2023新高考数学适应试题及答案 (三)

理科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.并将条形码贴在答题卡上对应的

虚线框内。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷

上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.设复数z=牛磐，其共轲复数为凡则历+3i|=

A.空B.V2

C.2D.V26

2.已知集合河={力|（%—1）（力—2）V0},N={6|JJ>0},则

A.NQMB.MQN

C.MUN=RD.MCN=0

3.设a是第二象限角，F（力，1）为其终边上一点，且cosa=4/,则tana=

o

A.-2V2B.-亨

4D8

4.明安图是我国清代杰出的数学家、天文历法家和测绘学家,论证了幕级数展

开式和圆周率的无穷级数表达式等多个公式，著有《割圆密率捷法》一书，

在我国数学史上占有重要地位.如图所示的程序框图就是利用新级数公

式来计算圆周率的近似值的（其中P表示兀的近似值）.若输入n的值是

15,则输出的结果为

P=4x（l-1+|-1+--X^_

A.+）

B.-X（1—；+；—；+…

IP=4S|

C.9=4*（1_»：—：+.一击+击）/输出7/

D.P=4x（l-»1-尹…+击-'）

5.若函数y=lg（2-ax）在区间（0,2）内单调递减,则a的取值范围是

A.(0,+co)B.[1,+oo)

C.(0,1)D.(0,1]

6.已知力>0,9>0,且■+卷=1,则22+9的最小值为

A.16B.8+4V2

C.12D.6+4V2

7.已知/(0是定义域为R的奇函数，当。>0时,/(，)单调递增，且44)=0,则满足不等式

2"Q—1)<0的;r的取值范围是

A.(-3,1)B.(1,5)

C.(-3,0)U(1,5)D.(-00,-3)U(1,5)

8.已知向量Q,b,c满足|a|=|6|=|c|=3,且c+b+京;=0,则COS(Q—b,b)=

C.4D.手

oo

9.sin40°(tanlO°—V3)=

A.-1B.—C.D.1

3.一

10.已知Q=2，，b=F,c=log34,则Q,b,c的大小关系为

A.a>b>cB.b>a~>c

C.b>c>QD.Q>c>b

11.给出下列四个图象：

A.①③B.②③C.②④D.②③④

12.将函数/（,）=cos,-吟2在（0,+8）上的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到

e

数列｛g｝（其中九CN*）,则

A.（n—5）兀<xn<（n+-^-）7CB.xn+1—xn<兀

C.xn-\-xn+1>（2n—1）7UD.｛原一（九一1）兀|｝为递减数列

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分。

32

13.已知函数/(,)=[ax+(a-2)X]•(e。—e^)为偶函数,则实数a的值为.

14.已知向量Q,b满足闷=2,同=3,|a—2M=4,则|a-&|=.

15.已知函数/(2)=sin(3,+-|-)(co>0)的一个零点为省，则0的最小值为.

16,若函数/(c)=e^+cosz+(a—1)多存在最小值，则a的取值范围是.

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每

个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

(一)必考题:共60分。

17.(12分)

已知等差数列｛册｝的前几项和为S”,且ag+aio：40,Ss—8(ai+a3).

(1)求｛a“｝的通项公式；

⑵若鼠=(T严记也｝的前几项和北,求冤.

18.(12分)

记△ABC的内角A,B,。所对的边分别是a,b,c,已知6sinC=csin等

(1)求角B的大小；

(2)若点。在边AC上，BD平分NABC,a=2,b=求线段BD长.

19.（12分）

2n+1

已知数列｛aj满足a-i=1,电+2电+3。3H-----\~nan=an.

⑴求｛册｝的通项公式；

⑵记log3bn=求数列｛等｝的前九项和图

%

20.（12分）

已知函数/（rc）=x\n.x—ao^—x+1.

（1）若/（。）在（0,+8）上单调递减，求a的取值范围；

（2）若/Q）有两个极值点电，电,证明：目一+—>2.

iDicZ/^J.HCZZ2

21.（12分）

已知函数/（C）=ex—3ax2.

（1）若/（，）有3个零点，求a的取值范围；

（2）若z>0,/Q）>ax3+x+1,求a的取值范围.

（二）选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题

计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）

在直角坐标系xOy中,曲线。的参数方程为f=8S“'（a为参数）,过点（2,0）的直线I

［y—sina

与。仅有一个公共点,该公共点在第一象限，以。为极点，，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求。和/的极坐标方程；

（2）已知P（p,。）（0W。W2兀），Q分别为I和。上的动点,且APOQ=90°,若APOQ的面

积为1,求优

23.［选修4-5：不等式选讲］（10分）

已知函数/（2）=2|c—1|+\x+1|.

（1）解不等式/（c）W4—2,；

（2）设/㈤的最小值为此正数a,b满足a+b=此求证：（a+打+（b+等.

一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分。

1-5：BBCCD；6-10：ACAAB；11-12：CD

12题：

命题意图:本小题设置余弦函数、指数函数、整式函数等四则运算结果的新函数为探索创新情

境,主要考查利用导数研究函数的图象和性质、数列等必备知识;考查化归与转化、数形结合等

数学思想;考查数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养。

解析参考:依题意,r（c）=-sin,+叶■./㈤在（0,+8）上的所有极值点,即考虑广㈤在

e

（0,+8）上的零点，即考虑函数u（G=右1与nQ）=sinz图象交点横坐标及相互关系即可.

e

显然,选项A不合题意；xn+1-xn<7i:也可能xn+1-a?n>7U,B选项错误;对于C,取特例可知，

力1+力2>兀，力2+力3V3兀,结合图①和图②，也可得到xn+xn+1>(2n—1)7C或者xn-\-xn+1<

(2九一1)7U,C错误；|为一(九一1)兀|在力轴上表示为与(八一1)兀的距离，由于〃(/)=/[I在

e

(0,+oo)上单调递减,可知|xn—(n-l)7r|越来越小,D选项正确.

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2；14.1；15.10;16.(-00,1).

16题:命题意图:本小题设置探索创新情境,主要考查利用导数研究函数的图象和性质等必备

知识;考查化归与转化、数形结合等数学思想;考查数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等

数学核心素养;本题力破了，，直接寻找最小值，，这一解题套路,考查数学思维的敏捷性和灵活

性，考查数学视野。

解析参考:注意到，当Q=1时,/(n)=e"+COST，由于e。>0,-1<COST<1,显然/(力)——1,

没有最小值;当Q>1时，已，+85/>一1且无限接近一1,g=(Q—1)力为增函数，则力一一8,e，

+cosx+(a—1)力->—oo,x->+oo,ex+cos/+(a—l)x—+8,此时没有最小值；当aV1时，y

=(Q—1)T为减函数，则力t—8,ex+cosx+(a—l)x->+oo,力->+8,由于g=e,增长变化速

度远大于g=(Q—1)力减少速度,此时e*+cos/+(Q—1)力T+8，也可以结合大致图象特征判

断，/(6)=1+COST+(Q—1)力存在最小值.

三、解答题:本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(一)必考题:共60分。

17.(12分)

(1)设公差为d,

Qi+8d+Qi+9d=40,

依题意,得18oi+8x7d=8(2oi+2d),.....................................2分

2QI+17d=40,

BP<_3_i解得Qi=3,d=2,......................................4分

Qi—,

所以Q九=2n+l(neN*)...................................................6分

⑵由⑴知，鼠=(T严;^1y=(T严(*"，....................8分

心=(：+9)-(9+/)+…+(壮Y+蚩)-(蚩+诟匕)

=1-------

2n+l

_2n

2n+「

2n

所以,T=........................................................12分

2n2九十r

18.（12分）

⑴由已知fesinC=csin夸,根据正弦定理,得sinBsinC=sinCsin等,..........1分

因为。C（0,兀），所以sinCWO,

B

2分

故有sinB=sin2L••--

8B

即有2sin?.2-S1«n2

因为易E(0,与)，所以sin卷WO,则cos卷=[,............................4分

所以，导=与，则3=筝................................................5分

/JO

(2)依题意,-^-a•BD-sin-|-+-^-c•BD-sing=/acsin手,

即a•BD+c•BD=ac,也即为2BD+c•BD=2c,

所以=............................................................9分

2+c

在△ABC中，根据余弦定理，

有/=o2+c?-2accos-^-=/++加,即7=4+c?+2c,

o

解得c=1,或c=-3(舍去),

所以由=券=率12分

19.(12分)

yl

(1)由Qi+2a2+3Q3H---\~nan—2+金+1①

/日/、2(?i+1)2+3(n+1)+1

彳守+2。2+3a3H---\-nan+(n+l)an+1=----------------------an+1,②

科十力士4日/I-1\2n2+7n+62n2+3n+1

②式—①式，侍(九+l)an+1=-----------an+1-------g-----an,

化简得况=皂±1,即有上胃=3.......................................4分

annn+1n

则n>2时，以=乌\=-=黑=?=1,即®="，

当?i=1时，Qi=1满足该式，

所以，｛an｝的通项公式an—n................................................6分

（2）由log3勾=。九，得⑥=3诙=3%答=冬，..................................7分

O

所以玛=9+亳H---b/③

则有寺玛=卷+看+…+丫+言，④.........................8分

③式一④式，得■北+---一卢T

=12n+3

—2_2x3n+1?

所以北=今—..................................................12分

20.(12分)

(1)由f{x}=xlnx—ax2—2，得/'(2)=Ina?—2ax,

因为/3)在(0,+8)上单调递减，

所以广(2)=Inc—2aa?<0即2a>当^在(0,+»)时恒成立，

令g(土)=萼(①>。)，则g'E)=，

可知，0V%Ve时,g〈宏)>0,g{x)单调递增；力>e时,g\x)<0,g(x)单调递减，

故力=e时,g(力)在(0,+8)上取得极大值g(e)=，也即为最大值.

所以，2a>工，得a>,

e2e

故/(工)在(0,+8)上单调递减时，a的取值范围是[金，+00)...................................5分

(2)由(1)知，『(x)—Inx—2ax,

函数/(力)有两个极值点力1,力2,则/'(力)=lnc—2a/有两个零点g,力2,

一上、、n十口(Inxi—2aXi=0,

不妨设0V力iVg,于是on

[lnx2—2ax2—0,

贝ljIn42-In^i=2a(g—g)，—,于是

/a111.3^2J.H«ZZ^

XiX

令&=。1,则In①>0,包------2Om1——2—t——21nt,

X1X1x2Xi

着一2%+1

设h(t)—t—；—21nt(t>1),则h'[t}—1+-----*—>0,

故函数h(t)在(1,+8)上单调递增,则h(t)>无⑴=0,则匹—曳—21n9>0,

力1力2

所以"一+———2>0,即"一+"—>2...........................................................12分

InXiIn62In11rnx2

21.(12分)

(1)因为/(。)=e"-3ax2有三个零点，

所以方程e。—3a/=0即齐=三有三个实数根，

oae

令g(2)=%，则g'Q)=，

则/V0时，g'(力)VO;OV力V2时，g'(力)>0；力>2时，g<力)<0,

所以，力=0时，g[x}取极小值g(0)=0;6=2时，g(6)取极大值g(2)=*■,

e

又XT—8时，g(l)—+00；xT+00时，g(力)T0,

所以，蚩=%有三个实数根时,0<七~Va,即Q>卡~,

综上所述,/(力)有3个零点时，a的取值范围是(言，+8)....................5分

(2)令h{x)—J(x)—(Q力3+宏+1)=e'—ax3—3ax2—x—1,

贝U有h\x)=ex—3ax2—6ax—1,且"(0)—0,无(0)=0,

设〃(6)=h\x)=ex—3ax2—6ax—1,则u\x)=ex—6ax—6a,

又令v[x)—u'(x)=e*—6ax—6a,则v\x)—ex—6a,

①若"(0)=1—6a>0,即aW■时，

由于为单调递增函数，可知"⑵>"(0)>0,

则v{x)即uf{x)单调递增,故ur(x)>伍(0)=1-6Q>0,

所以u{x)即h\x)为单调递增函数，

则h\x)>"(0)=0,则从G单调递增，

所以h{x}>无(0)=0,即力>0时,/(%)>ax3+x+1恒成立，

所以，当时，符合条件..............................................9分

O

②若"(0)=1—6aV0,即a>■时，

由于v\x)=ex—6a为单调递增函数,且+6a))=1>0,

所以三gG(0,ln(l+6a)),"(g)=0,

贝(J0V力Vg时，<0,

可知v(x)即u\x)单调递减,则u\x)<4(0)=0,

故u(x)即h\x)单调递减,则h\x)<"(0)=0,

则从力)为单调递减函数，

所以，h{x)<九(。)=0,不符合题意.

综上所述，当2>0,/㈤>+2；+1时，a的取值范围是(―..........12分

(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题

计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)

,、।.,,人u,.、n.»IX=COSdf,

⑴由于。的参数方程为.

[y—sma,

所以C的普通方程为/+才=1,其极坐标方程为p=1,..........................................