高中数学-3 杨辉三角 （以杨辉三角为背景的高中数学考题题组训练）原卷版

【高中数学数学文化鉴赏与学习】

专题3杨辉三角

（以杨辉三角为背景的高中数学考题题组训练）

一、单选题

1.如图，杨辉三角出现于我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》中，

它揭示了（“+?'（〃为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律.由此可得图中

第1（）行排在偶数位置的所有数字之和为（）

A.256B.512C.1024D.1023

2.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年

所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，

比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中（如图），记第2行的第

3个数字为外,第3行的第3个数字为的,……,第22）行的第3个数字为4-则

4++°3+,••+49=()

莒

0一

丁

莒11

1一

丁

莒

2一121

丁

和33

3一11

丁

和

4一464

丁

莒

5一55

丁1010

A.165B.120C.220D.96

3.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的

表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就在杨辉三角中，若去除所有为1的

项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,……则此数列的前46项和为

()

1

121

1331

1464

1510105

A.4080B.2060C.2048D.2037

4.如图所示是一个类似杨辉三角的递推式，则第"行的首尾两个数均为（）

33

565

711117

91822189

A.2〃B.2n—1C.2〃+2D.2n+\

5.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的

表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第〃行的所有数字

之和为2"T，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,

5,...则此数列的前56项和为（）

A.2060B.2038C.4084D.4108

6.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在中国南宋数学

家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，在由二项式系数所构成的

“杨辉三角''中，若第〃行中从左至右只有第12个数为该行中的最大值，则〃=

莒

0行

莒

1行

莒

2行21

莒

3行33

和

4行464

莒

5行5

1010

A.21B.22C.23D.24

7.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多

年，如图是由“杨辉三角''拓展而成的三角形数阵，记耳为图中虚线上的数1,3,6,

10,…构成的数列｛4｝的第〃项，则％。的值为（）

1

11

12

13,3’1

14,6/41

15时’1051

・・・・・・・・・・・・

A.1225B.1275C.1326D.1362

8.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多

年，如图是由“杨辉三角''拓展而成的三角形数阵，记为为图中虚线上的数1,3,6,

10,…构成的数列｛%｝的第〃项，则［。的值为（）

I

I2I

1331

14641

I5101051

A.45B.55C.66D.67

9.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年

所著的《详解九章算法》一书中出现.如图所示的杨辉三角中，第8行，第3个数是

A.21B.28C.36D.56

10.下表出现在我国南宋数学家杨辉的著作《详解九章算法》中，称之为“杨辉三

角”，该表中第10行第7个数是（)

四

/i,rI-

十五）（二十）（十五

A.120B.210C.84D.36

11.将三项式展开，得到下列等式:

(。2+〃+1)°=1

(/+4+1)1=/+〃+1

(a2+a+\)2=a4+2a3+3/+2。+1

(4z~+。+1)，=a"++6c厂+3a+1

广义杨辉三角形

第。行

第1行1

第2行232

第3行36763

第4行14101619161041

观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其

构造方法为：第0行为1,以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3

个数时，缺少的数以0计）之和，第4行共有2左+1个数.则关于x的多项式

（/+办-3），+苫+1）5的展开式中，X8项的系数（）

A.15（/+。-1）B.15（a~+a+l）

C.15（/+2a+3）D.15（a2+2a-3）

12.如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：

1,2,3,3,6,4,10,记这个数列的前〃项和为S（〃），则S（16）等于（）

1

A.144B.146C.164D.461

13.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年

所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，

比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角''中（如图），记第2行的第3

个数字为6,第3行的第3个数字为的，…，第〃（〃22）行的第3个数字为。“一则

4+〃2+〃3++《0=（）

第。行

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15105

A.220B.186C.120D.96

14.南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中首次提出“杨辉三角”，这是

数学史上的一个伟大的成就，如图所示，在“杨辉三角”中，前〃行的数字总和记作

S„.设“,,=J310g2（S,,+1）+1,将数列｛%｝中的整数项依次组成新的数列也｝,设数列

也｝的前〃项和记作，，则急的值为（）

A.6067B.5052C.3048D.1518

15.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于

1261年所著的《详解九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在1654年才发现这一规

律.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.则下

列关于“杨辉三角”的结论正确的是（）

杨辉三角

第

，

了

0彳

第

1Z了

ly

第

2z了

lx

第

3亍12I

iz

第

4Z亍1331

-4

第

5亍14641

第

6Z了15101051

1Z

第

7Z亍I61520156I

1/

第

8了

4XI7213535217I

—I8285670562881

A.C；+Cj+C；++Cf0=165

B.在第2022行中第1011个数最大

C.第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个

数

D.第34行中第15个数与第16个数之比为2：3

16.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形'’早了300多

年.如图所示的是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，图中虚线上的数1,3,6,

10,…构成数列｛为｝,记。“为该数列的第〃项，则%=（）

1

1

121

1331

14641

15101051

A.2016B.4032C.2020D.4040

17.将杨辉三角中的每一个数C；都换成分数品后，可得到如图所示的分数三角

形，成为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可以看出，存在x使得

111

则”的值是<）

1

1

£1

25“

1£1

363

1111

41212厂

11111

1•——♦‘

52030205

111111

6306060306

A.rB.r-1C.厂+1D.厂+2

18.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的

表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第〃行的所有数字

之和为2〃一，若去除所有为1的项，依次构成数歹U233,4,645,10,10,5,则此数列的

前35项和为（）

A.994B.995C.1003D.1004

19.“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上

的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1,1,2,3,5,8,

13,L,则下列选项不正确的是（）

，才.

//I

孑’，4,641

1051

广615201561

A.在第9条斜线上，各数之和为55

B.在第〃（〃25）条斜线上，各数自左往右先增大后减小

C.在第〃条斜线上，共有2"+l-（T）'个数

4

D.在第11条斜线上，最大的数是C；

20.南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中首次提出“杨辉三角”，如图

所示，这是数学史上的一个伟大的成就.在“杨辉三角”中，已知每一行的数字之和构成

的数列为等比数列且记该数列前〃项和为S,,,设2=J51og”“+1）-1,将数列［bn］中

的整数项组成新的数列{c,},则Q。"的值为（）

A.5043B.5047C.5048D.5052

二、填空题

21.杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记

载.它的开头几行如图所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第

1

1行开始的每一个数C；都换成分数所诃，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，

莱布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微积分的创立，请问“莱布尼茨三角形”

第9行第4个数是.

杨辉三角莱布尼茨三角形

第。行11第0行

11

第行第1行

11122

111

第2行121第2行

363

11

第3行1331第3行

412124

第访1c多…。厂】1

22.“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上

的各数出发引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1,1,2,3,5,8,

13,…，则第10条斜线上，各数之和为.

1^615201561

23.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图所示，在“杨辉三角”

中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行

的6为第3行中两个3的和.若在“杨辉三角”中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排

列的箭头所指的数依次构成一个数列：1,2,3,3,6,4,10,5,则在该数列

中，第35项是.

1

12-1

\

13-31

\

14-661

15-101051

24.杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详解九章算法》一书中，画

的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”.现在简称为

“杨辉三角下图是(a+b)"(〃eN*),当"=123,4,5时展开式的二项式系数表示形

式.按这个规律，第9行第8个数为

(a+fe)111

(a+b)?121

(Q+bp1331

(Q+b>14A4

(a+fe)515〃105

25.在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动中华优秀传统文化创造性转

化.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋

数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654

年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成

就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.如图所示，在由二项式系数所构成的

“杨辉三角中，第10行第8个数是.

0^一

1丁

14一

1丁

24一121

1丁

3X一33

I丁

44一464

1丁

54一

1丁

1010

26.杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数内在的一些代数性质

直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合.如图所示的杨辉三角中，从

第3行开始，每一行除1以外，其他每一个数字都是其上一行的左、右两个数字之

和，若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为4：5：6,则

这一行是第行.

第0行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

第6行1615201561

27.将杨辉三角中的每一个数C：都换成丽，7,就得到一个如图所示的分数三角

111

形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出（〃+]”+（Q）E77r=而

iiii11

令。=