高一上学期期末考试解答题压轴题50题专练（解析版）

高一上学期期末考试解答题压轴题50题专练【人教A版（2019）】1．（2023上·广东汕头·高一校考阶段练习）已知A={(1)若a=-12(2)在①“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；②A∪问题：若__________，求实数a的取值范围构成的集合P.注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个条件的解答计分.【解题思路】（1）利用集合补集和交集的概念求解即可；（2）根据集合的包含关系分情况讨论即可.【解答过程】（1）当a=-12时，A所以A∪B={x|-2<A∩（2）选①“x∈A”是“x∈B”若A=∅，此时2a-若A≠∅，此时a<2，只需解得0≤a所以满足条件的实数a构成的集合P=选②A∪B=若A=∅，此时2a-若A≠∅，此时a<2，只需2a综上所述，满足条件的实数a构成的集合P=选③A∩若A=∅，此时2a-若A≠∅，此时a<2，只需2a显然2a-1≥3即a≥2无解，解综上，满足条件的实数a构成的集合P=a|2．（2023上·上海徐汇·高一上海中学校考期中）已知非空实数集S，T满足：任意x∈S，均有x-1x(1)直接写出S中所有元素之积的所有可能值；(2)若T由四个元素组成，且所有元素之和为3，求T；(3)若S∩T非空，且由5个元素组成，求【解题思路】（1）根据集合S中的元素构成可得集合S中的元素是以x,（2）根据集合T中的元素构成可得集合T中的元素是以y,（3）由（1）（2）可得集合S,T的元素个数分别是以3和4为最小正周期循环，从而根据S∩【解答过程】（1）已知非空实数集S满足：任意x∈S，均有x-1x所以x-1则集合S中的元素是以x,x-又x⋅x-1x⋅1（2）已知非空实数集T满足：任意y∈T，均有y所以y-1y+1则集合T中的元素是以y,y-若T由四个元素组成，则T=y所以y+y解得y=2±5当y=2+5或y=2-5或y综上，T=（3）由（1）（2）集合S,T的元素个数分别是以3和且当x=因而3和4互素，所以S和T中的各组最多只能有一个公共元素，因为S∩T有五个元素，若要使若x0,x0-1x0,11-x0,x若T=y0,y0-1y0+1,-1y0所以S∪T的元素个数最小值为3．（2023下·北京密云·高一统考期末）已知集合S=1,2,⋯,n（n≥3且n∈N*），A=a1,a2,⋯,am，且(1)判断下列集合是否是S=1,2,3,4,5的①A1=②A2(2)若A=a1,a2,【解题思路】（1）理解3元完美子集的定义，并判断两个集合是否满足完美子集的定义；（2）分别设a1=1，a1=2，以及即可求解.【解答过程】（1）①因为2+2=4<5，且4∉A所以A1不是S的3②因为2+2=4<5，且4∈A而5+5>4+5>4+4>2+5>2+4>5，∴A2是S的（2）不妨设a1若a1=1，则a1则集合A的元素个数大于3个，这与3元完美子集矛盾；若a1=2，则a1此时a1=2,a此时a1若a1≥3，则a1+a1≥6则a1+a1=a3综上，a1+a4．（2023上·北京平谷·高一统考期末）设A是正整数集的非空子集，称集合B={|u-v||(1)当A=1,3,6时，写出集合A的生成集(2)若A是由5个正整数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；(3)判断是否存在4个正整数构成的集合A，使其生成集B=【解题思路】（1）利用集合的生成集定义直接求解；（2）设A=a1,（3）假设存在集合A=a,b,c,d，可得d【解答过程】（1）因为A=1,3,6，所以所以B=（2）设A=a1因为a2所以B中元素个数大于等于4个，又A=1,2,3,4,5，则B=1,2,3,4，此时所以生成集B中元素个数的最小值为4；（3）不存在，理由如下：假设存在4个正整数构成的集合A=a,不妨设0<a<b<c<d又d-所以d-若b-a=2，又d-a若d-c=2，又d-a所以c-b=2，又d-a所以d-所以假设不成立，故不存在4个正整数构成的集合A，使其生成集B=5．（2023上·北京东城·高一统考期末）对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为TA=M-m(1)若A={2,3,4,5}，求T(2)若A={1,2,3,⋯,9},Ai=ai,(3)若集合N*的非空真子集A1,A2,【解题思路】（1）根据新定义即可求出；（2）由Ai=ai,bi,ci⊆A,Ai∩Aj=∅(i（3）要n的值最大，则集合的幅值最小，且A1,A2,A【解答过程】（1）由集合A={2,3,4,5}知，M所以TA（2）因为A={1,2,3,⋯,9},Ai由此可知集合A1,A根据定义要让TA则只需TA1,TA4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以TA1+所以有一组A1（3）要n的值最大，则集合的幅值要尽量最小，故幅值最小从0开始，接下来为1,2，因为A1,A不妨设A1是集合N*中只有一个元素的非空真子集，此时TA则A2是集合N*中有两个元素的非空真子集，且TA同理A3是集合N*中有三个元素的非空真子集，且TA⋯⋯An是集合N*中有n个元素的非空真子集，且TAn所以TA1+解得n=11或n所以n的最大值为11.6．（2023上·上海浦东新·高一校考期末）已知集合An=x1,x2,⋯,xnxi∈-1,1i=1,2,⋯,(1)若x=1,1,1,1，写出A4(2)令B=x⊙y|(3)若A⊆An，且A中任意两个元素均正交，分别求出n=8，【解题思路】（1）由定义可写出A4中与x正交的所有元素（2）令δi=1,xi=yi,0,xi≠yi，（3）先考虑n=4时，共有四种互相正交的情况，设这4种情况的排列为z则按x=z1,z2,当n=14时，不妨设y1=(1,1,⋯1)（有14个1），y2=(-1,-1,⋯,-1,1,1,⋯1)（有7个-1，7个1），则y1,y2正交，再令a=(a【解答过程】（1）A4中所有与x正交的元素为-1,-1,1,1,（2）证明：对于m∈B，存在x=x1令δi=1,当xi≠yi时，xi那么m=所以m+（3）n=8时，不妨设x再考虑n=4即1111-11-11则按x1即x=x'=-z所以n=8时，A中最多可以有8n=14时，不妨设y则y1与y假设a=设a，b，c相应位置数字都相同的共有k个，除去这k列外．a，b相应位置数字都相同的共有m个，b，c相应位置数字都相同的共有n个，则a⊙所以m+k=7可得n=由于a⊙可得2m所以除y1综上，n=14时，A中最多可以有27．（2023上·北京昌平·高一统考期末）设有限集合E=1,2,3,⋯,N①对于集合A中任意一个元素xk，当xk≠1时，在集合A中存在元素xi，xj②对于集合A中任意两个元素xi，xji≠j，都有(1)若N=20，集合A=1,2,4,6,8,10，B(2)若N=100，1∈A，100∈A(3)若N∈N*，且N为奇数，集合A为E的开放子集，求【解题思路】对于（1），利用封闭子集，开放子集定义可得答案；对于（2），A=1,x因集合A中任意一个元素xk，当xk≠1时，在集合A中存在元素xi，xji≤j，使得xk=xi+x对于（3），因N∈N*，且N为奇数，当N当N≥3，将E=1,2,3,⋯,N里面的奇数组成集合A，说明集合A为E【解答过程】（1）对于A，因2=1+1，且A⊆E，则A为对于B，由题可得B=4,7,10,13,16,19，注意到其中任意两个元素相加之和都不在B中，任意元素也不是其他两个元素之和，且B⊆E，故（2）由题：A=设1<x因集合A中任意一个元素xk，当xk≠1时，在集合A中存在元素xi，xj得x2=2，3≤x7≤x7≤64.因7≤若m=8，则x8=100，则在A中存在元素x又1<x2<x3得x8=2x7⇒x7又当i<j时，xi+xj≤x6+x5≤48<50，得x7=2x6⇒x6=25，则在当m=9，取A=1,2,4,8,16,32,64,96,100，易得其符合E的封闭子集的定义，故m（3）因N∈N*，且N为奇数，当N当N≥3，将E=1,2,3,⋯,N里面的奇数组成集合因A中每个元素都是奇数，而任意两个奇数之和为偶数，且A⊆E，则A为E开放子集，此时集合A元素个数为N+12.下面说明NN=1时，显然成立；当N≥3，若m>N+12，则A中至少有一个属于E=1,2,3,⋯,N的偶数，设为at，则综上：m的最大值为N+18．（2023上·北京·高一校考阶段练习）设集合A为非空数集，定义A+(1)若集合A=-1,1,直接写出集合A(2)若集合A=x1,x(3)若集合A⊆{x|0≤x≤2023,x【解题思路】（1）根据定义写出集合A+及A（2）由题设得A-={0,x（3）由定义可得A+≥2k-1,|A-|≥k，根据已知及容斥原理有A+∪A-=A++【解答过程】（1）由A=-1-1=-2,-1+1=0,1+1=2，故A|-1-(-1)|=|1-1|=0,|-1-1|=|1-(-1)|=2，故A-（2）由于集合A=x1所以A-中也只包含四个元素，即剩下的x3-x（3）设A=a2a1a1-a因为A+∩A+∪A-中最小的元素为所以A+∪A-≤2当A={675,676,677,设A={m,m+1,m+2,...依题意有2023-m<2m⇒m于是当m=675时A中元素最多，即A综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1349.9．（2023上·浙江湖州·高一期末）已知函数f(x)=(1)若对任意x∈R，不等式g((2)若对任意x1∈[1,2]，存在x2∈[4,5]，使得(3)若m=-1，对任意n∈R，总存在x0∈[-2,2]【解题思路】（1）将不等式g(x)>f(x)（2）将题中条件转化为gx1的值域包含于fx2的值域，再根据区间[1,2]的两端点的函数值g(1),g(2)可得到y=g（3）将不等式gx0-x02+n≥k成立化简得到不等式【解答过程】（1）由题意得x2得x2-解得m∈（2）当x1∈[1,2],g由题意得D∴2≤g(1)=1-2m此时y=g(故g(x)min=g(综上可得m∈（3）由题意得对任意n∈R，总存在x0令hx0=而hx设φ(n)=而φ(易得φ(n)10．（2023上·浙江金华·高一校考阶段练习）（1）已知关于x的不等式ax2+bx+（2）求关于x的不等式ax2-【解题思路】（1）利用韦达定理得b=（2）分类讨论即可.【解答过程】（1）由题意知-2+1代入不等式cx得-2即-2x2-5x所以所求不等式的解集为x∣（2）①当a=0时，不等式为-2x<0，解得②当a>0时，令ax2（i）若Δ=4-4a2≤0，即（ii）若Δ=4-4a2>0，即解得1-1-a2③当a<0（i）若Δ=4-4a2<0，即（ii）若Δ=4-4a2=0，即解集为-∞（iii）若Δ=4-4a2>0，即综上所述，a<-1时，不等式解集为R-1≤a<0a=0时，则不等式解集为0,+0<a<1时，则不等式解集为a≥1时，此时不等式解集为∅11．（2023·全国·模拟预测）已知x,y,(1)求证：yx(2)求x2【解题思路】（1）通过yx+x≥2yyx+x+z再根据0<x<1，0<y<1，∴x>x（2）先用公式x+y+1+3xy+2yz+2xz，再用x+【解答过程】（1）因为x,所以yx以上三式相加得yx所以yx+z因为x,y,z∈0,+∞，且x所以yx故yx（2）x23=3当且仅当x=y=x2+y12．（2023上·江苏·高一阶段练习）设函数f(（1）若关于x的不等式fx≥-2有实数解，求实数（2）若不等式fx≥-2对于实数a∈（3）解关于x的不等式：f(【解题思路】(1)将给定的不等式等价转化成ax2+(1-a)(2)将给定的不等式等价转化成(x(3)将不等式化为ax2【解答过程】(1)依题意，fx≥-2有实数解，即不等式当a=0时，x≥0有实数解，则当a>0时，取x=0，则ax2+(1-当a<0时，二次函数y=ax2+(1-a综上，a≥-1所以实数a的取值范围是a≥-1(2)不等式fx≥-2对于实数a∈显然x2-x+1>0，函数g(a)=(x2所以实数x的取值范围是{1}；(3)不等式f(当a=0时，x当a>0时，不等式可化为(x+1a当a<0时，不等式可化为(当-1a=1，即a当-1a<1，即a<-1时，当-1a>1，即-1<a所以，当a=0时，原不等式的解集为(-∞,1)当a>0时，原不等式的解集为(-当-1≤a<0当a<-1时，原不等式的解集为(-∞,-13．（2023上·辽宁丹东·高一校考阶段练习）已知不等式2≤ax(1)若a>0，求6(2)若a>0，且不等式ax2+b(3)若a≠0解关于x的不等式：a【解题思路】（1）由题意可得不等式ax2+bx+c≤3的解集为x2≤x≤3，且不等式（2）结合（1）可得ax2-5ax+6a+1≥0恒成立，可得0<a（3）当a>0时，结合（1）得(ax-1)(x-5)<0，然后分0<a<15，a=15和15【解答过程】（1）因为a>0，不等式2≤ax所以不等式ax2+bx+c≤3所以方程ax2+bx+所以2+3=-ba2×3=c-所以6b（2）由（1）可知b=-5a，所以不等式ax2+由（1）知等式ax2+所以ax所以a>0Δ=25不等式ax2+所以[ax-(6因为不等式ax2+所以7≤6+3a<8综上，a的取值范围为32（3）若a>0，则由（1）可知ax2即(ax当0<a<15时，当a=15当15<a≤4时，若a<0，则不等式ax2+bx+c所以方程ax2+bx+所以2+3=-ba2×3=所以不等式ax2+所以ax所以a<0Δ=25所以所求不等式为ax解得x<1a或x当a=0,b>0时，2所以所求不等式ax当a=0,b<0时，2所以所求不等式为ax2+综上，当-4≤a<0当a=0,b>0当a=0,b<0当0<a<1当a=15当15<a14．（2023上·浙江台州·高一校考阶段练习）已知函数y=ax(1)y<3-2x恒成立，求实数(2)当a>0时，求不等式y(3)若存在m>0使关于x的方程ax2【解题思路】（1）将不等式化为ax2-ax-（2）分别在a=2、a>2和（3）由基本不等式可求解得t=m+1m+1≥3，根据题意，将题中条件转化为a【解答过程】（1）由y<3-2x得ax当a=0时，-当a≠0时，则a<0Δ综上所述：实数a的取值范围为-4,0（2）当a>0时，y令ax-2x-1当2a=1，即a=2时，y=2x-1当0<2a<1，即a>2时，不等式当2a>1，即0<a<2时，不等式综上所述：当a=2时，不等式的解集为R当a>2时，不等式的解集为-当0<a<2时，不等式的解集为（3）当m>0时，令t当且仅当m=1依题意可得关于x的方程a|令u=|x|，则转化为存在t即au则Δ=a+22-由Δ>0知，存在t≥3使不等式把t看成主元代入t=3，故4a×3+解得a<-4-23或a>-4+2故实数a的取值范围是aa15．（2022上·福建厦门·高一校考阶段练习）已知函数fx=ax+(1)解关于x的不等式a(2)已知gx=mx+7-3m，若对任意的x1∈2,3【解题思路】（1）先由题意得到ax2-3x+2<0解集为x1<x<b，根据不等式解集的特点可求得a,（2）由题意可知y=xfx的值域是gx的值域的子集，故先利用二次函数的图像性质求得y=xfx的值域，再对gx分类讨论m【解答过程】（1）因为fx所以xfx<4可化为ax因为不等式xfx<4的解集为x1<x<将x=1代入ax2-3再由韦达定理得1×b=2所以ax2-ac+当c>2时，不等式解得2<x<当c=2时，不等式为x-2当c<2时，不等式解得c<x综上：当c>2时，不等式解集为x当c=2时，不等式解集为∅当c<2时，不等式解集为x（2）因为对任意的x1∈2,3，总存在x2∈所以y=xfx由（1）得xfx所以y=xfx开口向上，对称轴为x=3当x=2时，y=xfx=22-3×2+6=4当m>0时，gx在1,4上单调递增，故g1所以由数轴法可得7-2m<4m+7≥6，解得当m=0时，g当m>0时，gx在1,4上单调递减，故g4所以由数轴法可得m+7≤47-2m>6，解得综上：m>32或m16．（2023上·江苏苏州·高二校考期中）已知一元二次不等式x2（1）若不等式的解集为(-∞,2)∪(3,+∞)，求不等式ax（2）当b=a-（3）当b=1时，求不等式x2【解题思路】（1）依据题意可知2,3是方程x2-ax+（2）将b=a-1（3）把b=1代入，然后转为函数动轴定区间的问题，进行计算【解答过程】（1）4-2a+b所以不等式ax2-bx+1<0（2）当b=a-1当a=2时，不等式x2-当a>2时，不等式x2-当a<2时，不等式x2-（3）当b=1时，不等式x2-令f(当a2<1时，即a<2，f又f(1)=2-a>0，所以x当a2=1时，即a=2，f又f(1)=0，所以x2-当a2>1时，即a>2，f(x)=x2-ax+1所以x2-ax综上：当a≤2时，不等式组的解集为(1,+∞)当a>2时，不等式组的解集为(17．（2023上·北京朝阳·高一统考期末）设全集U={1,2,⋯,n}n∈N*，集合A是U的真子集．设正整数t≤n①t∈②∀a∈A,∀b③∀a∈A,∀b(1)当n=6时，判断A={1,3,6}是否为U的(2)当n≥7时，若A为U的R(7)子集，求证：(3)当n=23时，若A为U的R(7)子集，求集合【解题思路】（1）取a=1,b=2，由ab=2∉A不满足性质②可得A（2）通过反证法，分别假设1∈A，2∈A的情况，由不满足R(7)（3）由（2）得，1∈∁UA，2∈∁UA，7∈A，再分别假设3∈A，4∈A，5∈A，6∈A四种情况，由不满足【解答过程】（1）当n=6时，U={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,6}取a=1,b=2，则ab=2∈U所以A={1,3,6}不是U的R(3)（2）当n≥7时，A为U的R则7∈A假设1∈A，设x∈取a=1,b=x，则ab=所以1∉A，1∈假设2∈A取a=2,b=1，a+b再取a=2,b=3，ab再取a=6,b=1，a但与性质①7∈A所以2∉A（3）由（2）得，当n≥7时，若A为U的R(7)子集，1∈∁UA所以当n=23时，U若A为U的R(7)子集，1∈∁UA，若3∈A，取a=3,b=1，a+再取a=3,b=4，a+b则3∉A，3∈若4∈A，取a=4,b=3，a+b=7∈U，则若5∈A，取a=5,b=2，a+b=7∈U，则若6∈A，取a=6,b=1，a+b=7∈U，则取a=7,b=1,2,3,4,5,6，a+b取a=7,b=2，ab取a=14,b=1,2,3,4,5,6，a+b取a=7,b=3，ab取a=21,b=1,2，a+b综上所述，集合A=18．（2023上·天津·高一校联考期中）设函数f(（1）若不等式fx>0的解集为-1,3（2）若f(1)=4, b（3）若b=-a-3,【解题思路】（1）根据不等式与相应的方程之间的关系得出关于a,b的方程组，求解可得出（2）由f1=4,得a+（3）由已知将不等式f(x)<-4x+2化为ax2-(a+1)x+1<0，即x-1ax【解答过程】（1）由不等式fx>0的解集为-1,3可得：方程ax2+b由根与系数的关系可得：a=-1所以2（2）由已知得f1=4,1a当a>0时，aa=1，所以1当a<0时，aa=-1，所以1所以1a+a（3）由f(x)<-4又因为b=-a-3,所以不等式f(当a<0时，1a<1，原不等式若a>0，原不等式⇔(x-1a（1）当a=1时，不等式(x-（2）当a>1时，1a<1，不等式(（3）当0<a<1时，1a>1，不等式综上所述，不等式的解集为：①当a<0时，xx<②当0<a<1时，③当a=1时，∅④当a>1时，x故得解.19．（2023上·上海闵行·高一校考阶段练习）已知二次函数fx(1)若等式ax-12+bx-1(2)证明：ac<0是方程f(3)若对任意x∈R，不等式fx≥2【解题思路】（1）解法1：由ax-1解法2：在ax-12（2）根据充要条件的定义证明．证明必要性和充分性．（3）由二次不等式恒成立，转化参数关系，代入b24【解答过程】（1）解法1：2x由ax-1故a-解法2：在ax-12+（2）证明必要性：由于方程ax2+bx+c=0（a，b，∴Δ=b2-4ac充分性：由ac<0可推出Δ=b2-4ac则x1x2=c∴方程ax2+bx+c=0（a，因此ac<0是方程fx（3）若对任意x∈R，不等式整理得：ax2+b-所以a>0Δ=所以b2令t=ca-1若t=0时，此时b2若t>0时，b当且仅当t=2时，即综上：b24a20．（2023下·湖南·高二校联考期末）已知函数fx(1)若fx在定义域上单调递增，求a(2)若fx≤x3【解题思路】（1）根据导数与单调性的关系，建立不等式，利用参数分离的解题方法，将不等式恒成立问题转化为，函数求最值问题，可得答案；（2）根据不等式构造函数，并明确函数的最值，利用最值与极值的关系，求得参数的值，得到具体函数，并利用导数验证最值的真假，可得答案.【解答过程】（1）依题意可知，f'x=-e1-x设hx=xe1-x,h'则hx在0,1上单调递增，在1,+故hx≤h1（2）设gx=fx-x3=由g'下证明当a=4时，恒有g注意到g'x=-e1-由（1）可知xe因此u'当0<x≤4时，6x3-因此∀x>0,6x3-x+4>0因此x∈0,1时，g'x>0,g即gx≤21．（2023下·北京朝阳·高一统考期末）设m,n∈N*，已知由自然数组成的集合S=a1,a2,⋅⋅⋅,aχ=x11x12⋅⋅⋅x1mx21x22⋅⋅⋅x(1)若m=3，S={1,2,3}，且χ=101011(2)若S={1,2,⋅⋅⋅,n}，集合S1，S2，…，S(3)若m=7，S={1,2,⋅⋅⋅,7}，集合S1，S2，…，S7中的元素个数均为3，且S【解题思路】（1）根据χ=10（2）将问题转化为S={1,2,⋯,n}至少有3（3）由dai=xi1+xi2+⋅⋅⋅+xim(i=1,2,⋅⋅⋅,【解答过程】（1）根据χ=1010111（2）设ai∈S则d(ai所以S={1,2,⋯,n}当n=1时，S当n=2时，S={1,2}，其非空子集只有当n=3时，S={1,2,3}，元素个数为1的非空子集有元素个数为2的非空子集有{1,2},{2,3},{1,3}．当{S1,当{S1,当n=4时，S={1,2,3,4}，令则χ=11所以n的最小值为4（3）由题可知，Sj={i|x则|Sj|=x1因为d(i)=xi所以d(1)+因为d(i)≤所以d(当S1S5χ=d(所以d(S)22．（2023上·上海金山·高一统考期末）已知函数y=fx的定义域为D，区间M⊆D，若存在非零实数t使得任意x∈M都有x+t(1)已知fx=x，判断函数y=f(2)已知n>0，设gx=x2，且函数y=g(3)如果函数y=hx是定义域为R的奇函数，当x≥0时，hx=x-a2【解题思路】（1）根据题意结合函数单调性分析运算；（2）根据题意整理可得2nx+n（3）根据函数的单调性，先取特值x=-a2，可求得-1<a<1，再证明当【解答过程】（1）数y=fx为区间-由题意可知：fx=x对∀x∈-1,0，则故函数y=fx为区间-1,0（2）若函数gx=x2是区间可得对∀x∈-4,-2，则可得2nx+n则-8n+故实数n的取值范围为8,+∞（3）由题意可得：hx∵函数y=hx是定义域为当x<0时，则h故hx可得hx在-∞,-注意到h-故当x∈-∞,3a2时，若函数y=hx为R上的4-增长函数，则对∀x取x=-a2，即h-a2+4若a2<1，即①当x∈-∞,-a2-故hx②当x∈-a2-∵hx在-a2则hx且hx在-a2故hx③当x∈-3可得hx注意到hx在a故hx④当x∈-a注意到hx在-a2可得hx⑤当x∈a2,+∞时，则x可得hx综上所述：当a∈-1,1时，对∀故实数a的取值范围为-1,123．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）已知函数f(x)=ax(1)求函数f((2)判断并证明f(x)(3)若存在实数x∈[-1,2]，使得不等式4[f【解题思路】（1）根据奇函数的性质求出函数的解析式，再利用奇函数的定义进行验证即可；（2）利用函数单调性的定义进行判断证明即可；（3）利用换元法，结合二次函数的性质进行求解即可.【解答过程】（1）∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴由f(-x)+f(x)=0又f(2)=14，∴2b8（2）任取-2<x1∵-2<x1<x2<2，∴x∴(x2-x1)(x1（3）由（2）知f(x)在[-1,2]上单调递增，f(令f(x令h(t)=4t2-t+1=424．（2023上·广东揭阳·高一统考期末）已知fx=4x-ax2+(1)求a、b的值；(2)判断fx在2,+(3)设gx=mx2-2x+2-m【解题思路】（1）利用奇函数的性质可得出f0=0，再结合f2=1可求得a、（2）判断出函数fx在2,+∞上为减函数，然后任取x1、x2∈2,+∞（3）记fx在区间2,4内的值域为A，gx在区间0,1内的值域为B，将问题转化为A⊆B时求实数m的取值范围，利用单调性求出f(x)的值域，分m=0、【解答过程】（1）解：因为函数fx=4x-ax则fx=4xx2+b，则f对任意的x∈R，x2+4≥4，故函数则f-x=因此，a=0，b（2）解：函数fx在2,+任取x1、x2∈2,+∞且x1>则fx所以，fx1<fx2（3）解：若对任意的x1∈2,4，总存在x则函数fx在2,4上的值域为函数gx在因为函数fx在2,4则当x∈2,4时，fx所以，记fx在区间2,4内的值域为A①当m=0时，gx=-2则gxmax=g0=2，gx因为A⊆B，所以对任意的x1∈2,4，总存在②当0<m≤1时，1m≥1，gx则gxmax=g0=2-m，g因为A⊆B，所以对任意的x1∈2,4，总存在③当1<m≤2时，12≤1m<1则gxmax=g0=2-mB=-1④当m>2时，0<1m<12，则gxmax=g1=0，gxmin综上，实数m的取值范围为0,1.25．（2023上·云南曲靖·高一校考期中）已知fx=m（1）求m的值；（2）求函数gx=fx-【解题思路】（1）根据函数是幂函数知m2-2m-7=1，求解后根据函数在0,+∞上单调递增即可求m（2【解答过程】（1）fx∴m2-2m-又fx在0,+∞∴m-∴m的值为4；（2）函数gx当a<52时，gx在区间当52≤a≤92时，当a>92时，gx在区间26．（2023下·四川泸州·高一统考期末）已知函数fx(1)判断函数fx(2)设函数gx=loga4x+4-x+2-【解题思路】（1）根据奇函数的定义可求得m=-1（2）利用换元t=fx，根据对数函数的性质分析可得：t2-at+4>0当【解答过程】（1）因为函数fx=2即2x+m又因为2x>0,2所以1+m=0，解得m=-1可知函数fx任取x1,x因为y=2x可得12x1则2x1-所以函数fx在定义域内单调递增（2）令t=fx，由（1）可知fx在即t=fx可得4x由题意可知：t2-at当t=0时，则4>0，符合题意，所以a当t≠0时，则t+4因为t+4t≥2t所以0<a<4且综上所述：0<a<4且当0<a<1，则y=可知当t=83时，y且y=则loga1009-8当1<a<4时，则y=可知当t=a2时，y且y=则loga4-a24=1，可得综上所述：a的值为2527．（2023上·江苏扬州·高一统考期末）已知函数fx(1)若a=0，判断函数y(2)若函数fx在R上是增函数，求实数a(3)若存在实数a∈-2,2，使得关于x的方程fx【解题思路】（1）根据函数奇偶性的定义进行求解证明即可；（2）根据绝对值的性质，结合二次函数的单调性进行求解即可；（3）根据（2）的结论，运用分类讨论法，根据函数的单调性进行求解即可.【解答过程】（1）当a=0时，fx=所以f-所以函数y=（2）fx=x2+2-2a当x<2a时，y=所以当a-1≤2a≤a即-1≤a≤1时，函数y（3）方程fx-tf2①当-1≤a≤1时，函数y=fx在②当a>1时，即2a>a+1>a-1时，y=fx在-∞,a+1上单调递增，在a设ha=14a+1a+2，因为存在实数a∈-2,2，使得关于x的方程③当a<-1时，即2a<a-1<a+1，y=fx在-∞,2a上单调递增，在2a,a-1上单调递减，在a-1,+∞上单调递增，则当fa+1<tf2a<综上：1<t28．（2023下·山西运城·高二统考期末）已知fx(1)证明：fx关于x(2)若fx的最小值为（i）求a；（ii）不等式fmex【解题思路】（1）代入验证f(（2）利用单调性的定义证明函数的单调性，即可结合对称性求解a=2，分离参数，将恒成立问题转化为m>ex【解答过程】（1）证明：因为fx所以f(2-x所以f(x)=f(2-x（2）（ⅰ）任取x1,f==(∵1<x1<x∴f所以f(x)在1,+∞上单调递增，又f(x所以f(所以a=2（单调性也可以用单调性的性质、复合函数的单调性判断、导数证明）（ⅱ）不等式f(等价于(m(即m>e令F(x)=令ex+2=n,n因为n∈2,+∞,n所以gn所以m>5229．（2023上·重庆永川·高一校考期末）已知函数fx对于任意实数x,y∈R恒有fx+(1)判断fx(2)求fx在区间-(3)解关于x的不等式：fa【解题思路】(1)令x=y=0,得f(2)先证明单调性，利用单调性求解即可；(3)先化为fax2+2【解答过程】（1）fx函数fx的定义域为R，关于原点对称，令x=y=0得f令y=-x得fx+f-x（2）任取x1,x2∈-∞,+∞，且x1fx2-fx1=所以fx在区间-4,4的最小值为因为f1=1，令x=令x=2，y=2得fx在区间-4,4的最小值为（3）由fa得fa由f2=2得由fx在R上单调递增得ax2+2>2x当a=0时，-2x+2>0，解得x<1当a<0时，x-2ax当a>0时，x当a=2时，(x-当0<a<2时，2a当a>2时，0<2a综上所述：当a=0时，解集为-∞,1；当a当a=2时，解集为x|x≠1；当当a>2时，解集为-30．（2023上·安徽铜陵·高一统考期末）已知函数f(（1）若a=1，求函数φ（2）若g(x)≥f(（3）若x∈[1,6]，求函数h(【解题思路】（1）a=1时φ(x（2）将不等式g(x)≥（3）f(x),g(x)图象分别是以(2a-【解答过程】（1）因为a=1，所以φ所以当x=1时，φ(x（2）因为g(x)≥所以x-a+1≥|所以(x即2ax≥3a所以{a≥02所以a∈[0,2]（3）h(f(x),g(开口向上的V型线，且两条射线的斜率为±1，当1≤2a-1≤6时，即1≤此时令f(a)=若a∈[1,2)，|1-a|<1所以h(x)对应如下图：

若a∈[2,72即2a-x所以h(此时h(

当2a-1<1时，即a此时令f(a)=若a∈(-∞,0)时，|1-a|>1即x-2a所以h(此时h(

若a∈[0,1)时，|1-a|≤1所以h(x)对应如下图：

当2a-1>6时，则a>7令|x-2a+1|=|当x=6时，a若a∈(72所以h(x)对应如下图：

若a∈[143所以h(x)对应如下图：

若a∈[6,+∞)，则2所以h(x)对应如下图：

综上所述：h(h(31．（2023上·北京·高一校考期末）已知函数fx(1)若函数Fx=fx+(2)当a>0且x∈0,8时，不等式f(3)试求函数Gx=fx+1【解题思路】（1）根据函数的奇偶性的定义计算即得.（2）根据已知结合单调性得∀x∈[0,8]，x（3）令t=2x，把问题转化为二次函数φ【解答过程】（1）依题意，F(x)=2x+a即∀x∈R，2-x+a⋅2若函数F(x)是奇函数，则F(-x整理得(a-1)(2x所以F(x)是偶函数，a=1，（2）函数f(x)=不等式f(依题意，∀x∈[0,8]，g(x)=显然无解，所以a的取值集合是∅.（3）函数G(x)=2x当a=0时，函数φ(t)在当a≠0时，φ(t当a>0或-1≤a<0时，函数φ(当a<-1时，则当t=-1a时，所以H(32．（2023上·辽宁大连·高一期末）已知函数fx=(1)直接写出x>0时，g((2)a=2时，Fx=f(3)若g(2)=52，f(【解题思路】（1）根据基本不等式可以判断g(（2）判断Fx（3）由题意，求出α的值，将f(g(x))存在两个个零点转化为f(t)【解答过程】（1）因为x>0，所以x所以g(当且仅当xα=1所以当x>0时，g(x（2）a=2时，Fx=当a=2时，f令t=2所以函数t在1,32上单调递增，又因为y=所以Fx=log所以F1=log所以F1又F32=log3则F3所以F1Fx=log所以F(x)在（3）由g(2)=2α则g(f(g(x))存在两个零点等价于f(t令G(则G(x)=ax2-（i）零点为-2和2，代入解得a（ii）当a>0，对称轴x则只需G(2)=4解得a∈(（iii）a=0，G（iv）a<0，对称轴x则只需G(2)=4解得a∈(-2-综上所述，a∈(-2-33．（2022上·福建泉州·高一泉州七中校考期中）已知定义在R的函数fx满足：①对∀x，y∈R，fx+y=fx(1)求f0，判断并证明f(2)若∃x∈-1,1，使得fx(3)解关于x的不等式fa【解题思路】（1）利用赋值法令x=y=0，求得f（2）利用单调性得到fx在-1,1上的最值，结合不等式的存在性问题得到对∀a看成关于a的一次函数恒成立问题即可求解；（3）利用赋值法得到f-2=7由单调性得到ax-2【解答过程】（1）令x=y=0，得f令x1<x则fx因为x>0时，fx<1，所以x所以fx在R故fx单调递减区间为R，无单调递增区间（2）由（1）知，x∈-1,1又f1=-2，则x∈因为∃x∈-1,1，使得所以fxmin≤即对∀a∈-设ga=-2am则对∀a∈-即g-1=m2故实数m的取值范围为-∞（3）令y=-x，得又知f0=1，即fx因为f1=-2，所以f-不等式fax2即fax2-2-又因为fx+y故fax2因为fx在R上单调递减，所以a即ax2-a+2①a>2时，0<2a<1，解得②0<a<2时，2a>1，解得③a=0时，解得x④a<0时，2a<0<1综上所述：不等式faa>2时，解集为-∞0<a<2时，解集为a=0时，解集为-a<0时，解集为234．（2023上·上海·高一校考阶段练习）对于定义域在R上的函数y=f(x)，定义g(x)=f(x)-f(0)x．设区间I=(-∞,0)∪(0,+∞)(1)判断函数y=-2x,x∈(2)若非常值函数y=s(x),x∈R是奇函数，求证：y=s(3)若函数y=m⋅2x-2022x与函数y=-m【解题思路】（1）根据题意，由g1（2）根据题意，由“T函数”的定义，分别验证其充分性以及必要性，即可证明；（3）根据题意，由“T函数”的定义可得，若y=fx，y=gx均存在“T函数”，则y=【解答过程】（1）gx=fx-f0x=因此g1>g2，则该函数不存在“（2）充分性：若sx=kx任取x1<x2，gx1≤g必要性：因为y=sx是奇函数，则s因为y=sx，x∈R是一个所以gx=s当x1<x2时，则所以s-x1所以-sx1-x即sxx是一个常数，设为k，则（3）假设y=fx，y=gx均存在“则fx1-则fx则y=fx+gx因此y=m2x-2令hx=m且h-则hx是定义在R由（2）可知，存在k使得m2x-又m=0时，若函数y=-2022x与函数y=x均为“综上可知，m=035．（2023上·辽宁大连·高一期末）若函数f(x)在定义域R上满足f(x)+f(y)=f(1)求证：函数f(x(2)若在区间-1,1上，f(x)+g(（i）求函数f(x)和函数g(（ii）若关于x的不等式g(x1)-g(x2)af(x【解题思路】（1）令x1>x（2）（i）由题设函数f(x)为奇函数，且-f(x)+（ii）根据题设可得h(x)=g(x)-af(x)在-2≤【解答过程】（1）任取x1,xf(因为x1>x2，所以x所以函数f(x（2）（i）令f(x)+f(y)=令y=-x，f(x)+f(-所以函数f(x由f(x)+联立两式，可得f(所以g(x)=-x2令1<x≤2，则0≤2-x令-2≤x<-1，则1<-综上，g(对f(x)在-2,-1)∪则f(x)=a+b（ii）g(x1则h(x)=g(若-2≤-4-a2<-1，即0<a≤2若-1≤-4-a2<0，即2<即h(x)在定义域x综上所述，t=36．（2023上·吉林长春·高一校考期末）已知函数fx=(1)求t的值；(2)求fx(3)若f42x+4-【解题思路】（1）运用偶函数的定义和对数的运算性质，结合恒等式的性质可得所求值；（2）运用对数运算性质及均值不等式即可得到结果；（3）先证明函数的单调性，化抽象不等式为具体不等式，转求函数的最值即可.【解答过程】（1）因为fx所以f-x=所以4tx=log因为x不恒为0，所以4t+1=0，故（2）由（1）得，f=log因为3x>0，则3x+1所以log93x+1（3）因为fx任取x1,x所以3x因为x1,x2∈所以3x1-所以log93x1+又因为fx为偶函数，f所以42当x=0时，2≥0恒成立，则m当x≠0时，4x-设ux当且仅当4x-4由复合函数的单调性易得y=4x且当x=0时，y=0<2，当x所以4x-4所以u(x)min=2综上，-237．（2023下·浙江舟山·高二统考期末）已知函数fx=x2+2x(1)求fx的值域（用a(2)求a+(3)若存在实数b，使得gfx-【解题思路】（1）利用函数的单调性即可得出结论；（2）由题意可得2-log2b>0b>0且（3）由gfx-3logba≥3可推出gfx≥g【解答过程】（1）因为fx=x当x→0+时，fx→1+所以fx的值域为1+（2）因为2-log2b>0b由（1）知，flog所以a+b=b+（3）gfx-3log此时2fx-4>0和f2①当1<b<4时，令x→+所以gfx≥②当0<b<1时，因为fx>1+a此时gx=log所以gfx≥g3综上所述，a的取值范围是1,4．②解法二：当0<b<1时，所以log2此时gf即gfx≥综上所述，a的取值范围是1,4．38．（2023下·云南保山·高一统考期末）已知函数fx=loga1-x+3，（a>0(1)求函数fx(2)求函数Fx(3)若关于x的不等式m+log31+x1-【解题思路】（1）将P-（2）利用g(0)=b-230+1（3）分离参数得m<3+log3(1-x)21+x，令【解答过程】（1）由题意，f(x)过点(-2，所以f(x)=（2）∵g(x)为∴g(0)=b-230+1且g(-故此时gx又F(令F(x)=0，则3x-1-2（3）由m+log3得m<3+log3令t=1+x，令y=3+设n=t+4t-4而y=3+y=3+log3∴y=3+若关于x的不等式m+log31+x又∵m为正实数．∴m∈(0,3]39．（2023下·浙江·高一台州中学校联考期中）已知函数fx(1)求m的值；(2)若gx=4fx，a>0，b∈【解题思路】（1）利用偶函数的定义结合对数运算可求得实数m的值；（2）分析函数gx在-12,1上的单调性，令t=gx∈2,52，ba=m【解答过程】（1）因为fx所以，f=log因为函数fx为偶函数，则f-x所以，m-1=-m（2）由（1）可得f=loggx任取x1、x2∈-1gx当-12≤x1所以，gx1-当0<x1<x2所以，gx1-所以，函数gx在-12令t=gx∈2,再令ba=m，所以，m（i）当m≤0时，左边≤1，右边≥2（ii）当m>0①当m≥52时，则m当t=2时，上述两个不等式等号同时成立，满足题意，则4m+1≥m-②当0<m≤2时，有所以，m≥当2≤t≤5由基本不等式可得t-当且仅当t=2+1时，等号成立，故y=1所以，m≥2-③当2<m<5综上所述，m的取值范围是2-12,+∞40．（2023上·浙江·高一校联考期末）已知函数fx=ln(1)若方程fx=ln(2)设a>0，若对任意b∈14,1，当x1，【解题思路】（1）依题意可得(a-3)x2（2）易知函数f(x)=ln(1x+a【解答过程】（1）由ln1x+即[(当a=3时，x当a=2时，x当a≠2且a≠3时，若x1是原方程的解，当且仅当1x1若x2是原方程的解，当且仅当1x2故当x1是原方程的解，x2不是方程的解，则a当x2是原方程的解，x1不是方程的解，则a于是满足题意的a∈综上，a的取值范围为1,3（2）不妨令b≤x1由于y=lnx所以函数fx=ln1x+a在[因为当x1，x2∈[b,故只需ln1即3ab2因为a>0，所以函数gb=3a故gx在b∈14,1上单调递增，当b由15a16-14≥0，得41．（2023上·甘肃定西·高一统考期末）已知函数fx=2sinωx+φ(1)令gx=f(2)是否存在实数m满足对任意x1∈-1,1，任意x2∈R，使【解题思路】（1）由周期求得ω，由对称点坐标求得φ得解析式f(x)（2）求得由余弦函数性质求得f(x2)的最大值为2，问题转化为4x1+4-【解答过程】（1）∵fx的最小正周期为函数fx的图象关于点π∴πφ<∴fx=2sin2∵g-x=2（2）由（1）可知fx∴实数m满足对任意x1∈-使得4x即4x令y=4x那么4∵x可等价转化为：t2+mt+5>0令ht=t∴①当-m2≤-32②当-32<-m2<3③当32≤-m2，即m≤-3综上可得，存在m，且m的取值范围是-2942．（2023下·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）函数f(x

(1)求fx(2)若∀x∈-π4(3)求实数a和正整数n，使得函数F(x)=f(x【解题思路】（1）根据图象中特殊点的坐标，结合余弦型函数的周期公式进行求解即可；（2）根据余弦型函数的单调性，结合换元法、二次函数的性质进行求解即可；（3）根据函数零点的定义，结合余弦型函数的有界性分类讨论进行求解即可.【解答过程】（1）由图可得34∵函数f(x)=∴cos2⋅π12+φ=1又|φ|<π2，∴（2）∵x∈-π4,π4令t=f(由二次函数图像可知只需g-12=1所以m的取值范围为[0,3（3）由题意可得y=f(x)的图像与直线y=a在0,①当a>1或a<-1时，y=fx②当a=1或a=-1时，y=fx若此时y=fx的图像与直线y=a在0,③当-1<a<32或32<a<1y=f(x)的图像与直线y④当a=32时，y=f(x此时n=1011，才能使y=f(x)的图像与直线综上可得，当a=1或a=-1时，n=2023；当a43．（2023下·江西上饶·高一统考期末）已知函数fx(1)求函数fx(2)若gx=fx+fx+π(3)若函数Fx=-f2x+π8+a【解题思路】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简，结合三角函数增区间求法计算即可；（2）根据题意写出函数，结合平方关系进行换元，结合新元范围与二次函数的知识求解最值，得到2x（3）将原题意转化为a=sin2x+2+【解答过程】（1）f==令-π得-∴函数fx的单调递增区间为（2）g=令sin2则sing可得，当t=1即sin2x当t=-2即sin∵存在x1,x2∈∴gx1为gx的最小值，g∴sin2x1∴2x∴x1（3）令Fx方程可化为a=令sin2x+2=当a+4=8时，m=1，sin2x=-1，此时函数F∴a=4，n当a+4∈163,11sin2x在-1,0或0,13内有一取值，则此时函数F当a+4=112时，m=2,sin2x∴a=32当a+4=163时，m=3或73，sin2x=1或当a+4∈27,163时，m在73,7则此时函数Fx在0,nπ当a+4=27时，m=7，sin2x=7综上所述，a=4，n=2023，或a=44．（2023下·四川成都·高一统考期末）已知函数fx=3sinxcosx+12sin(1)若fα=0，求(2)若对任意x2∈-π2,π6【解题思路】（1）利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，从而由f（2）利用三角函数的图象变换规律求出函数g(x)的解析式，根据题意，将所给条件转化为h(x【解答过程】（1）f==32sin若fα=0，则∴2α-π6（2）gx当x∈0,π2时，若对任意x2∈-π2则函数hx,x∈hx令t=cosx当m≤0时，3ptpt在t∈0,1时单调递减，则p由题意得4m-1≥-12当0<m<1p(p(pt在t∈0,3mp0由题意得m≤1m-又0<m<1当13≤m<2ptpt在t∈0,p0由题意m≤11-2m又13≤m当m≥23时，1≤ptpt在t∈0,1时单调递减，则p由题意得1-2m≥-1又m≥23综上可得，1845．（2023下·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）已知直角梯形ABCD，AD//BC，∠ABC=∠ADE=π2，AB=1，扇形圆心角∠BAE

(1)写出px(2)用tanx2表示梯形ABCD的面积tx(3)设f(x)=p(x)s【解题思路】（1）根据锐角三角函数，以及扇形的面积公式即可求解，（2）根据二倍角公式即可得tx=2tanx（3）利用和差角公式，以及tanα>α>sinα【解答过程】（1）由题意可得AD=所以px如图：在单位圆中，设∠AOB=x则S△由于S△AOB<S扇形因此px

（2）tx方法一：由1=tan所以tx由于x∈0,π2故tx方法二：由于tx令gx=sin由于x∈0,π故g'因此gx在x∈0,π因此tx（3）方法一：由于f所以fα==由于0<α<α故φsinαfα因此f(方法二：：f(记m(x)=m'(x)=cosx-xsinx-cosx由于0<α<α46．（2023下·江西抚州·高一校联考期中）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-1(ω>0,