高中数学椭圆的经典知识总结

高中数学椭圆的经典知识总结

椭圆知识点总结

1.椭圆的定义：1,2

⑴椭圆：焦点在X轴上时提+/=1（/=尸+。2）=6二孩制（参数方程，其中0为

22

参数），焦点在y轴上时=+==1（。>人>0）。方程-2+与，2=。表示椭圆的充要条件是什么？

ab

（ABCWO,且A,B,C同号，AWB）。

2.椭圆的几何性质：

22

（1）椭圆（以一=1（。>Z?>0）为例）：①范围：—。〈尤Ka,—Z?<y<Z?；②焦点：两个

ab

焦点（土c,O）；③对称性：两条对称轴x=O,y=O,一个对称中心（0,0）,四个顶点（±a,0）,（0,功）,

其中长轴长为2〃，短轴长为2心④准线：两条准线x=土且；⑤离心率：e=£，椭圆<=>0<e<l,

ca

e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。⑥通径空

a

2.点与椭圆的位置关系：⑴点PCX。,打）在椭圆外=国■+共>1；

ao

（2）点在椭圆上o存+匕=1；

a~b

22

（3）点P（x。,%）在椭圆内=乌+乌<1

a'b~

3.直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交：A>0o直线与椭圆相交；（2）相切：A=0o直线与椭圆相切；（3）相离：A<0o

直线与椭圆相离；

22

如:直线y—kx—l=0与椭圆上+上~=1恒有公共点，则m的取值范围是_______（答：［1,5）

5m

U（5,+8））；

4、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转

化到相应准线的距离，即焦半径/其中d表示P到与F所对应的准线的距离。

如（1）已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距离为一（答:

2516

10/3）；

22

（2）椭圆?+（_=1内有一点2（1,一1）,F为右焦点，在椭圆上有一点M,使阿月+2〃月之值

最小，则点M的坐标为（答：（半,一））；

5、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：S=02tang=c|y0|,

当I%1=6即P为短轴端点时，Sm”的最大值为be；

6、弦长公式：若直线了=丘+人与圆锥曲线相交于两点A、B,且和马分别为A、B的横坐标,

则1ABi=-讣若X，%分别为A、B的纵坐标，则AM=Jl+/5-力|，若弦AB所

在直线方程设为x=0+）,则|AB|=Vi7淳"-%］。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦

长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

7、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆

W+E=l中，以P（x0,y。）为中点的弦所在直线的斜率k=一4工；

a'h-a-y0

22

如（1）如果椭圆土+乙=1弦被点A（4,2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（答:

369--------

22

x+2y-8=0）；（2）已知直线y=—x+1与椭圆；■+£=1（。＞。＞。）相交于A、B两点，且线段AB

的中点在直线L：x—2y=0上，则此椭圆的离心率为（答：半）；（3）试确定m的取值范

围，使得椭圆［+］=1上有不同的两点关于直线y=4x+机对称（答：卜誓，誓））；

特别提醒：因为A＞0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问

题时，务必别忘了检验△＞（）!

椭圆知识点

1.如何确定椭圆的标准方程？

任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当楠圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的

方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。

确定一个桶圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确

定标准方程的类型。

2.椭圆标准方程中的三个量a,"C的几何意义

椭圆标准方程中，a/,c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的

长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：(a>b>0),(«>c>0),且

(«2=b2+c2)«

可借助右图理解记忆：

显然：恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直

角边。

3.如何由椭圆标准方程判断焦点位置一C；椭圆的

焦点总在长轴上，因此己知标准方程，判断焦点位置的方法是：看一,一/V的分母

的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。।

4.方程Av?+为2=C(A,8,C均不为零)是表示椭圆的条件

方程=。可化为生1+2二=1,即1+竺=1,所以只有A、B、C同号，且AHB时，方

cccC

7万

程表示椭圆。当上c〉士c时，椭圆的焦点在x轴上；当C时C，椭圆的焦点在y轴上。

ABAB

5.求椭圆标准方程的常用方法：

①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程

中的参数a,b,c的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；

②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。

6.共焦点的椭圆标准方程形式上的差异

2222

共焦点，则C相同。与椭圆0+4=1(a>8>0)共焦点的椭圆方程可设为T—+—=1(〃?>-b2),

a"b~a~+mb~+m

此类问题常用待定系数法求解。

7.判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据：

①若把曲线方程中的x换成-X,方程不变，则曲线关于y轴对称;

②若把曲线方程中的y换成-y,方程不变，则曲线关于x轴对称；

③若把曲线方程中的x、y同时换成-％、-y,方程不变，则曲线关于原点对称。

8.如何求解与焦点三角形△PFR(P为椭圆上的点)有关的计算问题？

思路分析：与焦点三角形△PFR有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股

定理)、三角形面积公式4叼3=；|P用x|p周xsin/£P8相结合的方法进行计算解题。

将有关线段|尸耳卜|尸闯、闺闾，有关角N耳PB(NFfB茨/£5尸2)结合起来，建立|产制十|P用、

伊片俨俨周之间的关系.

9.如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？

长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率e=£(O<e<l),因为。2=/一/，”>，>(),

a

用a、/?表示为e=J1一(I](0<e<1)。

显然：当2b越小时，e(0<e<l)越大，椭圆«_形状越扁；当巳h越大，e(0<e<l)越小，椭圆形状越趋

aa

近于圆。

椭圆

题型1:椭圆定义的运用

%2V2

例1、已知£，月为椭圆三三+天-=1的两个焦点，过6的直线交椭圆于A、B两点若|母1|+但q=12,则

y

|明=—。

例2、椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，

今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A的小球(小球

的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是

例3、如果方程x2+ky2=2表示焦点在x轴的椭圆，那么实数k的取值范围是.

2222

例4、已知P为椭圆芸+汽=1上的一点，"”分别为圆(％+3)-+>2=1和圆(％-3)+<=4上的点,

则+|PN|的最小值为

题型2：求椭圆的标准方程

例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程.

(1)经过两点4(亚-2)、

(2)经过点(2,—3)且与椭圆9x2+4V=36具有共同的焦点.

(3)一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4及一4.

题型3:求椭圆的离心率(或范围)

例I、/VLBC中，.4=30°,|阴=2,5丛8°=、/3若以4笈为焦点的椭圆经过点。，则椭圆的离心率

为.

例2、过椭圆的一个焦点B作椭圆长轴的垂线交椭圆于P，若居为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为一

题型4:椭圆的其他几何性质的运用(范围、对称性等).L

例1、已知实数满足?+春=1,则V+V—x的范围为------

例2、已知P是椭圆£+m=1上一点，片，鸟是椭圆的两个焦点，求归耳卜|尸鸟|的最大值与最小值

X2y2一一

例3、已知点A,8是椭圆二下+==1上两点，且AO=XB。,则；1=

m"n

22

例4、如上图，把椭圆工+二=1的长轴AB分成8等份，过每个分点作8轴的垂线交椭圆的上半部分于

2516

4,6，6线,兄,打七个点，尸是椭圆的一个焦点，则麻

题型5：焦点三角形问题

22

例1、已知K，K为椭圆三+：=1的两个焦点，p为椭圆上的一点，已知P,£,入为一个直角三角形的三个顶

点，且|「目＞|尸国，求耨的值;

22

例2、己知耳，心为椭圆©：5+?=1的两个焦点，在C上满足_LP马的点的个数为

22

例3、若可，工为椭圆方+宁=1的两个焦点，p为椭圆上的一点，当N6PK为钝角时，点P横坐标的取值范

围为—

3

例4、已知椭圆的焦点是耳（0,-1）,尸2（0,1）,且经过点（I，5）①求椭圆的方程；②设点P在椭圆上，且

忸6|T。闾=1,求cosN耳尸乃.

题型6:三角代换的应用

22

例1、桶圆土•+匕=1上的点到直线l：x+y—9=0的距离的最小值为.

169-

22

例2、椭圆上+二=1的内接矩形的面积的最大值为

169

题型7：直线与椭圆的位置关系的判断

2y2

例1、当阳为何值时，直线y=x+m与椭圆X一+乙=1相交？相切？相离？

-169

例2、若直线丁=h:+1伏6/?)与椭圆工+工=1恒有公共点，求实数加的取值范围；

5m

题型8：弦长问题

22

例3.求直线y=2x-4被椭圆」4x一+y乙=1所截得的弦长.

99

2

例4、已知椭圆；+=1的左右焦点分别为F|,F2,若过点P(0,-2)及FI的直线交椭圆于A,B两点，求/ABF2

的面积；

题型9：中点弦问题

2

尤V

例5、求以椭圆一2+1=1内的点A(2,-1)为中点的弦所在的直线方程。

85

例6、中心在原点，一个焦点为4(0,廊)的椭圆截直线y=3x-2所得弦的中点横坐标为g,求椭圆的方程.

例7、椭圆如2+盯2=1,与直线x+y=l相交于月、B两点，C是的中点.若叫=20，斜

率为也(0为原点)，求椭圆的方程.

2

题型10：椭圆与向量、解三角形的交汇问题

例6、设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于4、8两点，点。与点尸关于y轴对称,

。为坐标原点，若BP=2PA,且0Q-A8=l,求尸点的轨迹方程；

五

15.如图，在Rt^ABC中，ZCAB=90°,AB=2,AC=—»一曲线E过点C,动点P在曲线E上运动，且保

2

持|PA|+|PB|的值不变，直线1经过A与曲线E交于M、N两点。

(1)建立适当的坐标系，求曲线E的方程；

(2)设直线1的斜率为k,若/MBN为钝角，求k的取值范围。

8

基础巩固训练

3.椭圆a+二=1的一条弦被4(4,2)平分，那么这条弦所在的直线方程是

4.在△ABC中，ZA=90,tanB=-.若以A,B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=___

4

5.若耳，工为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点，若/尸耳尸2：/尸工大：N环尸工=1:2:3,则此椭圆的离心率为_

222

6.在平面直角坐标系中，椭圆*•+/=1(。>/?>0)的焦距为2,以0为圆心，。为半径的圆，过点(?•,())作

圆的两切线互相垂直，则离心率6=

综合提高训练

22

7、已知椭圆=+4=1(。>。〉0)与过点A(2,0),B(0,1)的直线1有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率

ab

e=