：＜一85解得，.故抛物线的表达式为)=d一5%+4①

—5,

⑵对于y=/—5X+4,令y=p—5X+4=0,解得x=l或4,，点B的坐标为(4,0),

|/=4,

令E则尸4,.•.点Q。，4),设直线BC的表达式为尸身，，则…°,解得

\k=-