5.3.2 命题、定理、证明

命题、定理、证明一、单选题1．下列说法正确的是（

）A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题2．下列命题中是真命题的是（）A．对顶角相等 B．同旁内角互补C．互补的角是邻补角 D．相等的角是对顶角3．关于命题“等角对等边”，下列说法错误的是（

）A．这个命题是真命题 B．条件是“一个三角形有两个角相等”C．结论是“这两个角所对的边也相等” D．可以用“举反例”的方法证明这个命题是真命题4．要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（）A． B． C． D．5．下列推理正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则或6．如图所示，在中，，下列结论不一定正确的是（

）A． B． C． D．7．下列命题中，其逆命题是假命题的是（

）A．同旁内角互补，两直线平行 B．若，则C．锐角与钝角互为补角 D．相等的角是对顶角8．数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a＞2，那么a2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（）A．两直线平行，同位角相等 B．如果|a|＝1，那么a＝1C．全等三角形的对应角相等 D．如果x＞y，那么mx＞my9．假设命题“a≤0”不成立，那么a与0的大小关系只能是（

）A．a＝1 B．a≠0 C．a≥0 D．a＞010．A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强.A说：“如果我进入，那么B也进入.”B说：“如果我进入，那么C也进入.”C说：“如果我进入，那么D也进入.”D说：“如果我进入，那么E也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（

）A．A，B，C B．B，C，D C．C，D，E D．D，E，A二、填空题11．“若，则，”_____命题（选填“是”或“不是”）．12．命题“如果，那么”是______命题（填“真”或“假”），此命题的逆命题是：____________________．13．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是_____．①a＝3，b＝2；②a＝﹣3，b＝2③a＝3，b＝﹣1④a＝﹣1，b＝314．将命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”改写为“如果……，那么……”的形式为__________________________________________．15．小明在解答“已知ABC中，AB＝AC，求证∠B＜90°”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：（1）所以∠B+∠C+∠A＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾．（2）所以∠B＜90°．（3）假设∠B≥90°．（4）那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．请你写出这四个步骤正确的顺序______．16．如图所示，，那么________，依据是__________．17．“如果，那么”的逆命题为_____．18．甲、乙、丙、丁四位老师分别教数学、语文、科学、英语，甲老师可以教语文、科学；乙老师可以教数学、英语；丙老师可以教数学、语文、科学；丁老师只能教科学，为了使每位老师都能胜任工作，那么教数学的老师是________老师．三、解答题19．判断下列语句是否是命题．如果是，请写出它的题设和结论．(1)内错角相等；(2)对顶角相等；(3)画一个60°的角．20．给出下列语句，先判断是否为命题，如果是命题请指明其题设和结论．（1）同旁内角互补，两直线平行；（2）直角都相等；（3）画直线AB；（4）凡内错角都相等．21．如图，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线BC所截．在下面三个条件中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．①AB⊥BC，CD⊥BC，②BE∥CF，③∠1＝∠2.22．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F．求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°．证明：∵∠B＝∠CGF（已知），∴ABCD（）．∵∠BGC＝∠F（已知），∴CDEF（）．∴ABEF（）．∴∠B＋∠F＝180°（）．又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（），∠BGC＝∠F（已知），∴∠F＋∠BGD＝180°（）．23．如图，已知直线，给出下列信息：①；②平分；③．(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是，结论是(只要填写序号)，并说明理由．(2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数．24．（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，，．求证：；（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题．参考答案1．A【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案．【详解】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意；B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意；D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意．故选：A．【点拨】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．2．A【分析】根据真命题的定义及对顶角、平行线的性质、邻补角的定义和性质逐项分析即可．【详解】解：A、对顶角相等，正确，是真命题，符合题意；B、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、互补的角不一定是邻补角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选：A．【点拨】考查了命题与定理以及对顶角、平行线的性质、邻补角的定义和性质等知识，解题的关键是理解对顶角、平行线的性质、邻补角的定义和性质．3．D【分析】分析原命题，找出其条件与结论，然后写成“如果…那么…”形式即可．【详解】解：在三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称：“等角对等边”，则选项A、B、C正确，不符合题意，不可以用“举反例”的方法证明这个命题是真命题．故选：D．【点拨】本题考查了命题与定理的知识，正确理解定义是关键．4．D【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断即可．【详解】解：A．时．满足，则，不能作为反例，错误；B．时．满足，则，不能作为反例，错误；C．时．满足，则，不能作为反例，错误；D．时，,但，能作为反例，正确；故选：D．【点拨】本题考查了命题与定理；熟记：要判断一个命题是假命题，举出一个反例就可以．5．D【分析】直接利用不等式的基本性质和解方程的思想进行判断即可.【详解】解：A、∵，∴a，b同号，则或，本项错误；B、∵，则不一定正确，如时，，本项错误；C、∵，则或，∴不一定正确，故本项错误；D、∵，则或，本项正确；故选择：D.【点拨】本题考查了不等式性质和解方程的思想，解题的关键是利用不等式性质进行判断.6．A【分析】根据直角三角形的性质，分析判断即可得到答案.【详解】解：A、直角三角形两个锐角度数不明确，不能比较大小，故本项错误；B、由两边和大于第三边，得到，本项正确；C、由，则，本项正确；D、由勾股定理可知，，本项正确；故选择：A.【点拨】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形的性质.7．C【分析】先写出各选项的逆命题，再逐个判断即可．【详解】解：A、同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补，为真命题，选项不符合题意；B、若，则的逆命题为若，则，为真命题，选项不符合题意；C、锐角与钝角互为补角的逆命题为若两个角互补，则这两个角分别为锐角、钝角，为假命题，选项符合题意；D、相等的角是对顶角的逆命题为对顶角相等，为真命题，选项不符合题意；故选：C【点拨】此题考查了命题的逆命题以及真假命题，解题的关键是正确写出命题的逆命题．8．C【分析】分别判断原命题和其逆命题的真假后即可确定正确的选项．【详解】解：A、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意；B、原命题错误，是假命题；逆命题为如果a＝1，那么|a|＝1，正确，是真命题，不符合题意；C、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意；D、当m＝0时原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：C．【点拨】考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．9．D【分析】由于a≤0的反面为a＞0，则假设命题“a≤0”不成立，则有a＞0．【详解】解：假设命题“a≤0”不成立，则a＞0．故选：D．【点拨】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．10．C【分析】若A，B进入了前三强，那么B、C、D、E也均能进入，由于前三强只有三个人，显然这是不合理的；因此只有当C进行前三强，那么D、E也进入，这样才符合题意．【详解】解：若A进入前三强，那么进入前三强的有A、B、C、D、E共5人，显然不合题意，同理，当B进行前三强时，也不合题意，所以应从C开始进入前三强．即进入前三强的是C，D，E．故选C【点拨】此题考查了逻辑推理，根据每个人所说的进行推理即可求解．11．是【分析】根据命题的定义判断即可．【详解】若，则，是一个命题.故答案为：是．【点拨】本题主要考查了命题的判断，掌握定义是解题的关键．即是表示判断一件事情的句子是命题.12．

假

如果，那么【分析】根据逆命题的题设是原命题的结论，逆命题的结论是原命题的题设解答．【详解】解：“如果，那么”是假命题，它的逆命题是：如果，那么，故答案为：假；如果，那么．【点拨】本题主要考查命题与逆命题的关系，命题的真假判断，正确的命题叫真命题．13．②【分析】通过计算判定，满足a2＞b2，不满足a＞b，即可．【详解】解：①a＝3，b＝2，满足a2＞b2，a＞b，不能说明命题是假命题．②a＝﹣3，b＝2，满足a2＞b2，a＜b，能说明命题是假命题．③a＝3，b＝﹣1，满足a2＞b2，a＞b，不能说明命题是假命题．④a＝﹣1，b＝3，不满足a2＞b2，不能说明命题是假命题．故答案为：②【点拨】本题考查命题与定理，解题的关键是理解用反例说明命题是假命题．14．如果在同一平面内两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．【详解】解：命题可以改写为：如果在同一平面内两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．故答案为：如果在同一平面内两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．【点拨】本题考查命题的题设和结论，解题的关键是掌握任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别写在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意．15．（3）（4）（1）（2）【分析】根据反证法的一般步骤解答即可．【详解】证明：假设，那么，由，得，即，即，所以，这与三角形内角和定理相矛盾，所以，所以这四个步骤正确的顺序是（3）（4）（1）（2），故答案为：（3）（4）（1）（2）．【点拨】本题考查的是反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．16．

，

同角的余角相等【分析】由∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，即可得到∠AOC=∠BOD.【详解】解：∵，∴∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，根据同角的余角相等，∴∠AOC=∠BOD；故答案为，同角的余角相等.【点拨】本题考查了同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握定理.17．如果，那么【分析】根据互逆命题的定义，把原命题的题设和结论交换即可．【详解】解：“如果，那么”的逆命题为“如果，那么”．故答案为：如果，那么．【点拨】本题考查了互逆命题的知识，解决本题的关键是掌握两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．18．丙【分析】从丁老师只能教科学出发，则甲老师只能教语文，可得丙老师只能教数学．【详解】解：∵丁老师只能教科学，甲老师可以教语文、科学，∴甲老师教语文，∵丙老师可以教数学、语文、科学，∴丙老师只能教数学．故答案为：丙【点拨】本题主要考查了逻辑推理应用题，解题方法是由确定项开始用排除法，逐个推论确定各自的正确选项，最终解决问题．19．(1)是命题．题设是：两个角是内错角，结论是：这两个角相等(2)是命题．题设是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等(3)不是命题【分析】（1）先根据命题的定义判断，然后找到相应的条件和结论作为命题的题设和结论即可；（2）先根据命题的定义判断，然后找到相应的条件和结论作为命题的题设和结论即可；（3）根据命题的定义判断即可．（1）解：是命题．题设是：两个角是内错角，结论是：这两个角相等；（2）是命题．题设是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等；（3）不是命题．【点拨】本题考查了命题，解决本题的关键是理解命题是判断一件事情的语句，命题的题设为条件部分，结论为由条件得到的结论．20．（3）不是命题，（1）、（2）、（4）是命题，题设和结论见解析．【分析】根据命题的定义：一般地，在数学中把用语言，符号或式子表示的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中已知的事项叫做题设，由已知事项推出的事项叫做结论，进行求解即可．【详解】解：（1）是命题，题设：两直线被第三条直线所截，同旁内角互补，结论：这两条直线平行；（2）是命题：题设：两个角都是直角，结论：这两个角相等；（3）不是命题；（4）是命题，题设：两个角都是内错角，结论：这两个角相等；【点拨】本题主要考查了命题，以及命题的题设与结论，解题的关键在于能够熟知命题的定义．21．见解析【详解】试题分析：可以有①②得到③：由于AB⊥BC、CD⊥BC,得到又BE∥CF，则∠EBC=∠FCB，可得到∠ABC−∠EBC=∠DCB−∠FCB，即有∠1=∠2．试题解析：已知：如图,AB⊥BC、CD⊥BC,BE∥CF.求证：∠1=∠2.证明：∵AB⊥BC、CD⊥BC，∴∠ABC=∠DCB，又∵BE∥CF，∴∠EBC=∠FCB，∴∠ABC−∠EBC=∠DCB−∠FCB，∴∠1=∠2.22．同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可．【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）；∴ABCD（同位角相等，两直线平行），∵∠BGC＝∠F（已知）；∴CDEF（同位角相等，两直线平行），∴ABEF（平行公