2022-2023学年江西省鹰潭市高一（下）期末数学试卷

2022-2023学年江西省鹰潭市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列说法正确的是（）

A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台

C.底面是矩形的四棱柱是长方体

D.三棱台有8个顶点

2.已知向量五=（4,一2）,b=（%-1,2），若则|「一石|=（）

A.3/7B.2HC.3D.5

3.己知角。=型|包，且角9的终边所在直线经过点P（x,2C），则式的值为（）

A.±2B.2C.-2D.-4

4.北极阁位于鹰潭公园的东侧，前门是大码头，旧时为鹰潭最繁华的街市.某同学为测量北

极阁的高度MN,在北极阁的正北方向找到一座建筑物AB,高约为30m,在地面上点C处

（B,C,N三点共线）测得建筑物顶部4北极阁顶部M的仰角分别为30。和45。，在A处测得北极

阁顶部M的仰角为15。，北极阁的高度约为（）

A.45mB.52mC.60mD.65m

5.将复数1对应的向量而绕原点按顺时针方向旋转》得到的向量为西，那么西对

应的复数是（）

A.V_3-iB.V3+iC.-V_3一iD.—V~3+i

6.关于8,对于甲、乙、丙、丁四人有不同的判断，甲：。是第三象限角，乙：£即。=今丙：

tan29>ltan26>1,丁：tan（6-兀）不小于2,若这人只有一人判断错误，则此人是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

7.一个球体被平面截下的一部分叫做球缺.截面叫做球缺的底面，垂/-----\

直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高，球缺曲面部分/\

的面积S=2TTRH,其中R为球的半径，，为球缺的高.如图，若一个半II

径为R的球体被平面所截获得两个球缺，其高之比为强=3,则表面积

(包括底面)之比3=()

A.\

B4

620

C11

D.与

8.在锐角AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足c-b=2bcos4若；ls)(C+

B)-cos(C-B)<3恒成立，则实数;l的取值范围为()

A.(-8,4)B.(-8,4]C.(-OO,5L2]D.(-8,弓3)

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.已知复数Z]满足Z]=牛，z2=x+yi,x,yER,zr,z2所对应的向量分别为被QOZ；，

其中。为坐标原点，则()

A.zi的共轨复数为1一1

B.当x=0时，Z2为纯虚数

C.若西〃西，则x+y=0

D.若西1两，则匕+z2|=\z1-z2\

10.如图所示，设Ox,Oy是平面内相交成6(。中6角的两条数轴，瓦，石分别是与x轴，y轴

正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为。反射坐标系在。反射坐标系中，若丽=

xe^+ye^,则把有序数对(x,y)称为向量丽的反射坐标，记为丽=(x,y).在。=亨的反射坐

标系中，a=(1,2),b=(2,-1).其中正确的是()

M

y

A.a-b=(-1,3)B.|五|=V-5

C.albD.\b\=y/~7

11.已知函数/'(x)=Asin(^a)x+w)(4>0,a)>0,\<p\<n)

的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是()

A./(x)=<3sin(^x-%

B./(%)=Csin《x+》

C.点(2023,0)是f(x)的一个对称中心

D.函数的图象向左平移;个单位得到的图象关于y轴对称

12.在棱长为4的正方体4BC0—4&口。］中，点E为棱的中点，点F是正方形必当前。1内

一动点(含边界)，则下列说法中正确的是()

A.直线BCi与直线4c夹角为60。

B.平面BC】E截正方体所得截面的面积为18

C.若EF=2<5，则动点F的轨迹长度为兀

D.若4F〃平面8C1E,则动点F的轨迹长度为2门

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.复数z=则z+z=.

14.已知点4(2,1),B(l,3),CD=(3,4),则向量荏在向量备上的投影向量的坐标为.

15.若x=a时，函数/(久)=y/~^sinx一cosx取得最小值，贝!Isina=.

16.三棱锥P-ABC的四个顶点都在半径为5的球面上，已知P到平面力BC的距离为7,AB1

AC,BC=6.记PA与平面ABC所成的角为仇贝心》8的取值范围为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知复数2=从的6/?),»是虚数单位.

(1)若羽是实数，求b的值；

(2)在①点P在实轴上，②点P在虚轴上，③点P在一、三象限的角平分线上，这三个条件中

任选一个，补充在下面问题中，并解答.

问题：若b=复数(rn+z)2在复平面内对应的点为P,且,求实数m的值.

注：如果选择多个条件分别求解，按第一个解答记分.

18.(本小题12.0分)

设a为常数，函数y=f(x)=asin2x+2cos2x{xG/?).

(1)设。=/耳，求函数y=f(x)的单调区间及周期7；

(2)若函数y=f(x)为偶函数,令g(x)=2/Q)+1,此函数g(x)的值域.

19.(本小题12.0分)

在△ABC中，AB=2,AC=1,乙4cB=[,D是线段BC上一点，且前=[方乙尸为线段48上

4Z

—点.

(1)设荏=无，前=石，同=+y].求x-y；

(2)若尸为线段4B的中点，求方•元?的值.

20.(本小题12.0分)

如图，△ADM是等腰直角三角形，AD1DM,四边形48CM是直角梯形，AB1BC,MC1BC,

且AB=2BC=2cM=2,平面40M_L平面48cM.

(1)求证：AD1BM；

(2)若点E是线段OB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥"-AOE的体积为卒?

9

21.(本小题12.0分)

在△4BC中，内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且bsinA=asin(B+/

(1)求角B的大小；

(2)若a=3,c=2,求b和sin(4-C)的值.

22.(本小题12.0分)

向量是解决数学问题的有力工具，我们可以利用向量探究△ABC的面积问题：

(1)已知|4B|=2,|4C|=5,AB-AC=8,求△4BC的面积；

(2)己知不共线的两个向量而=Qi，yQ,AC=(x2,y2y探究△ABC的面积表达式；

(3)已知。(0,0),若抛物线y=/一2x-3上两点，(%1，了1)、8()2，丫2)满足%2=X1+1，求)

0aB面积的最小值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：根据题意，依次分析选项:

该几何体是由两个三棱锥拼接而成的组合体，各个面都为三角形，但不是三棱锥，A错误；

对于氏项根据圆锥、圆台的结构特征，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去一个小圆锥后剩

余的部分是圆台，8正确；

对于C,底面是矩形的四棱柱可能为斜四棱柱，C错误；

对于0,三棱台有6个顶点，。错误.

故选：B.

根据题意，由三棱锥、圆台、棱柱和棱台的几何结构依次分析选项是否正确，综合可得答案.

本题考查棱柱、棱锥和圆柱的结构特征，注意常见几何体的定义，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：因为五=(4,—2),b=(x—1,2)＞且乞1b,

所以五-K=4(x-l)-2x2=0-

所以x=2,

所以B=(l,2)，a-K=(4,-2)-(1,2)=(3,-4))所以|百一石|=，32+(-4/=5.

故选：D.

依题意可得有4=0,即可求出x的值，在求出五-3的坐标，从而求出其模.

本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：cosd=COS20；3"=cos(674兀+.=cos|=

„X1

因为角。的终边所在直线经过点p(x,2C),所以cos。=丁2G)2=2,

解得X=±2(舍负).

故选：B.

利用诱导公式，可得cosJ=E，再由三角函数的定义，得解.

本题考查三角函数的定义，诱导公式，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：由题意得，在Rt/kABC中，4c=聋?=60,

sin30

在AACM中，Z.CAM=30°+15°=45°,N4cM=180。-45。-30°=105。，1•.Z.AMC=30°,

由正弦定理得，.得MC=叁/sin45。=60S，

smz/lMcsinzc/lMstn3Q

在RtZiMNC中，MN=MC-sin450=60.

故选：C.

在RtZkABC中，求得AC=60,在△ACM中，利用正弦定理得到MC,在RtZkMNC中，利用MN=

MC-sin45。即可求解.

本题考查了正弦定理的应用，属于中档题.

5.【答案】4

【解析】解：将复数1+Ci对应的向量而绕原点按顺时针方向旋转》得到的向量为西,

则两对应的复数是(1+/3i)[cos(-=)+sin(-划=(1+=G-J

故选：A.

根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解.

本题主要考查复数的几何意义，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：由tan(0-兀)=1即0,所以乙和丁的判断只有一个正确，且tan20=产吗,

''1-tan"

若丁的判断正确，即tan。22,则£即2。=/吗<0,

此时丙的判断错误，不符合题意；

若乙的判断正确，即tan8=；,此时满足tan。>0,且tan20=产吗。=)>1,

2l-tanz03

此时甲、丙都正确，符合题意.

故选：D.

根据题意得到乙和丁的判断只有一个正确，分丁的判断正确和乙的判断正确，结合三角函数的符

号和正切的倍角公式，即可求解.

本题主要考查三角函数值的符号，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：啜=3,Z+“2=2R,

rr3R..R

%=―,H2=2)

••・表面积(包括底面)之比3=2^Rx竽+”(R2?=米

22nRx^+nx(R2—')

故选：D.

由球的性质可求出截面圆的半径，从而求出表面积，可解此题.

本题考查球的性质以及表面积公式，属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解：由正弦定理可知，c—b=2bcosAosinC—sinB=2sinBcos4①，

又因为4+B+C=兀，所以sinC=sin(4+B)=sinAcosB+cosAsinB@<

将②式代入①式可得sinAcosB—sinB=sinBcosA,整理得sin(A-B)=sinB,

因为4,86(0,兀)，所以4-B=B,即A=2B,

又因为4+B+C=7T,

所以C=兀-3B,即cos(C—B)=cos(7i—4B)=~cos4B=-cos2A=2sin2A—1,

又有苑讥(C+B)-cos(C-8)<3恒成立等价于4<3黑：渭=2s*+2恒成立,

又因为△ABC是锐角三角形，

所以4B,Ce(0,今,

0V2BV5

即解得牌

0<7T-3B<^

所以4=28€(，令，故sinAe(3,l)，

设t=sinA,则易知/(t)=t+；在区间(分,1)上单调递减,

故2<〃t)<g

所以空可[土2=%；(4,亨)，

故a44,即ae(-8,4].

故选:B.

首先利用正弦定理进行“边化角”，而后通过代换减少变量，利用函数的值域即可解决问题，特

别注意这里不满足基本不等式的应用条件.

本题主要考查了正弦定理的应用，还考查了和差角，二倍角公式，函数的单调性的综合应用，属

于中档题.

9【答案】CD

【解析】解：已知复数Zi满足Zi=牛，

则Z[=l-i,

又Z2=%+yi,x,yeR,zt,z2所对应的向量分别为西*,0Z；,其中。为坐标原点,

则西=(1,-1),两=(x,y),

对于选项A,Z]的共较复数为1+3即选项A错误；

对于选项B,当％=0,yHO时，Z2为纯虚数，即选项8错误；

对于选项C,当西〃西时，

则1xy=(-1)X%,

则％+y=0,

即选项C正确；

对于选项。，若OZ；1OZ；，

则冗=y,

则Zi+z2=(1+%,%—1),zt-z2=(1—x,—x—1),

则区+Z2\=|Z1—z2\=J(1+X)2+(1—X)2,即选项D正确.

故选：CD.

由复数的运算，结合复数的模的运算逐一判断即可得解.

本题考查了复数的运算，重点考查了复数的模的运算，属基础题.

10.【答案】AD

【解析】解：a=(1,2),b=(2,-1)，

则五=吊+2电是=2瓦-瓦,

故万一石=瓦1+2另一2可+/=一瓦＜+3与，

故为一3=(-1,3)，故A正确；

a=(1,2),

则4=可+2或，两边同时平方可得，

I3I=J回+2砂=J可2+4瓦怎+4可2=J同『+4㈤•层|cos竽+4|石『

=J1+4x(-今+4=「，故B错误；

Q=(1,2),b=(2,—1)，

则五二百+2石,石=2瓦一瓦,

五不=回+2的.(2区一或)=2/2+3区总-2a2=2闻产+3同|,底|cos李一2|可『

=2+3x(-i)-2=-|*0,故行花不垂直，故C错误；

法|=J(2瓦一反产=J4/2_4瓦•可+a2=J4|万|2-4同•同|cos竽+|五|2

=J4+4x1+1=故。正确.

故选：AD.

4选项，根据条件，可得五一石=一百+3祓，得到方一方=(一1,3)，即可判断；

B选项，根据|引=J回+2苞)2,求出模即可判断；

C选项，根据五•方=回+2或).(2瓦(一的，计算出五4=-|40,即可判断；

0选项，由|石|=J(2瓦一或)2,计算出|方|=7~7，即可判断.

本题主要考查平面向量的基本定理，考查转化能力，属于中档题.

11.【答案】AC

【解析】解：由图可知。=3-(-1),A=R,所以7=8,即生=8,解得3=，

2\/34

所以/'(%)-v-3sin(^x+(P),又f(-l)-v-3sin(-^+<p)-0,

所以一今+W=n+2卜乃,keZ,解得9=苧+2々兀,k6Z,又|卬|<兀，所以0=一率，

所以/"(X)=losingx—争，故A正确，B错误；

/'(2023)=，3sin(型等一与)=Csin5057r=0,所以点(2023,0)是/(x)的一个对称中心，故C

正确；

将函数f(x)的图象向左平移冷单位得到y=Csin6(x+力一曲=<3sin(2x+喘一多)，

显然函数y=<3sin(Jx+的一年)不是偶函数，故D错误.

故选：AC.

根据函数图象可得4=C、2=4,即可求出3,再根据函数过点(-1,0)求出仍即可求出函数解

析，再根据正弦函数的性质及三角函数的变换规则判断即可.

本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：对于4连接4G，BG，AC,

可得正AAiBCi，根据正方体的性质，AJIAC,

故直线BCi与直线AC夹角为直线Bq与直线&G的夹角为60。，故A正确:

对于8,因为面4054〃面BCGBi，平面BGEn面Bee/】=BG，

根据面面平行的性质可得平面8GE截4。。出的交线EP〃BG，

D,

故平面BCE截AC的交点P为力。的中点，

故PB=VAB2+AP2=JC©+。送2=EC1，

故截面为等腰梯形EPBG，

在等腰梯形EPBCi中BQ=4C,PE=2，7,高h=3/7,

故截面的面积为生竽2X3C=18,故B正确；

22

对于C,若EF=2，石，则名尸=7EF-DXE=4，

故动点F的轨迹为以以为圆心的四分之一圆弧福，其长度为4=2兀，故C错误;

由B知截面为等腰梯形EPBG，

由四边形ABCiA为平行四边形得4DJ/BC1，

又g，面BGE,BCiu面BGE,所以也〃面BGE,

由四边形BQQP为平行四边形得DiQ〃PB,DiQC面BGE,BPu面BC】E,

所以。iQ〃面BGE,由得平面。1Q4〃平面8EG,

又AFu平面DiQA,所以AF〃平面BEQ,

故厂的轨迹为线段DiQ,其长度为V为+22=2门,故力正确.

故选:ABD.

对A,根据AC的平行线确定直线BCi与直线AC夹角即可；

对B,根据面面平行的性质，作出平面BCiE截正方体所得截面并求其面积即可；

对C,由题意D]F=4,动点尸的轨迹为以名为圆心的四分之一圆弧再根据弧长公式求解即

可；

对。，先判断过A且平行于平面BC]E的平面截正方体的面，再分析尸的轨迹即可.

本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题.

13.【答案】I

3g4刀ii(l-2i)i+22,1.

==+G

【解析】解：z=1+2i=(1+2i)(i-2i)~55

z=|-|i,则z+z=

故答案为：I

利用复数代数形式的除法运算化简得到z,再由共聊复数的概念得到W，进而求出结果.

本题主要考查复数的四则运算，以及共辅复数的定义，属于基础题.

14.【答案】(卷,卷)

【解析】解：根据题意，点4(2,1),5(1,3),则荏=(-1,2)，

CD=(3,4)，则|而|=，9+16=5,AB-CD=-3+8=5>

故向量而在向量而上的投影向量为鬻露=^ScD=其坐标为

\LU\|LD|353

故答案为：得j).

根据题意，求出向量荏的坐标，进而由数量积的计算公式计算可得答案.

本题考查向量数量积的计算，涉及投影向量的计算，属于基础题.

15.【答案】一?

【解析】解：/(%)=y/~2sinx-cosx=y/~3(y=sinx—■7=cosx)，

令cos。=胃，sind=六，

则/(%)=V_5sin(x—6),

x=a时，函数/(无)=\T2sinx-cosx取得最小值，

cc-9=2kji-］，kEZ,即a=6+2kji—kEZ,

贝Usina=sin(6+2kn—y)=sin(0—y)=—sin(y—0)=—cosQ=—潴=—冬.

故答案为：

利用辅助角公式进行化简，利用最小值建立方程进行求解即可.

本题主要考查三角函数的化简和求解，利用辅助角公式进行转化，结合三角函数的诱导公式进行

化简是解决本题的关键，是基础题.

16.【答案】行，甯］

【解析】解：设尸为三棱锥P-ABC外接球的球心，E为AABC外

接圆的圆心，

则E为BC的中点，EF1平面ABC,

过点P作PM1•平面ABC,M为垂足，则=PM=7,

作FG1PM,垂足为G.则四边形MEFG为矩形，

BC=6,BE=3,BF=5,

EF-V25-9=4,MG=4,

•••PG=3,ME=GF=V25-9=4，

EM-EA<AM<EM+EA,：.1<AM<7,

PA=VPM2+AM2=V49+AM26[5^,7y/~2].

PM7仁C7y/~2.

：•sind~PA

故答案为：［浮,需］.

设尸为三棱锥P-4BC外接球的球心，E为△4BC外接圆的圆心，过点P作PM平面48C,M为垂

足，作FG1PM,垂足为G,根据EM-EAWAMWEM+E4,求得4M的范围，进而可求得P4的

范围，从而可得出答案.

本题考查三棱锥及其外接球的结构特征、线面垂直的判定与性质、线面角的正弦值等基础知识，

考查运算求解能力，是中档题.

17.【答案】解：(1)因为第=寥=需若J=f铲^为实数，

所以2b+l=0,

所以b=—"；

(2)若b=-1>复数(m+z)2=(m-1j)2=m2--mi在复平面内对应的点为P(m2一一根),

选①点P在实轴上，则m=0；

若选②点P在虚轴上，则Hl?一*=0,

所以m=士：；

若选③点P在一、三象限的角平分线上，

所以Hl?—1——m,

4

解得7n=若匚.

【解析】(1)结合复数的四则运算进行化简，然后结合复数的概念可求；

(2)结合所选条件即复数的基本概念可建立关于b及m的方程及不等式，可求.

本题主要考查了复数的四则运算及复数概念的应用，属于基础题.

18.【答案】解：(1)因为Q=

所以/(%)=y/~3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+专)+1,

令2kli-gw2x+gW2kji十:,kGZ,

解得/CTT—-<x<kn+%kEZ

DO9

即函数y=/(%)的单调增区间为即冶做+匀々£Z,

令2kji+7工2%+WW2/CTT+当，kWZ,

LOz

解得々yr+gW%工ku+k£Z,

o3

可得函数y=/(约的单调减区间为阿+也时+等，keZ,

可得函数的周期为7=与=兀.

(2)函数y=f(x)为偶函数，

则/'(一%)=f(x)，

可得一QSE2第+cos2x+I=asin2x+cos2x+1,即QS比2%=0,

由于XGR,

则Q=0,

故/(%)=cos2x+1,

则g(X)=2/(x)+1=2cos2x+3,

由于cos2xE|-1,1],

故gQ)6[1,5].

【解析】(1)由题意利用三角函数恒等变换化简函数解析式可得f(x)=2s讥(2x+》+l,进而利

用正弦函数的单调性以及周期性即可求解；

(2)由y=/(x)为偶函数，可得asizi2x=0,可求a=0,进而可求g(x)=2cos2x+3,根据余弦

函数的性质即可求解g(x)的值域.

本题考查了三角函数恒等变换，正弦函数的单调性以及周期性，余弦函数的性质，考查了转化思

想和函数思想，属于中档题.

19.【答案】解：⑴而=尼+而=前+|而=》+|须一硝=|荏+萍，------(4分

)

因为荷=苍，AC=b，所以初=，四+：而=|方+=+

由平面向量基本定理可得x=阻y=所以x-y='-：=------------（5分）

（2）因为F为线段4B的中点，所以#=2石？+20，..............（7分）

又方=CA-CF=CA-^（CA+CB）=^CA-^CB,...................-（9分）

因为在△ABC中，AB=2,AC=1,44cB=全可得CB=-3,

.-.CF-FA=+|CB）•-|cF）=\CA-^CB'=-J;------------（12分）

【解析】(1)推出而=:而+3正，得到万=%五+丫］，由平面向量基本定理求解即可.

(2)推出#=；匕？+；区，结合瓦？=3万？一上瓦，利用平面向量的数量积求解即可.

本题考查平面向量的数量积的应用，平面向量基本定理的应用，是中档题.

20.【答案】(1)证明：•••四边形ABCM是直角梯形，AB1BC,MC1BC,AB=2BC=2MC=2,

•••BM—V1+1—yT~2,AM-yj(2—l)2+l2-V_2>

贝|J4"2+BM2=AB?,AM1MB,

•••平面ADM1平面4BCM,平面ADMCI平面4BCM=AM,

BMu平面ABCM,

BM_L平面D4M,

又DAu平面DAM,ADIBM；

(2)解：由(1)可知BM1平面ADM,=

设雅=九贝UE到平面4DM的距离为B到平面力DM的距离的2倍，

即E到平面ADM的距离d=G，

•・•△4DM是等腰直角三角形，AD1DM,AM=y/~l,AD=DM=1,

^M-ADE~^E-ADM=Xd=殍,即gX|X1X1Xy1~2A=噂,

,2

•••4=§,

E为线段BD上靠近点B的三等分点.

【解析】(1)利用勾股定理证明ZM1MB,再根据面面垂直的性质可得BM_L平面ZMM,再根据线

面垂直的性质即可得证；

(2)设黑=九则E到平面