重庆市2022-2023学年高三年级下册二模数学试题（适用新高考）

2023年重庆市高考数学适应性考试

第二次模拟试题（适用新高考）

一、单选题（本大题共8小题，共分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1,设集合4=伸°氏（'+2）<2},集合5={幻1〈2”8},则4B=（）

A.（0,2）B.（0,2]C.[0,2）D.[0,2]

【答案】c

【解析】

【分析】根据题意利用指、对数函数的单调性求集合A8,进而可求交集.

【详解】由题意可得：A={x|0<x+2<4}={x[-2<x<2},6={x|04x43},

则AB=[0,2）.

故选：C.

2.复平面内复数z满足|z—2]—|z+2|=2,则|z-i|的最小值为（）

A.也B.更C.73D.75

22

【答案】B

【解析】

【分析】由复数模的几何意义得出z对应点的轨迹，设z=x+）i（x,ywR）,即可计算|z-i|的最小值.

【详解】因为|z—2|一|z+2|=2,

所以点z是以（0,2）,（0,—2）为焦点，半实轴长为1的双曲线，则。2=02—/=3，

2

所以点z的轨迹方程为九2一v乙=1,

3

设z=x+yi（x,yeR）,

所以|z—i|=Jx2+（y_]）2=J]+3+（y_]）2=/卜_1）当,当且仅当y时取等号,

所以|z-i|的最小值为乎.

故选:B.

3.已知2x+的二项展开式中，第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为

（）

A.212B.3'2C.310D.210

【答案】C

【解析】

【分析】先根据第3项与第9项的二项式系数相等列出等式，解出〃=10,再用赋值法即可得出结果.

2尤+十］，且第3项与第9项的二项式系数相等，

【详解】解：因为

所以C；=C）解得〃=10,取x=l,所以所有项的系数之和为：310.

故选：C

4.在8张奖券中有一等奖2张，二、三等奖各1张，其余4张无奖，将这8张奖券分配给4个人，每人2张,

则不同的获奖情况数为（）

A.120B.96C.148D.216

【答案】A

【解析】

【详解】1.若中奖人数为四人，则不同的获奖情况有A：=12种；

2.若中奖人数为三人，则必有一人的2张奖券（设为M,N）均中奖，可得：

①若M,N均为一等奖，不同的获奖情况有C；A；=24种；

②若M,N为二、三等奖，不同的获奖情况有C；C；=12种；

③若M,N为一、二或一、三等奖，不同的获奖情况有C；C；A；=48种；

故中奖人数为三人，则不同的获奖情况有24+12+48=84种；

3.若中奖人数为两人，则有：

①若2张一等奖的奖券为同一人获得，不同的获奖情况有A：=12种；

②若2张一等奖的奖券为不同人获得，不同的获奖情况有A；=12种；

故中奖人数为两人，则不同的获奖情况有12+12=24种；

综上所述：不同的获奖情况数为12+84+24=120.

故选：A.

5.若不等式（—l）"w＜〃+（-1）向对任意〃GN*恒成立，则实数。的取值范围是（）

A.L—jB.-L—jC.-2,—jD.^—2,—

【答案】B

【解析】

【分析】先根据奇偶数对〃讨论，再分离参数。，转化函数最值问题即得解.

【详解】（1）当〃为偶数时，（一1）”加＜〃+（-1）向恒成立，即转化为—工恒成立，

n

而数列4=1-』是递增数列，故"=2时，（1一4]=!，故“＜!；

nI〃人in22

（2）当“为奇数时，（一1）"〃。＜〃+（-1）”|恒成立，即一。＜1+,，转化为。＞一1一，恒成立,

nn

而数列2=-1一,是递增数列，〃为奇数时，故ai—1；

nn

综上可得a的范围为-1,；）.

故选：B.

6.设两个相关变量x和y分别满足下表:

X12345

y128816

若相关变量x和y可拟合为非线性回归方程亍=2云+",则当》=6时，＞的估计值为（）

（参考公式：对于一组数据（弓，匕），（“2,%），…，（M,，匕），其回归直线£=6+/，，的斜率和截距

Z/4-nu-v

的最小二乘估计公式分别为：3=七-------------,a=v-pu-,1.155»2)

u；9-nu—2-

E/=!

A.33B.37C.65D.73

【答案】B

【解析】

【分析】先将非线性回归方程化为线性，令log2y=u,则可得f=fex+a,根据数据及公式分别求出

a,b,代入非线性回归方程可得变量x和»之间的关系，将尤=6代入化简计算即可.

【详解】解：因为非线性回归方程为：5>=2叱"，则有log23=bx+a,

^log2j=v,即0=bx+a,列出相关变量x，y，u关系如下:

X12345

y128816

V01334

1+2+3+4+5

所以之七匕=0+2+9+12+20=43,^=.=3;

/=1>

_0+1+3+3+4]1〃

v=-----------=—,>；=1+4+9+16+25=55,

55/=1

-rix-v43-5x3x—

所以匕=号一

IX-nx—2

/=1

1144

所以。=诃一版=（一3=一二，所以0=九一《，

44J

BPlog2y=x--,即/=2.”与，因为1.15屋2，所以25=115,

当x=6时，’=2'"=2m=25-2=25X25»32x1.15=36.8-

故选：B

7.6，尸2是双曲线后:之一马=1（。）〉0）的左、右焦点，点〃为双曲线E右支上一点，点N在x轴上,

a~h~

满足Z6MN=/&MN=60,若3MK+5M鸟=/bWN（4eR）,则双曲线E的离心率为（）

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量加法运算法则，结合平行四边形的性质可确定以31M耳|,5|咋|为邻边的平行四边形为菱

形，得到31Ml=5|吗结合双曲线定义可求得|5|,|加闾，利用余弦定理可构造的齐次方程，从

而求得离心率.

设入MN=MQ,则3MFt+5MF2=MQ,

是以3|阿为邻边的平行四边形的一条对角线,

又/6MN=/gMN=60,.•.M。为/6M鸟的角平分线，

以3|%|,5眼段为邻边的平行四边形为菱形，.JM用=5|咋|,

由双曲线定义知：|岫|一|八隼|=2a,闾=3a,眼娟=5”，

在△大加心中，由余弦定理得：4c2=9/+25储一30/cos120=344+15/=49/，

，双曲线上的离心率e=£=J¥=g.

故选：D.

8.设〃=W，8=历，c=l+ln—,(其中e是自然对数的底数)，则()

917

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

【答案】c

【解析】

【分析】先构造函数得到eSin±<e±，判断出〃°<e，由二项式定理判断出"°>e，比较出b；对于

a、c,构造函数〃(x)=lnx-2。利用单调性证明出c>a即可得到答案.

•八兀

【详解】记/(x)=sinx-x,xG(),—,则r(x)=cosx-l<。,

所以/(力在0,|上单调递减，所以/(x)w/(o)=o,所以在0,^l±sinx<x,

所以sin—<—，

1010

又。=/单调递增,所以1哈</，

所以〃-历vTo，即*<e，

U—C<Ce

而由二项式定理得：T°

+・>2.83>e,...Q>b，

2里.1

2

(171,19

对于〃、c,由—，c-a=ln-----

917

1717

记=In尤一——,x>1>则”(x)~■~~^>0,

-x+1x(x+1)2x(x+l)

所以〃（x）在[1,长0）上单调递增，所以。图>/?(1)=0,

所以c-a>0,所以c>”.

综上所述：c>a>b

故选：C.

【点睛】方法点睛：比较大小：

（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；

（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较；

（3）根据式子结构，构造新函数，利用导数判断单调性，比较大小.

二、多选题（本大题共4小题，共分.在每小题有多项符合题目要求）

9.用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本

量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男生成绩样本数据分为6组:

[40,50）,（50,60）,[60,70）,（70,80）,[80,90）,[90,100],绘制得到如图所示的频率分布直方图（同一组

的数据用该组的中间值代表）.则下列说法中正确的是（）

B.估计有90%的男生数学成绩在84分以内

C.在［50,60）和［9Q100］内的两组男生成绩中，随机抽取两个进行调查，则调查对象来自不同分组的概率

73—

7

D.若男生成绩样本数据的方差为187.75,女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119,则总样

本的方差为146

【答案】AC

【解析】

【分析】利用频率分布直方图及相关数字特征的计算公式可判断AB,根据古典概型概率公式可判断C,

利用按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系进行求解判断D.

【详解】对于选项A,根据频率分布直方图有，男生成绩样本数据的平均数

x=45x0.1+55x0.15+65x0.15+75x0.3+85x0.25+95x0.05=71,故A正确；

对于选项B,根据频率分布直方图有，男生数学成绩在84分以内的人数的频率为

0.1+0.15+0.15+0.3+0.025x4=0.8,所以估计有80%的男生数学成绩在84分以内，故B错误；

对于选项C,根据频率分布直方图有，在［50,60）和［90,100］内的男生人数分别为6人、2人，随机抽取

C'c'3

两个进行调查，则调查对象来自不同分组的概率为一三2=一，故C正确:

C；7

对于选项D,设女生成绩样本数据的平均数为y，则总样本的平均数

40_60_

Z—x----V—X71+—X73.5=72.5,

100100-100100

1,,

所以总样本的方差为——{40[187.75+(71-72.5)2]+60[119+(73.5-72.5)2])=148,故D错误.

故选：AC.

10.己知点A（—2,—3）,8（—2,9）,圆C：x2+y2-4x+m=0,若在圆。上存在唯一的点。使得

NAQB=90",则加可以为（）

A.-3B.-21C.-93D.-117

【答案】D

【解析】

【分析】由NAQ3=90°,可得点。的轨迹为以A3为直径的圆T，故点。是两圆的交点，根据圆与圆的

位置关系即可求出.

【详解】根据NAQ6=90"可知，点。的轨迹为以4?为直径的圆T，|4却=12,

圆T的圆心丁（一2,3）,彳=6,圆C的圆心C（2,0）,

若在圆C上存在唯一的点。使得NAQB=90",故圆T和圆C相切，

即|<7|=4+弓或,口邛-目，

即,一卜,3?+42或732+42="7五+6（无解），

即6-y/4-m=5或6-y/4-m--5

故，〃=-117或加=3

故选：D.

11.若空间中经过定点。的三个平面a,/，/两两垂直，过另一定点A作直线/与这三个平面的夹角都

为4,过定点A作平面3和这三个平面所夹的锐二面角都为名•记所作直线/的条数为加，所作平面3的

个数为〃，则下列说法正确的是（）

A.m=4B.m+n—6C.tan^,=D.sin^2

【答案】AD

【解析】

【分析】以正方体为例进行研究，正方体的体对角线满足与同一顶点出发的三个平面所成角都相等，得“

的值，再结合正方体内的正四面体与同一顶点出发的三个平面的夹角都相等，得”的值，判断AB,再利

用几何知识求出角的三角函数值判断CD.

【详解】由题意，将三个两两互相垂直的平面a,£,/放入正方体中，

平面a,夕，7分别对应平面平面088、平面03月A，

根据正方体的对称性，体对角线。G分别与三个平面。，B，/所成角都相等,

因为平面34GC〃平面夕，所以体对角线82分别与三个平面a,尸，/所成角都相等，

同理体对角线g。、A。、8。分别与三个平面a,B,/所成角都相等，

过点A分别作。C、BQ、4C、BQ的平行线，

则这四条平行线分别与三个平面a,£,7所成角都相等，所以满足题意的直线/有4条，即〃-4,故选

项A正确；

因为正方体内正四面体。-吕。2的四个平面与正方体的六个平面所夹的锐二面角都相等，

所以正四面体。-8cA的四个平面与平面a,B，/所夹的锐二面角都相等，

所以过A分别作与正四面体。-用。2的四个平面平行的平面即可得到平面5，

所以满足题意的平面b有4个，即〃=4,所以机+〃=8,故选项B错误；

连接8。，因为。RJ•平面OBCD，所以BO为在平面OBCD上的射影，

故ND&D为直线BDt与平面088所成角，因为IIIBD},

所以直线/与平面O8CO所成的角4为ZDBD,,

设正方体棱长为1,则DD]=l,DB=y/2,

所以tanN28O=旭=走，即tanq=Y2,所以选项C错误；

1DB2'2

设AG1BR=V,连接MC,因为CG-L平面4与。10,BRu平面，

所以CJLBQi，又MJ且/CC£=G，/Cu平面CG"，CQu平面CG"，所

以耳口，平面CG",CMu平面CGM,所以gQ_LCM,

则ZCMC,是平面CBR与平面耳GQA所夹的锐二面角，

也是平面8和平面B所夹的锐二面角，

因为CC|=1，GM=等，所以cc=+=乎,

所以sinNCMG=2=逅，即sin&=逅，故选项D正确.

2

MC}33

【点睛】方法点睛：I、对于抽象的线线、线面、面面关系问题，可以放置在正方体中研究其位置关系；

2、掌握正方体中常用的线线关系、线面关系及面面关系是解决选填题的关键，比如体对角线与正方体的

各个侧面所成角都相等.

12.已知函数/㈤,g(x)的定义域为R,g'(x)为g(尤)的导函数，且/(x)+g'(尤)-10=0,

/(x)-g,(4-x)-10=0,若g(无)为偶函数，则下列一定成立的有()

A./(2)=10B./(4)=10

C./'(-l)=y'(-3)D.r(2()23)=()

【答案】ABC

【解析】

【分析】由g(x)是偶函数得出g'(x)是奇函数，由已知两条件推出g'(x)是以4为周期的函数，进而可得

/(X)为周期为4的偶函数，然后赋值法逐项分析即得.

【详解】因为g(x)是偶函数，则g(-x)=g(x),两边求导得一g'(r)=g'(x),

所以g'(x)是奇函数，故g'(0)=0,

由/(x)+g'(x)-10=0，/(x)-g,(4-x)-10=0,得/(x)-10=_g'(x)=g'(4_x),

即g'(-x)=g'(—x+4),所以g'3是周期函数，且周期为4,g'(0)=g'(4)=0,

g'(2)=g'(2-4)=g'(-2)=—g(2),所以g(2)=0,

对选项A：由/(x)+g'(x)—10=0,令x=2得，〃2)+g'(2)-10=0,所以"2)=10,故A正

确；

对选项B：由/(x)-g'(4—x)—10=0,令x=4得，/(4)—g'(())—10=(),故〃4)=10,所以B正

确；

对选项C：由/(x)+g'(x)-10=0,可得了(4一x)+g'(4—x)-10=0,

又/(x)—g'(4—x)—10=0,所以/(x)+/(4—x)=20,

又g'(x)是奇函数，/(-x)+g,(-x)-10=/(-x)-g,(x)-10=0.

所以/(x)+/(-X)=20,又/(x)+/(4-x)=20,

所以f(-x)=f(4—x),即/(x)=/(4+x),

所以/'(x)=/'(4+x),/'*)—/'(—x)=0,/'(x)=/'(-x),

所以函数/'(x)为周期为4的偶函数，

所以r(T)=/13)=r(-3),故C正确；

对选项D：r(2023)=/'(4x505+3)=r⑶，由题得不出八3)=0,所以/'(2023)=0不一定成

立，故D错误.

故选：ABC.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用条件得出函数g'(x)的奇偶性及周期性，进而得到函数/(X)的性

质，然后利用赋值法求解.

三、填空题(本大题共4小题，共分)

TT

13.已知向量a,。的夹角为彳，且|a|=4,|b|=2,则向量a+2〃在向量。上的投影向量为.(

用d表示)

3

【答案】二a##15a

2

【解析】

【分析】先计算向量a+26与向量匕的数量积，再代入投影向量公式中，即可得答案.

【详解】,匕夹角为1,卜《=4,忖=2

(a+2b).a=|a『+2|a||切cos]=4?+2x4x2x；=24,

二所以向量a+2b在向量a方向上的投影向量为生也女•&="x4=3a.

|@|⑷442

3

故答案为：一a.

2

14.已知〃x)=以2(a>o)的图象在％=1处的切线与与函数g(x)=e*的图象也相切，则该切线的斜率

k=.

3

【答案】e2

【解析】

【分析】分别求两条曲线的切线方程，比较系数得。的值.

【详解】函数/(无)="2的图象在％=1处的切线的切点为(1,。)，

因为/"(x)=2av,所以切线斜率为/'(1)=2。，切线方程为y-a=2a(x-l),即y=2办-a,

设g(x)=e*的图象的切线的切点为(x0,e%),因为g'(x)=ev,所以切线斜率为g'(x0)=e*。，

切线方程为y-e%=e"(x-x。)，即y=e%x+(1-x0)e%,

2a—e'°113一

由题<解得a=±e2玉>=5，斜率为2a=e

—a=(1_Xo)e*。2

故答案为：^2•

15.如图，函数〃x)=2sin(tyx+0)(cy>O,O<o<7r)的图象与坐标轴交于点A,B,C,直线交

/(x)的图象于点。，。(坐标原点)为△A8O的重心(三条边中线的交点)，其中4(一兀,0),则tan8=

【解析】

【分析】根据三角函数的图象，求得函数的解析式/(x)=2sin(gx+F),得到8仅,6),结合

tanB=tan(ZABO+ZCBO),即可求解.

2

【详解】因为。为△ABQ的重心，且A(-兀,0),可得。4=14。=兀，

3\Tt'

解得AC=—兀，所以C7，°，

2U)

1yr37r22

所以一7二—一(-71)=—,所以7=3兀，所以一二3兀，解得啰=—,

222CD3

可得/(x)=2sin(t*+。)，

22

由/(一兀)=0,即sin[§•(—兀)+勿=0,可得]x(—兀)+夕=E,

2兀27c

解得g=E+半，ZeZ,又由0<9<兀，所以Q=?，

(22兀

所以/(x)=2sin)—x+—

(33

于是|O5|=/(0)=2sintx0+T=石，所以8(0,百).

兀兀

tan/ABO+tanZ.CBO_6+243_36n

tanB=tan(ZABO+ZCBO)=

1-tanZABO-tanZCBOn26-n2

1-----

6

故答案为：上”

6-TI2

16.已知球。的表面积为36万，三棱锥P-ABC的顶点都在该球面上，则三棱锥体积的最大值为

【答案】8G

【解析】

【分析】根据题意可求球的半径R=3,当三棱锥底面越大，高越长的时候，三棱锥体积有最大值，设三棱

锥底面ABC的外接圆半径为『，利用导数可求三棱锥体积的最大值.

【详解】根据题意，设球的半径为R,则有4兀甯=36兀，解得R=3,

设底面ABC的外接圆的圆心为。一

需要的面积越大，先定住AB点，

若要ABC的面积最大，则得为等腰三角形，

且。।在ABC的底边的高线上，如图所示,

2

设。1到线段AB距离为O}M=x,底面ABC的外接圆半径为，故AB=2>Jr-x，

SA8c=；，2\jr2-x2-(r+x)=^(r-x)(r+x)3,0<x<r.

令/(x)=(/•-x)(r+x)3,0<x<r,

故Ff(x)=-(r+%)3+3(―x)(r+x)~=(r+x)2(2r-4x).

当0<x<：时，Ff(x)>0,歹(无)单调递增,

当时，F(x)<0,尸(x)单调递减，

所以尸(%),侬=/(、)，此时_ABC的面积最大，

1兀

此时COSZBQ]M=5，即

所以丁玷。是正三角形时，圆的内接三角形面积最大，

设正三角形ABC的底面边长为f,OO{=d,三棱锥的高为〃，

(A八2

则—/X-+42=9,故*=3(9-屋)，

\/

所以三棱锥的体积：v=g.乎//24g.乎/(3+1)=¥(27+91—3/一屋)，

令〃d)=27+9d-3d2一/，公田⑷，

由/'(d)=_3(d_l)(3+d)=0,得1=1,

当0<4<1时，/'(d)>0，/(d)单调递增,

当l<d<3时，/"(d)<0，/(d)单调递减,

故当d=l时，/(d)取最大值，

即三棱锥的体积取得最大值为8+,

故答案为：8G.

四、解答题（本大题共6小题，共分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.在平面四边形ABEC中，AC-ACcosA=y/3BCsinZABC-EC=6AC，NACE=120°，

NEBC=30°.

（1）求A;

（2）若3C=2,求融。的面积.

2乃

【答案】（1）y

【解析】

【分析】（1）根据已知结合正弦定理边角互化得出，再根据sinNA8C>0,约掉sinNABC,即可得出

l—cosA=J^sinA，变形结合辅助角公式得出sin（A+?）=!，即可根据角A的范围得出答案；

（2）根据已知结合正弦定理得出AC="5sinNABC，EC=—,即可得出4sinNABC=」一,

3sinEsinE

由四边形内角和得出NA8C+E=90，即可将式子中的角E转化为/ABC,即可根据诱导公式与二倍

角的正弦公式结合角的范围得出NABC=15，即可得出AC与/ACB,再根据三角形的面积公式得出

答案.

【小问1详解】

由题设及正弦定理边角关系：sinNABC-sinZABCcos4=GsinAsinZ.ABC>

又•.sinZABC>0,

/.1-cosA=A/3sinA>即1=6sinA+cosA=2sin（A+彳），即sin[A+1）=/,

jrTT77r

又OvAv%,则一<A+—<—,

666

7L5欠".

AH———,HPA

66

【小问2详解】

令NABC=a,四边形内角和为360，由（1）的结论知：a+E=90，

在一ABC中，由正弦定理得：-^-=—,即AC=-^sina=&§sinc

sinAsinasinA3

在LBCE中，一——=-^~,即EC=-^sinNCBE=—5—,

sinZCBEsinEsinEsinE

又•.EC=>/3AC，

...4,s-ina=----1--,

sinE

则4sinasin（90-cr）=l,即4sinacosa=l,即2sin2a=1,

QA=120。，A+a+NAC3=180，

/.0<6Z<60，

.・.2a=30。，即。=15。，

则sina=sinl5=sin（45-30）=sin45cos30-cos45sin30=----------

46.4A/3V6-V23V2-V6

AC=-----sina=------x

ZACB=\S0-120-15=45

18.已知数列｛a”｝的前几项和为S“，且满足也+=5,且a产一5.

（1）求证:数列［q为常数列,并求｛4｝的通项公式；

（2）若使不等式S,,>20成立的最小整数为7,且%GZ,求6和S,的最小值.

【答案】（1）证明见解析，aa=（5+aJ〃-5

（2）q=-3；S”的最小值为：-4

【解

【分析】⑴中两边同除〃(〃+1),再结合裂项即可同构出所需数列;(2)中由不等式S“>20成立的最小整数为

7可以确定Sn为二次函数且开口向上，结合qeZ,即可求出q，从而S„就确定了.

【小问1详解】

因为n4+1+=5,两边同除〃(〃+1)得，

%。=5=5_5

»+1n+nn+\'

所以e±i_+_2_=%+3

〃+1n+\nn

所以数列为常数列；

所以""+5=土5=%=(5+aJ〃—5.

n1

【小问2详解】

由(1)知，数列｛4｝是等差数列，

所以s/(卬+4)_”4+(5+q)〃_5]_(5+q)〃2+("5jr

n-22—2

因为S“>20,化简得(5+q)〃2+g-5j〃—40>0；

2

令/(n)=(5+tz,)n+(£Z-51)n—40,

则/(〃)>0成立的〃最小值为7,

/（6）<0

/7）〉05,日85/55

所以；解得一不<4--T7

41）40ZoZi

6Z1>—5

因为％eZ,所以4=一3；

所以S“="一4〃,故S.的最小值为邑=一4.

19.如图，在四棱锥P—ABCD中，侧棱PD，矩形ABCD,3.PD=CD,过棱PC的中点E，作EFLPB

交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.

p,

（1）证明：PB上DF;

（2）若PD=1，平面。£厂与平面ABC。所成二面角的大小为?，求匕“•的值.

【答案】（1）证明见解析

⑵变

48

【解析】

分析】（1）先证1平面PCD,得BC_LOE,再证。£_Z平面P8C,得DE上PB，然后证明

平面。£户，得证依JL£>厂；

（2）以。为原点，射线的，DC,1人分别为刘yz轴的正半轴，建立空间直角坐标系，由空间向量法求

二面角得8C的长，然后利用棱锥体积公式计算.

【小问1详解】

证明：因为PD_L平面ABC。，BCu平面46c。，所以PDJ_3C，

由底面ABC。为矩形，有3C_LC£>,而P£>cC£>=。，PD,CDu平面PC。，

所以BCJ：平面PC。，又。Eu平面PCD,所以3d>E.

又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DEL尸C.

而PCcBC=C，PC,BCu平面PBC,所以DE工平面PBC，PBu平面P8C，

所以DE上PB，

又PB上EF，DEEF=E,DE,EFu平面DEF，

所以平面。七户，而Obu平面。所，

所以依，。/得证.

【小问2详解】

如图，以。为原点，射线的，DC,如分别为第Vz轴的正半轴，建立空间直角坐标系.

ZA

因为P£）=OC=1,设5C=X,（2>0）,

则0（0,0,0）,P（0,0,l）,B（/M,o）,C（0,b0）,PB=（/M,—1）,点E是PC的中点，所以£（0，g，g

由PD_L平面A5CZ），所以OP=（0,0,1）是平面A8CD的一个法向量;

由（1）知，P8_L平面。EF,所以8P=（—%—1,1）是平面£）所的一个法向量.

TT

因为平面DEF与平面A3CD所成二面角的大小为W,

则cos£=「BP8［』/|',解得2=正（负值舍去）.

3\BP\-\DP\|V/l2+2|27

所以PB=2,PF=-=-PB,

24

”,z1“111,1c:

Vp-DEF=VF-PDE=~^B-PDE=^乂§乂5乂1乂5乂>/2=-

20.某网络APP在平台开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规

定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失

败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项活动.

（1）若甲第一关通过的概率为三3，第二关通过的概率为《2，求甲可以进入第三关的概率；

（2）已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分

前400名发放奖励，

①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖

励，请说明理由；

②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请

结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.

附：若随机变量z〜则尸(〃一bWXW"+b)a0.6827；

尸(〃一2b<X<〃+2b)a0.9545；P(//-3cr<X<//+3cr)®0.9973.

【答案】(1)-

6

(2)①能，理由见解析；②乙所说为假

【解析】

【分析】(1)利用独立事件的概率公式，结合甲闯关的可能情况求解即可；

(2)①利用正态分布的对称性及3cr法则，求得前400名参赛者的最低得分即可判断；

②假设乙所说为真，利用正态分布的对称性及3b法则，证得丙的分数为430分是小概率事件，从而得以

判断.

【小问1详解】

设4：第i次通过第一关，2：第i次通过第二关，甲可以进入第三关的概率为尸,

由题意知尸=p(A4)+/(私4)+/(4瓦坊)+网*瓦修)

=P(A)P(4)+P(X)P(4)P(4)+P(A)尸(瓦)尸(B2)+P(A)P(4)P(瓦)尸(%)

5

6

【小问2详解】

设此次闯关活动的分数记为X

①由题意可知〃=171,

因为悬=0皿8,且位>"+2)曰一针上1=臂3。。228,

所以〃+2b=351,则cr=—............=90；

2

_400,,目n/v、l—P(〃—crWX<〃+cr)1-0.6827八一_

而-----=0n.16,且尸(X>〃+(r)=-------------------------------=------------a0.1587<0.16,

2500\’22

所以前400名参赛者的最低得分高于〃+。=261,

而甲的得分为270分，所以甲能够获得奖励；

②假设乙所说为真，则〃=201,

/、P(LI-2(J<X<zz+2cr)1-0,9545

尸(X2〃+2b)=----------------匕-----L=，x0.0228,

57..351—201

而-----=0.0228,所以cr=--------=75,

25002

从而〃+3cr=201+3x75=426<430,

十,、1一尸(〃一3CT4X4〃+3b)1-0,9973

而尸(X2〃+3cr)=——----------------=——-——~0.0013<0.005,

所以X2〃+3o■为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其不可能发生，但却又发生

了，所以可认为乙所说为假.

21.过抛物线E：V=4y的焦点尸作斜率分别为给&的两条不同的直线4，且4与E相交于点A,

B,4与E相交于点C，D.以A3,CZ)为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在的直线记

为/.

(1)若K•%2=2,求FM-FN；

(2)若)+为=2,求点M到直线/的距离的最小值.

【答案】(1)24(2)宜।

20

【解析】

【分析】(1)根据题意设直线4的方程为，=%押+1，联立抛物线E的方程可得关于x的一元二次方程，

从而可得玉+々，y+必，进而可得点”的坐标，即可得到FM的坐标表示，同理可得FN，求解

FA/.EV即可；

(2)结合(1),根据抛物线的定义得|E4|,|五邳，进而可得情用，即可得到圆M的半径从而可得到

圆M的方程，同理也可得到圆N的方程，两圆方程相减即可得到直线/的方程，再根据点到直线的距离公

式即可求解.

【小问1详解】

依题意，抛物线E的焦点为E(0,l),且其在抛物线内部，设直线4的方程为y=4x+l,

y=£x+l0

由，得％2-4安—4=0,

x=4y

设A,B两点的坐标分别为（玉,凹）,（工2，%），则小马是上述方程的两个实数根，

[X1+%2=做

所以y十%=1（％+工2）+2=4k；+2'

所以点M的坐标为（2匕,2好+1）,FM=（2勺,2k；）,

同理可得N的坐标为（2网,2代+1）,FN=（2自,2y），

于是FM-FN=4k―+k；k（）,

又4山2=2,所以FM-FN=24•

【小问2详解】

结合（1）.

由抛物线的定义得|E4|=y+l，|b却=%+1，

所以|叫=乂+必+2=4#+4,

所以圆M的半径4=26+2,

所以圆”的方程为（x-2匕/+（y-2k；-I）2=（2公+2）2,

化简得x2+y-_4（*_2（2Z1+l）y-3=0,

同理可得圆N的方程为V+V-4&x-2（2代+l）y—3=0,

于是圆”与圆N的公共弦所在直线/的方程为（&2-4）x+（网之—婷）y=0,

又七一匕。0,勺+&=2,则直线/方程为x+2y=0,

所以点M到直线/的距离/+24+2|_4代+J一+4,

泥一75

故当上=一2■时，取最小值二尸=2叵.

44石20

【点睛】关键点点睛：解答小问（2）的