高中数学 对数函数 知识点精讲及重点题型训练

专题4.4对数函数

❷知识导图

/-------------------------O对数的性质及其运算一一

------------------------------------------I

产的E

、3对数话数的图像与性庾-rl的fit曲散的990

“对效中后台的故

@知迟点精讲

考点一对数函数及其性质

⑴概念：函数>=108/(°>(),且存1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0,+oo).

(2)对数函数的图象与性质

a>\0<(7<1

y

I71尸log/%=1

图象［乜,0)

opi,o)o

1)=iog/

定义域：(0,+oo)

值域：R

当x=l时，j=0,即过定点(1,0)

性质

当x>l时，y>0；当%>1时，j<0；

当0<x<l时，y<0当0<x<l时，y>0

在(0,+oo)上是增函数在(0,+co)上是减函数

重点题型

（一）对数函数的概念与图像

例1、（1）、（2023秋・浙江•高二长兴县华盛高级中学校联考阶段练习）（多选题）对数函数y=log“X（a>0

且awl）与二次函数V=（aT）x2-x在同一坐标系内的图象不可能是（）

【答案】BCD

【分析】AB选项，从对数函数出发，推出。>1,再判断二次函数，从开口方向和其中一根与1的比较，得

到A可能，B不可能；CD选项，从对数函数出发，得到再判断二次函数，也是从开口方向和其中

一根与1的比较，得到CD均不可能.

【详解】选项A,B中，由对数函数图象得。>1,则二次函数中二次项系数其对应方程的两个根

为0,----7,选项A中，由图象得---->1,从而l<a<2,选项A可能；

tz—1a-\

选项B中，由图象得一二<0,与。>1相矛盾，选项B不可能.

a-\

选项C,D中，由对数函数的图象得0<a<l,则二次函数图象开口向下，D不可能；

选项C中，由图象与X轴的交点的位置得一［>1,与0<a<l相矛盾，选项C不可能.

a-1

故选：BCD.

（2）、（2022•全国•高一课时练习）如图所示的曲线是对数函数y=l0gzix,y=log0x,

N=logdX的图象，则a,b,c,d,1的大小关系为（）

A.b>a>l>c>dB.a>b>l>c>dC.b>a>l>d>cD.a>b>l>d>c

【答案】C

【分析】根据对数函数的图象性质即可求解.

【详解】由图可知a>Lb>l,0<c<l,0<d<l.过点（0,1）作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横

坐标从左到右依次为c,d,a,b,显然b>a>l>d>c.

故选：C.

【变式训练1-1】、（2023•全国•高三专题练习）已知Iog2a+log26=0（。>0且。片1,方>0且bwl）,则函

数=与g（x）=lo&x的图像可能是（）

A.B.

C.D.

【答案】B

【分析】由对数的运算性质可得。6=1,讨论。，6的范围，结合指数函数和对数函数的图像的单调性，即

可得到答案.

【详解】log2a+log2b=0,gp^jlog,ab=Q,即有"=1.

当时，0<6<1，

函数=(1)A与g(x)=log〃X均为减函数，四个图像均不满足

当0＜aVl时，b＞l,

函数数=与g(x)=logx均为增函数，排除ACD

在同一坐标系中的图像可能是B,

故选：B.

【变式训练1-2】、(2023•全国•高一专题练习)函数了=(1-与歹=log“X(其中。＞1)的图象只可能是

【分析】判断函数的单调性，结合各选项中图象，即可判断出答案.

【详解】对于A,因为。＞1,故了=(l-")x为R上的减函数，其图象应下降，A错误;

对于B,。＞1时，y=(l-a)x为R上的减函数，y=k)gaX为(0,+8)上增函数，图象符合题意;

对于c,。＞1时，y=log“x为(0,+◎上增函数，图象错误；

对于D,。＞1时，y=logaX为(0,+s)上增函数，图象错误；

故选：B

(二卜比较大小

例2.⑴、(2023•全国•高一专题练习)设a=327,b=log050.2,c=log424,则()

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a

【答案】C

【分析】先利用对数的运算法则把。,6,c化成同底的对数，然后利用对数函数的单调性即可求解.

2727103b=lo2,0524lo24=10

【详解】a=log8=Jl°g2=§2>go.50-2=-l°g20-=§2>c=log4=§2§2>

因为V=log2尤在定义域上是增函数，且3<宿<5，故a<c<b.

故选：C.

（2）、（2021•江西高三月考（文））已知a=2"5,Z）=log2V3,c=0S3则。，b,c的大小关系为

（）.

A.c<b<aB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

【答案】C

【分析】

利用指数函数的性质及对数函数的性质即可得到.

【详解】

-1

"1<a=V2<2，/?=log2V3<|log24=l,c=（2）>2,

­­c>a>b.

故选：C.

【变式训练22］、（2022•江苏•泗洪县洪翔中学高三阶段练习）若。=0.4°3,6=0.5°4,c=bg324,则a,b,c

的大小关系是（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【分析】利用指数函数和基函数的单调性比较大小可得答案.

2

【详解】c=log324=-=0.4,

因为y=0.4"在R上为减函数，所以c=0.4i<a=0.4°5<0.4°4,

因为歹=工。4在%£（0,+8）上为增函数，所以b=0.5°4>0.4°4,所以。

所以,

故选：D.

【变式训练2-2】、（2023•全国•高一专题练习）设。=log,0.3,%=峭0-4,c=0.4°\则。,6,c的大小关系

2

为.

【答案】a<c<b

【分析】根据指数函数和对数函数单调性分别限定出。，4c的取值范围即可得出结论.

【详解】根据对数函数单调性可知4=log20.3<log21=0,即可得”0；

ffnfe=logi0.4>log]|=l,即b>l；

252

由指数函数单调性及值域可得。<c=O.403<0.4°=1,即可得0<c<1；

所以可得a<c<b.

故答案为：a<c<b

（三）、对数函数过定点问题

例3.（1）、（2022•全国•高一课时练习）函数/'OOud+logoa-lMa〉。且“21）的图象恒过定点

【答案】（2,4）

【分析】令对数的真数为1,即可求出定点的横坐标，再代入求值即可；

【详解】解：因为函数/（x）=4+log0（x—l）（“>0且。工1）,

令=解得x=2,所以〃2）=4+10&1=4,即函数/（X）恒过点（2,4）；

故答案为：（2,4）

（2）、（2021•镇远县文德民族中学校高一月考）函数>=1。8.（3X-1）（a>0,。*1）的图象过定点（）

A.[I1）B.（-1,0）C.go）D.（0,-1）

【答案】C

【分析】

利用真数为1可求得定点的坐标.

【详解】

2

对于函数V=loga（3x-l）（a>0,awl）,令3x-l=l,可得尤=§,则y=log“l=0,

因此，函数〉=1吗6-1）（0>0/1）的图象过定点已0）.

故选：C.

【变式训练3-1】.（2021•福建厦门市•厦门外国语学校）已知函数〉=优-2+108“（》一1）+3（。>0且。*1）的图

像恒过定点尸，点尸在嘉函数了=/（x）的图像上，则〃2）=（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】

先求得函数〉="一2+1。8“。-1）+3（。＞0且。*1）的定点，再根据点P在幕函数的图象上，求得幕函数的解

析式即可.

【详解】

令x=2,得y=4,

所以函数＞=优-2+1。8“（》-1）+3（。＞0且。/1）的图像恒过定点*2,4）,

设幕函数为/（x）=x。,

因为点尸在幕函数/的图象上,

所以2"=4，解得。=2,

所以/⑵=22=4,

故选：B

【变式训练3-2】、（2023秋•高一课时练习）函数了=f（x）的反函数了=优过点（2,9）,则"27）=.

【答案】3

【分析】代入计算求出。，根据指数函数对数的关系则得到“刈=1。&》，则求出了（27）的值.

【详解】•••尸优过点（2,9）,."=9,

.•.«=3（负舍），则根据指数函数与对数函数为一对反函数知/（x）=log,x.

・••”27）=3.

故答案为：3.

（四）、有关对数函数定义域问题

1

例4.（1）、（2023•全国•高一专题练习）函数二=八“丁的定义域为（）

，logo5（4x-3）

j+oo|ju(l,+8)

A.B.C.(1,+⑹D.

【答案】A

【分析】根据函数的解析式，建立不等式求解即可.

1,、

【详解】要使函数^=七一八有意义,需满足1。&-5（--3）＞0,

短。80.5（钮”

3

即1。80,5（4X-3）＞唾0,51,得0＜4x-3＜l,解得彳＜无＜1,

则函数了=hI■的定义域为R,l1

Vlog05(4x-3)14J

故选：A.

(2)、(2022•山东日照•高二开学考试)函数/(x)=ln(x+l)+K万的定义域为.

【答案】［1,+s)

【分析】直接解不等式组求出定义域即可.

fx+1>0「、

【详解】由题意知，尤_1>0,解得XN1,则函数的定义域为［1,+8).

故答案为：［1,+°°).

2r-l

【变式训练4-1］.(2023秋•陕西西安高三统考阶段练习)函数/(x)=+In(5-x)的定义域是.

【答案】(3,5)

【分析】根据题意，列出不等式，即可得到结果.

f5-x>0/、/、

【详解】由题意可得尤_3>0,解得3<为<5,即函数〃x)的定义域是(3,5).

故答案为：(3,5)

【变式训练4-2】.(2021•乾安县第七中学(文))若函数/(x)=lg(办2_x+a)的定义域为五,则实数。的

取值范围是

【答案】

【分析】

根据函数〃x)=lg(o?一x+a)的定义域为R,转化为/—x+a>0,对xeR恒成立求解.

【详解】

因为函数〃x)=lg(ox2一x+a)的定义域为A,

所以"2-X+Q>。，对xeR恒成立，

当。=0时，解得x<0,不成立,

fa〉0

当QW0时，由12八，

［A=1—4Q<0

解得a>3,

综上：实数。的取值范围是

故答案为：［，+00］

(五)、对数型复合函数的单调性问题

例5.(2022•甘肃•武威十八中高三阶段练习(文))已知函数/(x)=bgi(3-2x-x2)

2

⑴求该函数的定义域；

(2)求该函数的单调区间及值域.

【答案】⑴(-3,1)

(2)单调递增区间为(-1」)；单调递减区间为值域为［-2,+co)

【分析】(1)令3-2工-/>0,解不等式即可求得定义域；

(2)根据复合函数单调性的判断方法可确定/(x)的单调区间；利用二次函数最值的求法可求得〃<4,结

合对数函数单调性可求得值域.

(1)

由3-2x-x2>0得：-3<x<l,,/3的定义域为(一3,1).

(2)

令〃=-》2一2》+3,•“在(-3,-1)上单调递增；在(-U)上单调递减；

又了(〃)=蜒工〃在(0,+功上单调递减，

2

•■•/W的单调递增区间为(-1,1);单调递减区间为(-3,-1),

2；

,.A<_(_1)_2X(-1)+3=4,•,/ogjNlog4=-2,

・••/(x)的值域为［-2,+8).

【变式训练5-1】、(2023秋•高一课时练习)已知/(x)=log.(a-a、)(a>l).

(1)求/(无)的定义域和值域；

⑵判断并证明〃x)的单调性.

【答案】⑴定义域为(9,1),值域为(-8,1)

⑵/(X)在(-8,1)上为减函数，证明见解析

【分析】(1)由对数式的真数大于0,求一(X)的定义域，由定义域和对数式的运算求值域;

(2)结合对数函数的性质，由定义法证明函数单调性.

【详解】(1)由a>l,a-ax>0,即a>a',得x<l.

故/(x)的定义域为(-叫1).

由0<a-a*<。，可知108,(4-/)<108/=1.

故函数〃x)的值域为(-叫1).

(2)/(x)在(-8,1)上为减函数,证明如下：

任取l>xr>x2,又a>1,

xX1xX2x%2

a'>a,:.a-a'<a-a,■■loga(a-a')<loga(a-a),

即/(再)</(龙2)，故"X)在(-8,1)上为减函数.

【变式训练5-2】、(2023•全国•高一专题练习)已知函数/(x)=log2(f+ax+3)-2.

(1)若a=2,求函数的值域

(2)若函数在(1,+⑹上单调递增，求”的取值范围

【答案】(1)[T+⑹；

(2)a>-2.

【分析】(1)根据二次函数的性质及对数函数的性质，即可求解；

(2)根据复合函数单调性结合条件可得-■|W1且12+lxa+320,进而即得.

【详解】(1)由题知/@)=1。82卜2+2工+3)—2,

x~+2x+3=(x+1)+222,

f(x)=log2(x?+2x+3)-22log22-2=-1,

即函数/(X)的值域为11,+8)；

(2)因为函数/(x)在(1,+⑹上单调递增，又函数y=log2》在定义域上单调递增,

所以〃=/+办+3在(1,+8)上单调递增，且〃>0在(1,+⑹上恒成立，

所以-了且F+ixENO,

解得。2-2,即。的取值范围为a2-2.

(六)、对数型复合函数的最值问题

例6.(2021•云南省昆明市第十中学高一阶段练习)已知函数/(x)=lg(3-4x+，)的定义域为屈

⑴求定义域跖并讨论函数/(x)的单调性：

(2)当xeM时，求g(x)=2K2-3x4,的最值及相应的x的值.

【答案】⑴定义域卜,<1或x>3},单调递增区间(3,+动，单调递减区间(-巩1)

24

(2)x=log?§时，最大值为无最小值

【分析】(1)由对数的真数大于0可得定义域，根据复合函数的单调性可得单调区间；

(2)令2'=心结合二次函数的性质可得结果.

(1)

因为3-4x+/>0,所以x>3或x<l,

所以函数的定义域M=或x>3}；

2

函数/(x)=lg(3-4x+/)可看作由y=lgi/,M=3-4x+x,xe{x［x<1或x>3}复合而成，

而函数y=lg〃单调递增，”=3-4x+/的单调递增区间(3,+s),单调递减区间(-叫1)

所以函数〃x)的单调递增区间(3,+8),单调递减区间(-8,1).

(2)

令2*=fe(0,2)。(8,+⑹，g(x)=-3x4\可以转化为h(t)=-3t2+"=一31

当":即X=10g2§时，W)111ax=］即g(x)最大值为“无最小值.

［变式训练6-11(2021秋•高一课时练习)已知函数/(%)=log,(1-x)+log.(x+3)(a>0且a丰1).

(1)求函数/(X)的定义域；

(2)若函数/(x)的最小值为-2,求实数。的值.

【答案】(1){x|—3<x<1}；(2)a.

【分析】(1)根据对数函数的知识列不等式组，由此求得/(X)的定义域.

(2)对。进行分类讨论，求得/(x)的最值，由此列方程求得。的值.

［1—x>0,

【详解】(1)由°:得—3。<1,

所以函数的定义域为

(2)/(x)=loga(l-x)(x+3),

设"(1-X)(X+3)=4-(X+1)2,

所以才,,4,又f>0,则0<力,4.

当a>l时，％log”4,值域为{1入log/}.

当0<a<1时,y...loga4,值域为{y\y...logfl4}.

所以当0<a<l时，函数有最小值log04=-2,解得a=g.

【变式训练6-2】、(2021•高一单元测试)函数〃元)=lg(a4+2=l)

(1)如果xe(l,2)时，/(X)有意义，确定。的取值范围；

(2)a<0,若/(x)值域为R,求。的值；

(3)在(2)条件下，g(x)为定义域为火的奇函数，且x>。时，g(x)=l(/°)+l.对任意的

作［-1,1］名卜2+比”苒弃恒成立，求x的取值范围.

【答案】(1)—77，+°°］；(2)a=0；(3)(-co,0)u［3,+co).

_lo；

【分析】(1)根据xe(l,2)时，则2%(2,4),设f=2%不等式ad+f-lX),求出。的取值范围即可；

(2)设〃(x)=a4*+2'-l,则〃(x)的值域包含(0,+co),讨论“=0与"。时，旗x)的值域情况,求出。的值

即可；

(3)根据题意求出g(x)的解析式，把不等式g(x2+/x)2三"转化为在代［-1,1］时恒成立，由

此列出不等式组求出x的取值范围.

【详解】(1)由题意，xe(l,2),a4+2=l>0,B|Ja>W-W,令/=［)，则;</<>产一才，

a"10的取值范围为-2+④].

(2)令〃(x)=a-4*+2*-l,由题意，人(x)的值域包含(0,+co),

①。=0时，A(x)=2X-1,值域为满足条件；

②a<0时，/z(x)=tz-4+2X-1=«(2X)2+2X-1,令看=2",

所以>=a/+/—1=]—1—L为开口向下的抛物线，

yla)4a

易知以X)的值域为(-巴不满足条件，

综上，a=0.

(3)%>0时，g(x)=2\若x<0,—x>O,g(—%)=2一"，又・・・g(x)为奇函数，2-“,综上，

2\x>0

g(x)={0,x=0,

-2~x,x<0

f'已=g(2x),且"0,g(x2+tx)>g(2x),

IgWI

易知，>=为减函数，