高中数学一轮复习 函数的概念

第2.4章函数的概念与性质

2.4.1函数的概念

鳖课程要求了修♦求心中有敷

1通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，

在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念

高中要求中的作用；

2了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；

3学会运用函数图象理解和研究函数的性质。

LJ基础知识夯实基.，■立完整知识体系

一函数的概念

1概念

设4、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系「使对于集合A中的任意一个数X,在集合B中都有唯

一确定的数/（久）和它对应，那么就称f：A-B为从集合4到集合B的一个函数.记作：y=/（>）,xeA.其

中，久叫做自变量，x的取值范围力叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合

｛/（x）|xe4｝叫做函数的值域.

比如贵哥西藏骑旅中，以15k根优的速度从大理去相距180km的丽江，出发t小时后行驶的路程是ska,

则s是t的函数,记为s=12t,定义域是也|0WtW12｝,值域为｛s|OWsW180｝.对集合｛t|0Wt42｝中的任

意一个实数，在集合｛s|0<s<180｝中都有唯一的数s=12t和它对应.

对函数概念的理解

①“4B是非空的数集”，一方面强调了4B只能是数集，即4B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义

域、值域都不能是空集.

②函数中，集合4B间元素的对应可以是一对一、一对多，不能多对一，集合B中的元素可以在集合力没元

素对应.

③函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集4中的任意一个（任意性）元素％,在

非空数集B中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y与之对应.这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数.

2定义域

①概念：函数自变量x的取值范围.

②求函数的定义域主要应考虑以下几点

(1)若“久)为整式，则其定义域为实数集R

(2)若fO)是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合.

(3)若"久)为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合.

(4)若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交

集.

(5)实际问题中，定义域要受到实际意义的制约.

3值域

①概念：函数值y的取值范围

②求值域的方法

(1)配方法(2)数形结合(3)换元法

(4)函数单调性法(5)分离常数法(6)基本不等式法

4区间

区间的几何表示如下表所示：

定义名称符号数轴表示

{x\a<x<b]闭区间[a,b]ah

{x\a<x<b]开区间(a,b)aA~

{x\a<x<b]半开半闭区间[a,b)a

{x\a<x<b}半开半闭区间(a,b]ab

{x\x>a}半开半闭区间[a,+oo)

{x\x>a}开区间(a,+oo)a

{x\x<a}半开半闭区间(—8,a]a

{x\x<a]开区间(—8,a)A

R开区间(—oo,+00)

【例】将下列集合用区间表示出来.

(l){x|x>2}；(2){x|x<0)；(3){x|-2<x<5}；(4){久|0VI,或2WxW4}.

解析(l)[2,+8)；(2)(-oo,0)；(3)(-2,5]；(4)(0,1)U[2,4].

腌^仝典例题从典例中见解建能力

【题型1】函数概念的理解

【典题1】下列式子中y是％的函数的是（）

A./+丫2=2B.Vx—1+yjy—1=1C.y-Vx—2+V1—xD.y=±«

解析对于B，满足函数的定义，

对于C：y=，x-2+V1-x的定义域为0,故不满足函数的定义，

对于4D,当x=l时，y都有2个值相对应，故不满足函数的定义，故选：B.

【典题2］若函数y=/（久）的定义域为M={x\-24x42},值域为N={y|0<y<2},则函数y=/（%）的图象

解析对4不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；

对8满足函数定义，故符合；

对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定;

对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定.

故选:B.

变式练习

答案C

解析由函数定义知，定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应,

4、F,。选项中的图象都符合；C项中对于大于零的%而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定

义.故选：c.

2.给定的下列四个式子中，能确定y是x的函数的是（）

①+y2=1②—1|+Jy2一]=o

③—1+yjy—1=1@y—Vx—2+V1—x.

力.①B.②C.③D.@

答案C

解析①由d+必=i得y=±五二9，不满足函数的定义，所以①不是函数.

②由|x—1|+Jy2_1=0得卜一]|=0,Jy2_1=0,所以％=l,y=±l,所以②不是函数.

③由+得y=（1—4=1）2+1,满足函数的定义，所以③是函数.

④要使函数y=GI+Vi=有意义，则解得j此时不等式组无解，所以④不是函数.

故选：C.

3.设集合M={x[0Wx<2},N=（y\0<y<2],给出如下四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数

解析从集合”到集合能构成函数关系时，对于集合“={x|OWxW2}中的每一个X值，

在N={y|0<y<2}中都有唯一确定的一个y值与之对应.

图象4不满足条件，因为当1<XW2时，N中没有y值与之对应.

图象8不满足条件，因为当x=2时，N中没有y值与之对应.

图象C不满足条件，因为对于集合M={x|0<xW2}中的每一个x值，在集合N中有2个y值与之对应，不

满足函数的定义.

只有。中的图象满足对于集合M={x|0<x<2}中的每一个“值，在N={y|O<y<2}中都有唯一确定的

一个y值与之对应.

故选D.

4.集合M={%|-2<x<2},N={y|0<y<2},给出下列四个图形，其中能表示以M为定义域，N为值域

的函数关系的是（）

解析由题意可知：M=[x\~2<x<2},N={y|0<y<2},

而-2/oX|2,X符合函数的定义.

故选：B.

5.函数y=1)与函数y=/(久+1)()

A.是同一个函数B.定义域相同

C.图象重合D.值域相同

答案D

解析由于函数y=y(x—1)中x—1的范围与函数y=/(%+1)中x+1的范围相同，且两个函

数具有相同的对应关系f,故函数y=1)与函数y=/(%+1)具有相同的值域，

故选：D.

【题型2】函数的定义域

【典题1】求下列函数的定义域：

(1)y=—J(2)y=V2x-4+仁丝.

一,1-72^%'"%-3

解析⑴因为要使函数有意义，需1铝2c=『会0-2且会1,

11—V2—%01％W1

所以函数y=匚圣的定义域为(-8,1)U(1,2].

2x-4>0

(2)因为要使函数有意义，需％-2W0解得%22且%H2且%。3,

、%—3W0

所以函数丫=727^4+与苧的定义域为(2,3)U(3,+00).

【典题2】已知函数y=/(x)的定义域为[0,1],则函数丫=/'。+1)的定义域为()

A.[-1,0]B.[1,2]C.[1,2]D.[3,4]

解析函数y=f(£)的定义域为[0,1]，

令OWx+lWl,解得一lWxWO,

二函数y=f(x+1)的定义域为[-1,0].

故选：A.

变式练习

1.函数y=『的定义域为_______.

|%|-5

答案{x|4Wx<5或x>5}

解析要使函数丫=誓|的解析式有意义，

1%1-5

Y_4>0、

{“I_n，解得％e{%|44％V5或%>5}

故函数y=^^的定义域为{%[4<x<5或%>5].

2.函数/(%)=V—%2+4%4-12+2的定义域为.

答案[-2,4)U(4,6]

解析解+12N。得,-2<x<6,且x力4；

f(%)的定义域为：[—2,4)U(4,6].

3.已知函数/'(X)的定义域为(-1,0),则函数f(2尤-2)的定义域为.

答案6,1)

解析,."(>)的定义域为(一1,0)，.,•由—1<2%-2<0,得[<x<L

••・函数/(2x-2)的定义域为6,1).

4.若函数/(%)=7ax2+ax+2的定义域为R,则实数a的取值范围是

答案[04]

解析,••/(%)的定义域为&

•••ax2+ax+1>0的解集为R；

①a=0时，1>0恒成立，ax2+ax+1>0的解集为R；

②aw0时，贝4：>02/一n；解得0<aW4；

•••综上得，实数a的取值范围是[0,4].

【题型3】判断同一函数

【典题1】下列各组函数中表示的函数不同的是()

A./(x)=x,g(x)—\[^B./(%)=4x^,g(x)—\x\

C./(无)=/—3久,g(t)=产一3tD./(x)—-5(x)—x+2

解析4B,C的定义域和对应法则相同，表示同一函数，

v2_4__

。中g(%)=久+2的定义域是R,/(%)=二7=%+2定义域为｛%|%W2｝,两个函数的定义域不相同，不

是同一函数.

故选：D.

变式练习

1.在下列四组函数中，/(%)与g(%)表示同一函数的是()

A.y=l,y=B.y=Vx—1,7x+Ly=V%2—1

C.y=x,y=\[^D.y=\x\,y=(V^)2

答案C

解析由于函数y=1的定义域为R,而函数y=：的定义域为｛%|%H0｝,

这2个函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除4

由于函数y=Vx-1-+1的定义域为｛式|%>1｝,

而y=一1的定义域为｛%[1<x或％<—1],

这2个函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除也

由于函数1与函数》=也具有相同的定义域、对应关系、值域，故是同一个函数.

由于函数y=|久|的定义域为R,而函数y=(F)2的定义域为{久|久20},这两个函数的定义域不同,

故不是同一个函数，故排除D.故选：C.

2.下列各组函数中，表示同一函数的是()

A.f(x)=x2,g(x)=x3B.f(x)=g(x)=(O

/{x,%>0

C./(%)=一,g(x)-xD./(%)=|x|,g(%)=(

x1—%,%<0

答案D

解析A./(%)=x2,g(%)=%3,解析式不同，不是同一函数；

B./(x)==\x\,g(%)=(O=%,解析式不同，不是同一函数；

C./(%)=亍的定义域为{小H0},g(%)=%的定义域为R,定义域不同，不是同一函数；

£),/(x)=|%|=[xZ?，，解析式和定义域都相同，表示同一函数.故选：2

I-x%<0I—%%<0

⑥轻松训练

通过捱习，媒事能力

1.由下列各式能确定y是x的函数是()

A.x2+y2=1B.x2—y+3=0

C.y=〃一3+V2—%+3D.以上都不是

答案B

解析/+必=1不满足函数的定义，所以力不正确；

久2—y+3=0,满足函数的定义，所以正确；

选项C,不满足函数的定义，定义域为。，所以C不正确；

故选：B.

2.图中，能表示函数y=/(久)的图象的是()

答案D

解析根据题意，对于2、B两图，可以找到一个光与两个y对应的情形；对于C图，当x=0时，有两个y值对

应；对于。图，每个久都有唯一的y值对应.因此，。图可以表示函数y=，(久)，

故选：D.

3.下面各组函数中是同一函数的是()

A.y—，一2炉与y=

B.y=(O与y=\x\

C.f(x)=x2—2x—1与g(t)=t2—2t—1

D.y=_1与y=’(久+1)(久一1)

答案C

解析4.函数的定义域为｛x|xW0｝,y=V-2x3=-%V-2x,

两个函数的对应法则不相同，不是同一函数，

B.y=(V%)2=%,定义域为｛x|x20｝,函数的定义域不相同，不是同一函数

C.两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数

D.由｛工得EM[得％"，由(％+1)0—1)20得％21或无WT,两个函数的定义域不相

同，不是同一函数，故选：C.

4.关于函数y=f(x)与函数y=f(x+1)的叙述一定正确的是()

A.定义域相同B.对应关系相同

C.值域相同D.定义域、彳直域、对应关系都可以不相同

答案C

解析函数y=f(x)的图象向左平移1个单位即可得到函数y=f(x+1)的图象，

因此函数y=/(比)与函数y=f(x+1)的定义域可以不同，对应关系可以不同，

但是值域一定相同.

故选：C.

5.函数y=V-x2+x+6+W的定义域为()

A.[-2,3]B.[-2,1)U(1,3]C.(-oo,-2]U[3,+00)D.(-2,1)U(1,3)

答案B

解析由题意得：[一/+j+，》0,解得：—2《乂＜1且1＜尤43,故选：B.

1%—1W0

6.已知函数/(x+1)定义域为[1,4],则函数/(久一1)的定义域为()

A.[0,3]B.[-1,2]C.[3,6]D.[1,4]

答案C

解析•••f[x+1)的定义域为[1,4]；1W%W4；・•.2Wx+1W5；

・・•/0)的定义域为[2,5]；

二/(x—1)满足：2〈尤一1W5；3WxW6；

.••/(尤―1)的定义域为[3,6].

故选：C.

7.图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x