数值计算方法第2版第1章数值计算引论

数值计算方法第2版第1章数值计算引论Contents目录数值计算概述数值计算的基本概念数值计算中的基本运算数值计算的误差分析数值计算的算法设计与优化数值计算的应用实例数值计算概述01数值计算是研究用计算机求解数学问题的数值方法及其理论的学科，是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。数值计算有自身独特的计算方法，如插值法，迭代法，有限差分法等。这些方法在解决实际问题时，可以给出足够精确的近似解。数值计算的定义与特点特点定义早期的数值计算主要依赖于手工计算，使用对数表、三角函数表等辅助工具进行运算。初始阶段机械化阶段电子计算机阶段随着计算工具的发展，如机械计算器、电动计算器等，数值计算逐渐实现机械化。电子计算机的出现极大地推动了数值计算的发展，使得大规模、复杂的数值计算成为可能。030201数值计算的发展历程数值计算的应用领域科学与工程计算在物理、化学、生物、医学等科学领域以及航空航天、机械、电子等工程领域，数值计算被广泛应用于建模和求解复杂问题。经济与金融数值计算在经济学和金融学中有着广泛应用，如风险评估、投资组合优化、期权定价等。计算机图形学计算机图形学中的许多问题，如光线追踪、三维模型变换等，都需要用到数值计算的方法。其他领域在统计学、数据科学、机器学习等新兴领域，数值计算也发挥着重要作用。数值计算的基本概念02模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差等。误差来源绝对误差、相对误差、平均误差、均方误差等。误差表示有效数字、相对精度、绝对精度等概念及其与误差的关系。精度误差与精度数值计算方法在计算过程中误差传播的性质，包括绝对稳定性和相对稳定性。稳定性迭代法求解问题时，迭代序列是否收敛于真解的性质。包括局部收敛性和全局收敛性。收敛性衡量迭代法收敛快慢的量，如线性收敛、超线性收敛、二次收敛等。收敛速度稳定性与收敛性

数值计算的算法设计算法设计原则准确性、稳定性、高效性、通用性等。算法设计步骤问题分析、建立数学模型、设计算法、算法实现与测试。算法评价标准时间复杂度、空间复杂度、数值稳定性、精度等。数值计算中的基本运算03算术运算两个数相加得到它们的和。从第一个数中减去第二个数得到差。两个数相乘得到它们的积。第一个数除以第二个数得到商。加法减法乘法除法矩阵加法矩阵乘法矩阵转置矩阵求逆矩阵运算两个矩阵对应元素相加得到新的矩阵。将矩阵的行和列互换得到新的矩阵。按照矩阵乘法的规则，第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列相乘后相加，得到新的矩阵。对于可逆矩阵，存在另一个矩阵使得它们的乘积为单位矩阵。通过给定的多项式系数和自变量值，计算多项式的值。多项式求值三角函数求值指数和对数函数求值插值和逼近利用三角函数的性质，计算给定角度的三角函数值。利用指数和对数的性质，计算给定数的指数和对数值。通过已知的数据点，构造一个函数来逼近或插值这些数据点，并计算给定自变量的函数值。函数求值数值计算的误差分析04模型误差观测误差截断误差舍入误差误差的来源与分类01020304由于数学模型不能完全描述实际问题而产生的误差。由于观测设备精度限制或人为因素造成的误差。由于计算方法本身的局限性，如采用近似公式或有限步计算而产生的误差。由于计算机字长限制，进行数值运算时产生的误差。误差累积随着计算步骤的增加，误差可能会逐渐累积，导致最终结果的精度降低。误差传播在数值计算过程中，前一步的误差可能会影响到后续的计算结果。稳定性问题某些计算方法可能在误差传播过程中产生不稳定现象，即误差被放大，导致计算结果严重失真。误差的传播与累积采用高精度算法和稳定的计算方法，减少误差在计算过程中的累积。避免误差的累积针对具体问题选择合适的算法，以减小模型误差和截断误差。选择合适的算法采用更高精度的数据类型和运算方法，以减小舍入误差。提高计算精度选择数值稳定的算法和计算方法，避免误差在计算过程中的放大和传播。数值稳定性减少误差的方法与技巧数值计算的算法设计与优化05算法应能准确地解决问题，提供可靠的结果。准确性算法应对输入数据的微小变化不敏感，避免产生过大的误差。稳定性算法应尽可能地减少计算量，提高计算速度。高效性算法应具有广泛的适用性，能解决一类问题而不仅仅是特定问题。通用性算法设计的基本原则选择合适的算法针对特定问题，选择最合适的算法可以显著提高计算效率。减少计算量通过减少不必要的计算步骤、避免重复计算等方法来降低计算量。利用并行计算将问题分解成多个子问题并行求解，可以显著提高计算速度。优化数据结构选择合适的数据结构可以简化算法设计，提高算法效率。算法优化的方法与技巧时间复杂度评估算法执行时间随问题规模增长的速度，常用大O表示法表示。空间复杂度评估算法所需存储空间随问题规模增长的速度。实际性能评估通过实际测试来评估算法的性能，包括执行时间、内存占用等指标。算法比较与选择根据实际需求，比较不同算法的性能并选择最合适的算法。算法复杂度的分析与评估数值计算的应用实例06123通过消元和回代过程，将线性方程组转化为上三角或下三角形式，进而求解未知量。高斯消元法通过构造迭代格式，逐步逼近方程组的解，如雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。迭代法利用矩阵分解等技巧，直接求解线性方程组，如LU分解法、QR分解法等。直接法线性方程组的求解通过不断缩小解的存在区间，逐步逼近非线性方程的解。二分法利用泰勒级数展开，构造迭代格式，通过迭代过程求解非线性方程的解。牛顿法用差商代替导数，构造迭代格式，通过迭代过程求解非线性方程的解。割线法非线性方程的求解分段插值将插值区间分成若干个子区间，在每个子区间上分别进行插值，如分段线性插值、分段三次埃尔米特插值等。样条插值通过构造具有一定光滑性的分段多项式函数，实现函数的逼近与插值，如三次样条插值等。多项式插值通过构造多项式函数，使得该函数在给定节点处与被插值函数取值相同，如拉格朗日插值、牛顿插值等。函数逼近与插值03数值微分利用函数在某些点的取值信息，构