完全平方公式-教学设计(几何)（郭建华）

完全平方公式本溪市试验中学郭建华一、内容与内容解析1．内容完全平方公式2．内容解析本节内容主要探讨的是完全平方公式的推导和公式在整式乘法中的应用．它是在学习了代数式的概念、整式的加减法、积的乘方、幂的运算和整式的乘法后学习的，也是在因式分解、分式的加减乘除混合运算中有广泛的应用．一些具有特别形式的多项式相乘，可以写成公式的形式．当遇到特别形式的多项式相乘时，可以干脆运用公式写出结果，具有简化计算的功能．完全平方公式的推导，从代数的角度来推导，是以多项式乘法与合并同类项的学问为基础，通过计算、视察、归纳，抽象概括出的特别形式的等式；让学生构造几何图形，用不同方式表示图形的面积，进行代数恒等变形来推导完全平方公式的结果，则体现了数形结合的思想方法和让学生动手操作进行数学活动探究模式．完全平方公式是多项式的乘法公式的一种，即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或者减去)它们乘积的2倍．而公式的符号表示及语言表述则揭示了公式的结构特征，公式(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a－b)2=a2－2ab＋b2中的字母a，b可以是详细的数、单项式、多项式、分式等等，体现了从一般到特别的思想方法；通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算，还能够培育学生的求简意识．基于以上分析，确定本节课的教学重点：完全平方公式的发觉和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简洁的计算．三、教学目标和目标解析1．教学目标(1)．学问与技能：理解公式及公式的推导过程，了解公式的几何背景，会应用公式进行简洁的计算．(2)．过程与方法：通过让学生经验完全平方公式的探究过程，使学生体会数、形结合的优势，驾驭完全平方公式的特征，培育学生的发觉实力、求简意识、应用意识、解决问题的实力和创新实力2．目标解析达成目标(1)的标记是：学生知道由多项式乘法到完全平方公式是一般到特别的过程，能依据多项式的乘法法则推导出完全平方公式；学生理解可以构造几何图形利用面积的不同表示方式来完成公式的推导，了解验证完全平方公式的详细方法.理解公式中的字母可以表示详细的数、单项式、多项式等，能够正确地运用公式进行简洁计算．达成目标(2)的标记是：学生在探究完全平方公式的过程中，能够更好地发觉公式、体会和理解公式及公式的基本结构与特征，会用符号表示公式，能用文字语言表述公式内容；在利用几何图形的面积验证公式的过程中，感知数形结合的思想．一些特别形式的多项式乘法，可以利用完全平方公式进行计算，能够体会利用公式计算带来的便利性；一些数字平方的计算，让学生体会应用公式解决问题的方法；而对公式进行拓展探究，利用图形解决问题，则体现了学生的创新意识.四、教学问题诊断分析由于学生受2(a＋b)=2a＋2b，(ab)2=a2b2的影响，很简洁产生(a＋b)2=a2＋b2，(a－b)2=a2－b2的错误结论并无意识的记忆这个结论；由于公式(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a－b)2=a2－2ab＋b2中的字母a，b本身可以是详细的数、整式、分式等，状况比较困难，尤其是字母a，b是带有数字系数的单项式时，简洁遗忘将数字系数平方，或者做计算时中间项漏乘公式的2倍，因此对于学生来说，运用公式有时会有困难．而作为完全平方公式的应用，教材中引入数字平方计算题，将数字分解成两个数和(或差)的平方，而且这两个数的平方与这两个数乘积2倍必需简洁计算是解题的关键．因此，驾驭完全平方公式的结构特征，是运用公式、解决详细问题的关键．因此本节课的教学难点是：完全平方公式的变式运用．五、教学支持条件分析为了几何图形面积验证公式，可以用几何画板软件演示拼图：大正方形面积=(a＋b)2大正方形面积=a2＋ab＋ab＋b2=a2＋2ab＋b2因此：(a＋b)2=a2＋2ab＋b2(图1)大正方形面积=a2大正方形面积=(a－b)2＋b(a－b)＋b(a－b)＋b2=(a－b)2＋2ab－b2因此：a2=(a－b)2＋2ab－b2(图2)所以：(a－b)2=a2－2ab＋b2大正方形面积=(a＋b＋c)2大正方形面积=a2＋2ab＋2ac＋2bc＋b2＋c2因此：(a＋b＋c)2=a2＋2ab＋2ac＋2bc＋b2＋c2(图3)立方体=(a＋b)3立方体=a3＋3a2b＋3ab2＋b3因此：(a＋b)3=a3＋3a2b＋3ab2＋b3(图4)六、教学过程设计：(一)．小组合作，拼图引课．你能将下面四个纸板拼成一个正方形吗？师生活动：老师提出问题，学生先独立思索，然后学生代表展示拼图过程．若学生感到困难和有怀疑，老师可以指导学生完成．设计意图：通过探究活动，让学生主动热忱地参加课堂教学活动。(二)．数形结合，探究公式．1．拼成的正方形中隐含着一个简洁的等式，你能发觉它吗？或者师生活动：老师提出问题，学生先独立思索，然后同座(或者小组)沟通，学生代表展示结果．若学生有困难，老师可以引导学生解答问题．设计意图：通过探究活动，让学生成为学习的主体。让学生相识完全平方和公式的几何意义，能够使学生更好地理解完全平方和公式．2．你还能用其他的方法得出(a+b)2=a2+2ab+b2吗？师生活动：学生视察和思索，会发觉可以运用多项式乘法法则及合并同类项可以推导出公式．结合活动1的几何图形的拼图，让学生在此过程中体会数形结合的数学思想．设计意图：通过活动1和活动2，让学生经验动手操作(拼图)、视察和比较(几何图形面积的不同的表示方法)、验证(多项式乘法法则及合并同类项)、概括(得出完全平方和公式)的过程，从中加深对“数形结合的思想”的理解．(三)．类比迁移，深化探究1．如何计算：(a－b)2=？（要求：同座间计算方法不一样．）师生活动：学生独立完成后，同座间比较，要求计算方法不一样．同座间进行探讨，用不同方法解决问题．设计意图：让学生用多项式乘法法则及合并同类项得出结论；让学生提高变更完全平方和公式的符号，进行计算．通过比较，让学生体会通过公式计算带来的便利性，以此培育学生的求简意识．2．你能设计一个图形说明公式(a－b)2=a2－2ab＋b2吗？师生活动：学生先独立设计图形，然后同座(或者小组)探讨，完成图形设计．设计意图：通过探究活动，让学生相识完全平方差公式的几何意义，使学生能够更加深刻地理解公式，再一次让学生在探究过程中体会数形结合的思想．(四)．总结公式，奇妙记忆(a＋b)2=a2＋2ab＋b2(a－b)2=a2－2ab＋b2两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或者减去)它们的积的2倍．速记口诀：首平方，尾平方，乘积2倍放中心，符号确定看前方！师生活动：师生共同分析两个公式的特征；并用语言表述公式的内容．设计意图：让学生视察两个公式的异同点，总结记忆公式的方法；让学生将符号语言转化为文字语言，发展学生的数学语言的表达实力；学生在用语言表述公式内容时，可以加深对公式结构特征的理解．(五)．例题学习，运用巩固．例1．运用完全平方公式计算：(4m＋n)2师生活动：师生共同分析解答，老师板书例1，学生板书练习．在解答例1的过程中，老师指导学生要明确本题中的哪一个式子相当于公式中的a，b，然后依照公式，写出完全平方和公式中对应的每一项，在化简得出结果；在解答练习1的过程中，同样留意上述问题．解:(4m＋n)2=(4m)2＋2•(4m)•n＋n2=16m2＋8mn＋n2(a＋b)2=a2＋2•a•b＋b2练习1：（学生板演）(1)(4a－b)2(2)老师假如做错了第一题，猜一猜老师可能错哪了．设计意图：让学生熟识公式的结构特征，找准哪个数或哪个式子相当于公式中的a，b，并运用公式进行计算．同时让学生总结运用公式的阅历，以及运用公式解决问题应留意的事项．练习2：指出下列各式中的错误，并加以改正：(1)(2a−1)2＝2a2−2a＋1;(2)(2a＋1)2＝4a2＋1；(3)(-a−1)2＝-a2−2a−1．师生活动：学生独立思索，并说明答案，对错误的问题相互沟通、订正答案．设计意图：通过正误辨析及纠错、改错，让学生进一步理解完全平方公式的结构特征，并能正确运用公式进行计算．(六)．学生编题，创新培育师生活动：学生自编题目，要求其他同学解答并能给出正确答案！但老师要引导学生可以自编出数字平方进行简捷计算题目．设计意图：让学生活动成为课堂的主体，老师起到引导作用．对于学生自编题目，赐予充分的确定，让学生有成就感；但又要引导他们自编题目多样性，例如数字的平方计算，让学生体会运用公式计算的简捷性，同时使学生将完全平方公式的学问迁移到新的问题情景中，既巩固新知，有培育学生的创新实力，分析实力和解决问题的实力．(七)学问拓展，思维提升猜想：(1).(a＋b＋c)2=？(2).(a＋b)3=？你能设计一个几何图形说明它们吗？师生活动：老师提出问题，学生先独立思索，然后同座(或者小组)探讨给出代数计算结果和设计几何图形．学生有困难，老师指导．设计意图：让学生体会利用公式的求简意识和数形结合的思想方法．体会线段、面积、体积分别对应的代数式的意义．升华主题，培育学生的创建意识，并加深学生对完全平方公式的理解与运用．(八)归纳小结老师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，归纳：(1)本节课学习那些内容？(2)完全平方公式的结构特征？(3)运用完全平方公式的主要事项？设计意图：通过总结归纳，能够让学生归纳本节课的内容，进一步记忆完全平方公式和相识公式的特征，为运用公式积累阅历．(九)布置作业教材习题14．2第2、4、6、7题．六、目标检测设计1．下列变形中，错误的是()(1)(b－4c)2=b2－16c2；(2)(a－2bc)2=a2＋2abc＋4b2c2；(3)(x＋y)2=x2＋xy＋y2；(4)(4m－n)2=16m2－8mn＋n2．A．(1)(2)(