专题11余弦定理（6大考点知识串讲热考题型专题训练）（原卷版）

专题11余弦定理知识聚焦考点聚焦知识点1余弦定理1、公式表达：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC2、语言叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍【注意】余弦定理的特点（1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．（2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．3、余弦定理推论：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)4、余弦定理的推导示例：在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c如图，因为AC=∴AC2即AC从而b2同理，根据AB=AC+可以得到c2=知识点2解三角形1、解三角形定义：一般地，三角形的三个角A，B，C和她们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.2、余弦定理在解三角形中的应用（1）类型1：已知两边及一角，解三角形方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解；（2）类型2：已知三边解三角形法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解3、判断三角形形状时常用到的结论（1）为直角三角形或或（2）为锐角三角形，且，且（3）为钝角三角形，且，且（4）若，则或考点剖析考点1已知两边及一角解三角形【例1】（2023·陕西西安·高一阶段练习）在中，角的对边分别是，已知，，，则等于（）A．1B．2C．D．【变式11】（2023·江西萍乡·高一统考期中）设内角，，所对的边分别为，，，若，，，则边（）A．1B．2C．1或2D．【变式12】（2023·宁夏固原·高一校考期中）在中，，则（）A．9B．C．D．3【变式13】（2023·山东青岛·高一校联考期中）在中，，则（）A．B．C．D．考点2已知三边解三角形【例2】（2023·河北邢台·高一统考期中）在中，，，，则（）A．B．C．D．【变式21】（2023·吉林通化·高一校考阶段练习）在中，已知，则角为（）A．B．C．D．【变式22】（2023·江西·高一校联考期末）已知中角所对的边分别为，若，则.【变式23】（2023·海南·高一校考阶段练习）在中，，，，则最大角的余弦值为.考点3求边或角的取值范围【例3】（2023·四川成都·高一树德中学校考期末）已知钝角的角，，所对的边分别为，，，，，则最大边的取值范围为（）A．B．C．D．【变式31】（2023·全国·高一随堂练习）在钝角中，角所对的边分别为，若，则最大边的取值范围是（）A．B．C．D．【变式32】（2023·吉林通化·高一校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则角B的取值范围是（）A．B．C．D．【变式33】（2023·安徽滁州·高一校考阶段练习）若钝角的内角，，满足，且最大边长与最小边长的比值为，则的取值范围是（）A．B．C．D．考点4判断三角形形状【例4】（2023·甘肃定西·高一临洮中学校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则是（）A．等边三角形B．钝角三角形C．等腰不等边三角形D．直角三角形【变式41】（2023·重庆长寿·高一统考期末）在已知分别为的三个内角的对边，若，则是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【变式42】（2023·陕西宝鸡·高一统考期末）在中，角的对边分别为，且，则为（）A．等腰三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【变式43】（2023·河南郑州·高一中牟县第一高级中学校考阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则的形状为（）A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形考点5余弦定理的实际应用【例5】（2023·湖北·高一荆州中学校联考期中）宜昌奥林匹克体育中心为了迎接4月12日湖北省第十六届运动会开幕式，将中心内一块平面四边形区域设计灯带．已知灯带米，米，米，且，则（）A．B．C．D．【变式51】（2023·河南开封·高一统考期中）曲柄连杆结构的示意图如图所示，当曲柄OA在水平位置OB时，连杆端点P在Q的位置，当OA自OB顺时针旋转角时，P和Q之间的距离是cm，若cm，cm，，请写出一个满足题意的角的值.【变式52】（2023·江苏镇江·高一江苏省扬中高级中学校联考期中）如图，梯形顶点在以为直径的半圆上，米，若电热丝由三条线段这三部分组成，在上每米可辐射单位热量，在上每米可辐射2单位热量，当电热丝辐射的总热量最大时，的长度为（）A．B．C．D．【变式53】（2023·江苏南通·高一统考期中）如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设．（1）当为何值时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值；（2）克罗狄斯托勒密所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求．考点6余弦定理与平面图形相结合【例6】（2023·宁夏银川·高一校考阶段练习）如图，已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若边上的中线，则的长为（）A．B．C．D．【变式61】（2023·浙江台州·高一统考期末）如图，在中，D是BC的中点，E是AC上的点，，，，，则（）A．B．C．D．【变式62】（2023·四川成都·高一石室中学校考期末）在平面四边形中，，，，则的最大值为.【变式63】（2023·云南昆明·高一昆明市第一中学西山学校校考阶段练习）在中，内角所对的边分别是，．（1）求；（2）若，且的平分线上的点满足，求．过关检测一、单选题1．（2023·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）在中，，，，则最长边（）A．B．C．或D．2．（2023·北京大兴·高一统考期中）在中，，，，则（）A．B．C．D．3．（2023·辽宁沈阳·高一校联考期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角等于（）A．B．C．D．4．（2023·湖北十堰·高一统考期末）已知，在钝角中，，，，则的取值范围是（）A．B．C．D．5．（2023·四川达州·高一统考期末）在中，若，则的最小值是（）A．1B．C．D．－16．（2023·江苏宿迁·高一统考期末）在中，角所对的边分别为．若，则为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形7．（2023·河南周口·高一统考期末）如图，在等腰中，，M为上的动点，，，则y关于x的函数解析式是（）A．（）B．（）C．（）D．（）8．（2023·全国·高一课时练习）世界上最大的球形建筑是位于瑞典斯德哥尔摩的爱立信球形体育馆（瑞典语：），在世界上最大的瑞典太阳系模型中，由该体育馆代表太阳的位置，其外形像一个大高尔夫球，可容纳16000名观众观看表演和演唱会，或14119名观众观看冰上曲棍球比赛．某数学兴趣小组为了测得爱立信体育馆的直径，在体育馆外围测得，，，（其中，，，四点共面），据此可估计该体育馆的直径大约为（）（参考数据：，）A．B．C．D．二、多选题9．（2023·湖北恩施·高一校联考期中）钝角的内角、、的对边分别为、、，若，，且，则的值可能为（）A．B．C．D．10．（2023·四川达州·高一万源中学校考期中）已知分别是的内角的对边，且，，则（）A．B．C．面积的最大值为D．面积的最大值为11．（2023·辽宁锦州·高一渤海大学附属高级中学校考阶段练习）中，内角的对边分别为边上的中线，则下列说法正确的有（）A．B．C．D．的最大值为12．（2023·广东云浮·高一校考阶段练习）已知中，，，，D在AC上，BD为∠ABC的角平分线，E为BC中点，下列结论正确的是（）A．的面积为B．C．D．三、填空题13．（2023·北京朝阳·高一统考期末）在中，，，，则；．14．（2023·全国·高一随堂练习）在中，内角的对边分别为，若，则当有唯一解时，的取值范围是．15．（2023·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）如图所示，点A是等边外一点，且，，，则的周长为．16．（2023·江苏南通·高一统考期末）在中，角的对边分别为为的中点，，则的周长为．四、解答题17．（2023·广西河池·高一统考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.（1）若，，求的值；（2）若，求角B，C的大小.18．（2023·全国·高一随堂练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）若，求A；（2）若，求证：.19．（2023·吉林辽源·高一校考阶段练