1.4充分条件与必要条件两课时学案-高一上学期数学人教A版

充分条件与必要条件学习目标1．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．2．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．3．让学生体会充分条件与必要条件在表达数学命题和论证数学结论中的作用，从而培养他们的逻辑推理能力和数学运算的核心素养．知识点一命题、真命题、假命题的概念1．用语言、符号或式子表达的,可以的陈述句叫作命题,其中的语句叫作真命题,的语句叫作假命题.2.中学数学中的许多命题可以写成“若，则”“如果，那么”等形式，其中称为命题的，称为命题的.知识点二充分条件、必要条件的概念1.下列“若，则”形式的命题中，哪些是真命题?哪些是假命题?(1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形;(2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等;(3)若，则;(4)若平面内两条直线和均垂直于直线，则.一般地，“若，则”为真命题，是指.这时，我们就说，由可以推出，记作，并且说，是的条件，是的条件．如果“若，则”为假命题，那么由条件不能推出结论，记作，此时，我们就说不是的条件，不是的条件．【对充分条件的理解】(1)充分条件是某一个结论成立应具备的条件，当命题具备此条件时，就可以得出此结论．(2)只要具备此条件就足够了，当命题不具备此条件时，结论也有可能成立，【对必要条件的理解】“是的必要条件”的理解：若有，则必有；而具备了，不一定有.知识点三判定定理与充分条件的关系思考：命题“若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形”给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件是“四边形的两组对角分别相等”。这样的充分条件唯一吗?如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗?事实上，下列命题均为真命题①_____________________________________，则这个四边形是平行四边形；②_____________________________________，则这个四边形是平行四边形； ③_____________________________________，则这个四边形是平行四边形。所以，“四边形的”“四边形的”“四边形的”都是“四边形是平行四边形”的充分条件。而命题①②③均是平行四边形的判定定理。一般地，对给定结论，使得成立的条件是不唯一的；数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个____________条件．知识点四性质定理与必要条件的关系思考：命题“若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等”给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件是“这个四边形的两组对角分别相等”。这样的必要条件唯一吗?如果不唯一，那么你能再给出几个不同的必要条件吗?④若四边形是平行四边形，则这个四边形的____________________；⑤若四边形是平行四边形，则这个四边形的_____________________； ⑥若四边形是平行四边形，则这个四边形的______________________。所以，“四边形的”“四边形的”“四边形的”都是“四边形是平行四边形”的必要条件。而命题④⑤⑥均是平行四边形的性质定理。一般地，对给定条件，由可以推出的结论是不唯一的；每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个____________条件．题型一充分条件、必要条件的判断例1下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；（4）若，则；（5）若，则；（6）若,为无理数，则为无理数.[方法总结]判断充分条件的两种方法（1）定义法步骤：①分清“条件”与“结论”；②判断条件能否推出结论；③下结论.（2）集合法：已知A＝{|满足条件}，B＝{|满足条件}．若A⊆B，则是的充分条件．变式训练1下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？（1）若平面内点在线段的垂直平分线上，则；（2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；（3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.例2下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等，；（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；（4）若，则；（5）若，则；（6）若为无理数，则,为无理数.[方法总结]判断充分条件的两种方法（1）定义法步骤：①分清“条件”与“结论”；②判断结论能否推出条件；③下结论.（2）集合法：已知A＝{|满足条件}，B＝{|满足条件}．若B⊆A，则是的必要条件．变式训练2下列“若则”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？（1）若点P是线段AB的垂直平分线上的点，则PA=PB（2）若一个四边形是正方形，则这个四边形的四个角都是直角（3）若一个四边形是菱形，则这个四边形是轴对称图形题型二利用充分、必要条件求参数的取值范围例3是否存在实数p，使“4x＋p＜0”是“x＞2，或x＜－1”的充分条件？若存在，求出p的取值范围；若不存在，请说明理由．[方法总结]利用充分条件与必要条件求参数的取值范围问题，常用集合法求解．（1）化简集合A＝{x|p(x)}和B＝{x|q(x)}．（2）根据p与q的关系(充分条件、必要条件等)，得出集合A与B之间的包含关系．（3）列出相关不等式(组)(也可借助数轴)，解得参数的取值范围．变式训练3已知条件p：1－x＜0，条件q：x＞a.若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是________．充要条件学习目标使学生正确理解充要条件的概念，培养数学抽象的核心素养(重点)会对某些命题的充要条件进行证明，培养逻辑推理的核心素养（难点）知识点一充要条件1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为条件.2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为条件.3.“⇔”的传递性：若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．知识点二命题p与q的四个关系（1）如果原命题“若”为真，逆命题“若”为假，即，那么我们就说：____________________________（2）如果原命题“若”为真，逆命题“若”为真，即，那么我们就说：__________________________（3）如果原命题“若”为假，逆命题“若”为真,即，那么我们就说：________________________（4）如果原命题“若”为假，逆命题“若”为假,即，那么我们就说：_____________________________________知识点三充分必要条件与集合的关系设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}推出关系pq且q⇏pp⇏q且qpp⇏q且q⇏ppq集合关系ABABABAB条件关系p是q的条件p是q的条件p是q的条件p是q的条件题型一充要条件的判断例1下列各题中，哪些是的充要条件？四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直平分两个三角形相似，两个三角形三边成比例变式训练1下列各题中，哪些p是q的充要条件？（1）p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；（2）p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等；（3）p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集.变式训练2下列各题中，判断p是q的什么条件（请用充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要来表示）（1）p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形；（2）p：一元二次方程有实数根，q：；（3）p：，q：；（4）p：，q：；（5）p：，q：变式训练3已知A＝{|满足条件}，B＝{|满足条件}，（1）如果A⊆B，那么是的什么条件？（2）如果B⊆A，那么是的什么条件？（3）如果A=B，那么是的什么条件？题型二充要条件的证明例2已知：⊙O的半径为r，圆心O到是直线l的距离为d.求证：d=r是直线l与⊙O相切