2023年全国高中数学联赛山东省预赛试题（含答案）

2023全国数学联赛山东省预赛试题

一、填空题（每小题8分，共80分）

1x+2

1>已知A={x\—<3V_I<3,XGZ},B={x\------<0,xGN}，则集合C={m\m=xyxeA,yeB}的元素

81x-39

个数是.

2、已知：—sinj百（ae（0,/））,则0是______.

tana2

3、已知关于x的方程d+ai+bx+cnO的三个非零实数根成等比数列，则的值是.

4、正方体Z8C0-481Goi的底面461GA内有一个动点〃，且6M〃平面ZOC，则tan/A"。的最大

值是.

,,2

5、数列{。“}中，q=1,”"+1=1+—（〃=1,2,…），那么%=.

an

/-.八mi〃Jx2+y2+Jy2+4z2+Vz2+16x2,,।,士口

6、己1A知x,y,z>Q,则/=、——~~巨----------------的最小值是________.

9x+3y+5z

7、设A46c的内心为/,而且满足2万+5范+6元=6,则cos/5的值是.

8、已知双曲线H：42一/=1上第一象限内一点”，过加的作H的切线/，与双曲线H切于M,交H

的渐近线于P,。两点（P在第一象限），R与。在同一渐近线上.则丽•丽的最小值为.

9、小张参加一次十道选择题的测试，做对一道得一分，做错一道扣一分，不做得零分.他的目标是至

少得7分，7分及格.小张现在确定他前六道题的答案是正确的，而剩下的每道题做对的概率为工，小

2

张应该做多少道题，及格的概率最大.

10、设实数X/使得x-y,X2-/,x3—均为素数，则x—y的值是.

二、解答题（共70分）

11、（本题15分）

已知：。是A48C的外心，分别是边上的点.线段。瓦8Z）,CE的中点分别为

尸,。,火.0〃_1。£垂足为〃.求证：P,Q,R,H四点共圆.

12、（本题15分）

在区间（22",2加）中任取22M+1个奇数.求证：在所取出的数中，必有两个数，其中一个数的平方不能

被另一个数整除.

13、（本题20分）

已知：a,为正实数.证明：（a?+2）（/+2）（c?+2）N9（ab+bc+ca）.

14、（本题20分）

10x10的表格上填入1到100,第"亍第/列填入10（i-1）+）.每次操作如下：取一个格子，或者将此格

数字减少2,将两个相对的邻格同时加1；或者将此格数字增加2,将两个相对的邻格同时减1.

证明：如果经过一些步骤后表格中又得到1到100的数字，则它们是按原来的顺序排列的.

2023全国数学联赛山东省预赛试题(答案)

一、填空题(每小题8分，共80分)

Ix_L2

1、已知N={x[—<3X-1<3,xeZ},5={x|----<0,xeN},则集合C={m|〃z=孙,xee8}的元素

81x-3

个数是______

答案：7

解析：由已知得4={-2,-1,0,1,2},5={0,1,2},所以C={-4,一2,—1,01,2,4}

2、已知：--4si""=6(ae(0,—)),则a是______

tana2

答案.—

-18

解析：由已知得2sin2a=2sin(工-a),所以易得£

3、已知关于x的方程/+〃/+云+。=0的三个非零实数根成等比数列，则/c—〃的值是

答案：0

解析：设这三个根是d,四，弱2,则由韦达定理得

d+dq+dcj~=-a

<d2q-\-d~q2+储/=°

//=_c

整理得(—2)3=_c,所以九_/=()

a

4、正方体Z8CZ>-4与4。的底面4月GA内有一个动点A/,且平面贝ljtan/。地的最大

值是________

答案：V2

解析：由已知点”在线段4G上运动，所以=后，且当点M是4G中点时等号成立-

D、M

2

5、数列{*}中，。1=1,。〃+]=1+—5=1,2,…)，那么。〃=

*

答案：。〃=2+旨口(〃=1,2,…)

21

解析：由递推关系得。,什]+1=•—(%+1),。〃+]-2=---{an—2)

%an

所以幺豆土1=一2.&11,所以主比=(_2)"L幺±1=(_2)"

。〃+1—2〃〃-2%-2q-2

所以%=2+(〃=1,2，…)

(一6-1

,-t心八r,Jx2+y2+Jy2+4z2+vz2+16x23白1/七口

6、已知xJ/>0,则/——-一理----------------的最小值是________

9x+3y+5z

答案：—

5

解析：由柯西不等式得

\x2+「Jl+42x+2y,y]y2+4z2Jl+42y+4z,4z?+16、Jl+4>z+8x

所以_++4z"+Jz，+16/

9x4-3^4-52

〉x+2y+y+4z+z+8x_V5

(9x+3y+5z)V^5

且当y=2=2x时取等号

7、设A43C的内心为/,而且满足2万+5范+6元=6,则cos/8的值是

答案：-

8

解析：设A48c的三边长为a,b,c,由熟悉的结论：alA+blB+cIC=Q

得a:b:c=2:5:6,所以cosZ.B=-

8

8、已知双曲线H：/一/=［上第一象限内一点〃，过M的作H的切线/，与双曲线H切于M，交H

的渐近线于P,。两点（P在第一象限），火与。在同一渐近线上.则而•题的最小值为.

答案：

2

解析:设点MG，%）,尸（再,必）,。（”2），则/：x（）x-%y-l=0』-%一/

々一』y0

%：-yf=0

且博-我2=0，

■+》2%-乂_Xo

互■』•一一=1,注意到W—玉比

x2-xty+为

2

再+x2X,+x2

2Jo..■^士厂二区即乂为PQ的中点.

凹+%/凹+为/

22

~RPRQ^'RM^--\'PQ^>-PO2--PQ2=-

一444

考虑到M在第一象限，故°。242

RPRQ=-^OQ2>--

9、小张参加一次十道选择题的测试，做对一道得一分，做错一道扣一分，不做得零分.他的目标是至

少得7分，7分及格.小张现在确定他前六道题的答案是正确的，而剩下的每道题做对的概率为工，小

2

张应该做多少道题，及格的概率最大

答案：7或9

解析：做对6道题.再做一道题及格的概率为片=p,再做两道题及格的概率为g=p。再做三道题及格

的概率为£=/+<7》(1一「)=。2(3-2「),再做四道题及格的概率为与=p、C；p3(l-p)=p3(4-3p).显然

P}>P2,P3>P4.因此，只需比较勺与尸3的大小.

当即p13-2p)>p时，解得;<p<l.

因此，当;<p<l时，/></>,此时回答九道题及格的概率最大；当0<p<g时，P、>P、,

此时回答七道题及格的概率最大；当p时，Pt=P},此时回答七道题或回答九道题及格的概率最大

10、设实数X/使得x-y,X2-/,x3—均为素数，则x—y的值是

答案：3

解析：设x—y=p,X2-y2,X3-y3-r,期中都是素数，

2

x+y=-x---/=—q

x-yP

所以x='(幺+p),y=.(2-p)代入=r整理得

2p2p

3g2=p(4r—/)

故p|3二,所以p=3或p=q,经检验只能p=3

二、解答题(共70分)

11、(本题15分)

己知：。是A48C的外心，分别是边上的点.线段。瓦的中点分别为

P,Q,R.OHX.DE垂足为H.

求证：尸,。,凡“四点共圆

证明：设A4OE的三个内角分别为4Z),E,A46C的外接圆半径为我

由QP〃/8,7?尸〃/C知

sin/QP/Z=sinE,sinZ.QPR=sin,sinZ.HPR-sinD

„BECD

又PQ=——,PR=—,

22

故P,R,〃四点共圆=P。sinZRPH-PRsinZQPH=PHsinNQPR

=--sinD----sinE-PHsinZ

22

OBEAE-CDAD=2PHDE

o(R1-DE2)-{R2-OD2)=(DH-EH\(DH+EH)

oOD2-OE2=DH2-EH2

oOH1DE得证

12、(本题15分)

在区间⑵"]")中任取22^+1个奇数.求证：在所取出的数中，必有两个数，其中一个数的平方不能

被另一个数整除.

证明易知在所选取的数中存在Q,b,它们被22n除的余数相等。下证它们即为所求。

假设不然,有b|Q?,则bI侦—2ab+/)=(a—b)2。设a=p•2?”+r,b=q•22n+r

则有

&I(a-&)2=(p-q)2-24n

由于6为奇数，所以

b\(p~q)2

由此得知\p-q\>2n和max{a,6}=max{p,q}-22n+r>23n»由题意知这是不可能的。

13、(本题20分)

已知：a,b,c为正实数.证明：(/+2)(6?+2)(<?+2)N9(“b+bc+ca)

证明：由抽屉原理，a,b,c中必有两个数同时不大于1