2023年中考数学练习-二次函数与四边形综合

2023年中考数学高频考点突破一二次函数与四边形综合

1.如图所示，抛物线y=f+⅛χ+c经过点4(2,-3)与C(0,-3),与X轴负半轴的交

点为B.

(1)求抛物线的解析式与点3坐标；

(2)若点。在X轴上，使AABD是等腰三角形，求所有满足条件的点。的坐标；

(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，若以A、B、M、N为顶点的四边形

是平行四边形，其中A8〃MN,请直接写出所有满足条件的点M的坐标.

2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-/+4x+5与y轴交于点A,与X轴的正半轴交

于点C.

(1)求直线AC解析式；

(2)过点A作AD平行于X轴，交抛物线于点。，点尸为抛物线上的一点(点尸在AO

上方)，作EF平行于y轴交AC于点E,当四边形AFz)E的面积最大时？求点F的坐

标，并求出最大面积；

(3)若动点P先从(2)中的点F出发沿适当的路径运动到抛物线对称轴上点M处，

再沿垂直于y轴的方向运动到y轴上的点N处，然后沿适当的路径运动到点C停止，当

动点P的运动路径最短时，求点N的坐标，并求最短路径长.

3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=0r2+⅛r+c与X轴交于A(-2,O),B(8,0)

两点，与y轴交于点C，且OC=2OA,抛物线的对称轴X轴交于点D

(I)求抛物线的解析式;

(2)点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P点的横坐标为m,

且S&CDP=」比SAABC，求m的值；

20

(3)K是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点”，使8、C、K、H为

顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点”的坐标；若不存在，说明理由.

4.如图，已知直线y=-工x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，抛物线y=-L∕+bx+c

22

经过点A、B,点P为直线AB上的一个动点，过P作y轴的平行线与抛物线交于C点,

抛物线与X轴另一个交点为D

(1)求图中抛物线的解析式;

(2)当点P在线段AB上运动时,求线段PC的长度的最大值;

(3)在直线AB上是否存在点P,使得以0、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请求出此时点P的坐标,若不存在，请说明理由.

5.已知抛物线y=工x2+bx+c与X轴交于A(4,0)、3(-2,0),与y轴交于点C

2

(1)求抛物线的解析式；

(2)点。为第四象限抛物线上一点，设点D的横坐标为m,四边形ABCD的面积为S,

求S与机的函数关系式，并求S的最值；

(3)点P在抛物线的对称轴上，且∕BPC=45°,请直接写出点P的坐标.

6.如图，在平面直角坐标系Xoy中，O为坐标原点，抛物线y=α(x+3)(X-I)(α>0)

与X轴交于A,8两点(点A在点B的左侧).

(1)求点A与点B的坐标；

(2)若。=工，点M是抛物线上一动点，若满足NMAo不大于45°,求点M的横坐

3

标机的取值范围.

(3)经过点8的直线/：y=丘+b与y轴正半轴交于点C与抛物线的另一个交点为点

D,且CO=4BC.若点P在抛物线对称轴上，点Q在抛物线上，以点、B,D,P,Q为

顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.

7.如图，抛物线y=1χ2+∣∙χ-4与X轴分别交于4、B两点（点4在点B的左侧，）与

y轴交于点C,作直线AC

（1）点B的坐标为,直线AC的关系式为.

（2）设在直线AC下方的抛物线上有一动点P,过点P作X轴于。，交直线AC于

点E,当CE平分NoEP时求点P的坐标.

（3）点M在X轴上，点N在抛物线上，试问以点A、C、N为顶点的四边形能否成

为平行四边形？若存在，直接写出所有点M的坐标；若不存在，请简述你的理由.

（1）求点A的坐标;

（2）点8为抛物线上横坐标等于-6的点，点M为线段OB的中点，点P为直线OB下

方抛物线上的一动点.当APOM的面积最大时，过点P作PCLy轴于点C,若在坐标

平面内有一动点。满足PQ=旦，求QC的最小值；

22

（3）当（2）中0。+工QC取得最小值时，直线OQ与抛物线另一交点为点E,作点E

2

关于抛物线对称轴的对称点E'.点R是抛物线对称轴上的一点，在X轴上是否存在点

S,使得以0、E'、R、S为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出S点的

坐标；若不存在，请说明理由.

9.已知，如图，抛物线y=αγ2+/Zr+c(α≠0)的顶点为M(1,9),经过抛物线上的两点

A(-3,-7)和2(3,〃?)的直线交抛物线的对称轴于点C.

(1)求抛物线的解析式和直线AB的解析式.

(2)在抛物线上A、M两点之间的部分(不包含A、M两点)，是否存在点。，使得S

△DAC=2SADCM?若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)若点尸在抛物线上，点Q在X轴上，当以点4,M,P,。为顶点的四边形是平行

四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标.

10.已知抛物线y=0x2+fev+3经过点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C,点P

为第二象限内抛物线上的动点.

(1)抛物线的解析式为,抛物线的顶点坐标为；

(2)如图1,连接OP交BC于点。，当SACPD：SABPD=1:2时，请求出点。的坐标;

(3)如图2,点E的坐标为(0,-1),点G为X轴负半轴上的一点，NOGE=I5°,

连接PE,若NPEG=2N0GE,请求出点P的坐标；

(4)如图3,是否存在点尸，使四边形BoCP的面积为8?若存在，请求出点P的坐标;

若不存在，请说明理由.

11.在平面直角坐标系中，二次函数)，=2区』-生巨χ-2√3的图象与X轴交于A、B

33

两点，与y轴交于点C,连接AC、BC.

(1)求AABC的周长；

(2)点P是直线BC下方抛物线上一点，当aBPC面积最大时，在X轴下方找一点Q,

使得AQ+BQ+42PQ最小，记这个最小值是d,请求出此时点P的坐标及d1.

(3)在(2)的条件下，连接AP交y轴于点R,将抛物线沿射线P4平移，平移后的抛

物线记为y',当y经过点A时，将抛物线V位于X轴下方部分沿X轴翻折，翻折后所得

的曲线记为N,点ZJ为曲线N的顶点，将aAOP沿直线AP平移，得到AAO户，在平

面内是否存在点7,使以点R、O∖T为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写

出0'的横坐标；若不存在，请说明理由.

12.如图，在平面直角坐标系Xoy中，已知抛物线y=αr2-2x+c与直线y=fcv+b都经过A

(0,-3)、B(3,0)两点，该抛物线的顶点为C.

(1)求此抛物线和直线AB的解析式；

(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点£,在射线EB上是否存在一点过M作

X轴的垂线交抛物线于点M使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求

点M的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当APAB面积最大时，求点P的坐标,

并求4P48面积的最大值.

13.已知抛物线y=αx2+&x+4的对称轴是直线x=3,与X轴相交于4,B两点(点B在点

2

A右侧)，与y轴交于点C.

(I)求抛物线的解析式和A,B两点的坐标;

(2)如图1,若点P是抛物线上8、C两点之间的一个动点(不与8、C重合)，是否

存在点P,使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的

最大值；若不存在，请说明理由；

(3)如图2,若点M是抛物线上任意一点，过点M作)，轴的平行线，交直线BC于点

N,当MN=3时，求点M的坐标.

14.如图，抛物线y=αr2+bx+c经过A(1,0)、B(4,0)、C(0,3)三点.

(1)求该抛物线的解析式：

(2)如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得四边形PAoC的周长最小？若存

在，求出四边形PAOC周长的最小值：若不存在，请说明理由.

(3)在(2)的条件下，点Q是线段OB上一动点，当ABPQ与ABAC相似时，求点Q

的坐标.

15.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=0x2+⅛r+l交y轴于点A,交X轴正半轴于点B

(4,0),与过4点的直线相交于另一点。(3,5),过点D作。CJ_x轴，垂足为C.

2

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P在线段OC上(不与点。，C重合)，过户作PNLX轴，交直线AO于

交抛物线于点N,NfiLLAO于点E,求NE的最大值；

(3)若P是X轴正半轴上的一动点，设。尸的长为f.是否存在r,使以点M,C,D,

N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出f的值；若不存在，请说明理由.

16.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数)，=-∙∣

x2+fec+c的图象经过A、E两点，且点E的坐标为(-2,0),以OC为直径作半圆，

3

圆心为D.

(1)求二次函数的解析式；

(2)求证：直线BE是。。的切线；

(3)若直线BE与抛物线的对称轴交点为P,M是线段C8上的一个动点(点M与点B,

C不重合)，过点M作MN〃BE交X轴与点N,连接PM,PN,设CM的长为f,△

PMN的面积为S,求S与f的函数关系式，并写出自变量f的取值范围.S是否存在着最

大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

17.已知如图，抛物线y=-9χ2Aχ+4交X轴于A、C两点，点。是X轴上方抛物线

55

上的点，以A,。为顶点按逆时针方向作正方形AOEE

（1）求点A的坐标和抛物线的对称轴的表达式；

（2）当点尸落在对称轴上时，求出点。的坐标；

（3）连接OZ）交EF于点G,记OA和EF交于点H,当^A∕7∕的面积是四边形A。EH

面积的JL时，则SAOGH=______.（直接写出答案）

7SZkOAD

18.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2Λ-2与X轴交于点A,与y轴交于点C∙抛

物线y=∕+bx+c经过A,C两点，且与X轴交于另一点8（点8在点A右侧）.

（1）求抛物线的解析式及点B坐标；

（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交X轴于点E交抛物线

于点E.求ME长的最大值；

（3）试探究当ME取最大值时，在抛物线上是否存在点P,使以M,F,B,P为顶点

的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.

19.如图，直线y=」x+2分别与X轴、y轴交于C、。两点，二次函数y=-/+bx+c的图

2

象经过点O,与直线相交于点E,且CO：DE=4：3.

(1)求点E的坐标和二次函数表达式；

(2)过点。的直线交X轴于点M.

①当。M与X轴的夹角等于2NOCO时，请直接写出点M的坐标；

②当。MLCQ时，过抛物线上一动点P(不与点。、E重合)，作。M的平行线交直线

CZ)于点。，若以。、M、P、。为顶点的四边形是平行四边形，求点尸的横坐标.

20.如图，已知抛物线y=0r2+bx+3过点A(-1,0),B(3,0),交y轴于点C,点M

是该抛物线上第一象限内的一个动点，ME,X轴于点E,交线段BC于点O,MN〃x轴,

交)，轴于点N

(1)求抛物线y=αr2+6x+3的表达式；

(2)若四边形MNoE是正方形，求该正方形的边长；

(3)连接0。，AC,抛物线上是否存在点M,使得以点C,O,。为顶点的三角形与△

ABC相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在请说明理由.

参考答案：

1.【解答】解：(1)：抛物线y=f⅛r+c经过点A(2,-3)与C(0,-3)

.ʃ4+2b+c=-3

*Ic=-3

解得(b=-2,

Ic=-3

抛物线解析式为：y=∕-2χ-3,

当y=0时，解得Xl=3,Xi=-I

:点B在X轴负方向，

二点8坐标为(-1,0)；

(2)作AMLC轴于M,

点M(2,0),AM=3,

.,.AM=BM=3,

：.ZABM=45o

：.AB=3√2

当8A=8。时，若点。在B点左侧，此时点。(-1-3Λ∕5,0),

若点D在B点右侧，此时点D(-1+3加,0),

当Ao=8。时，显然点。即为点M,坐标(2,0),

当AB=A。时，OM=BA/=3,此时点。(5,0),

综上所述：点。坐标为(-l-3√5,0),(-l+3√2,0),(2,0),(5,0)；

(3)抛物线解析式为：y=W-2χ-3,

二对称轴为X=L即点N横坐标为1,

Y以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，其中

-'-XB-XM=XA-硒或XB-XN=XA-XM，

-1-XM=2-1或-I-I=2-XM>

.'.XM=-2或4,

：.M(4,5)或(-2,5).

2.【解答】解：(1)：抛物线y=-∕+4x+5与y轴交于点A,与X轴的正半轴交于点C.

当X=O时，y=5,则点4(0,5)

当y=0时，0=-Λ2+4X+5,

・・犬1=5,X2=~1，

:•点B(-1,0),点C(5,0)

设直线AC解析式为：y=kx+b,

.(b=5

I0=5k+b

解得：P=-I

1b=5

直线AC解析式为：y=-χ+5,

(2)：过点A作AO平行于X轴，

.∙.点。纵坐标为5,

Λ5=-JC2+4X+5,

.∙.X1=O,X2=4,

，点。(4,5),

：.AD=4

设点尸(x,-X2+4X+5),则点E坐标为(x,-χ+5)

/.EF=-X2+4X÷5-(-x+5)=-X2+5X,

Y四边形AFoE的面积=LADXEF=2E产=-2√+Iar=-2(X-亘)？+空

222

.∙.当X=立时，四边形AFZ)E的面积的最大值为空，

22

.∙.点尸(S,l∑)；

24

(3)；抛物线y=-/+4x+5=-(X-2)2+9,

二对称轴为x=2,

：.MN=2,

如图，将点C向右平移2个单位到点H(7,0),过点尸作对称轴X=2的对称点G

(刍，正)，连接G4,交直线x=2于点M,

24

'：MN//CH,MN=CH=2,

，四边形MNCH是平行四边形,

INC=MH,

∙.∙动点P的运动路径=FM+MN+NC=GM+2+MH,

，当点G,点M,点H三点共线时，动点P的运动路径最小，

.∙.动点P的运动路径最短距离=2+J2+（苧-O）2=2+Yψ□

设直线G”解析式为：y=mx+n,

（353

.•-TVnW

0=7m+n

f_35

ltl--99

直线G4解析式为：)，=-空什笙•，

2222

当x=2时，y=-ɪiʒ.,

22

：.点、N(O,.ɪzʒ.)

22

3.【解答】解：(1)VA(-2,O),B(8,0)

∙*∙QA—290B=8,

∙/OC=IOA1

：.OC=4,

・・・点C(0,4)

Y设(X+2)(X-8)经过点C,

Λ4=-16。，

工。=-―,

4

；・抛物线解析式为：y=-ɪ(x+2)(X-8)=-工/+3χ+4;

442

(2)如图1,

由题意：点D(3,0),

.∙.OO=3,

设P(.tn,--∏Γ,+-m+4'),Cm>0,-

4242

VC(0,4),

.∙.直线PC的解析式可表示为：y=(-‰+l)x+4,

42

设直线PC与对称轴的交点为E,则点E(3,-‰+ΔI),

42

LDE=-3〃?+JZ,

42

：SZXABC=Lx48XOC,

2

.∙.5ΔΛBC=ɪ×10X4=20,

2

•；SACDP=-^5∆ΛBC>

20

.∙.JLX(-J-rn+Δl)×W=Alx20,

24220

Λwι=4或mi—-≤≤∙;

3

(3)若BC为边，NCBK=90°时，如图2,将BC绕点B逆时针旋转90°得至∣J8C,

：.BC=BC,ZCBC=W0,

ΛZCBO+ZC=90o,ZCBO+ZOCB=90o,

.•・NOC8=NEBC,且8C=3C,NBEC=NBOC=90°,

:ABCO/ABCE(AAS)

；・BE=0C=4,OB=EC=Sf

，点C(4,-8),且B(8,0)

・,・直线3C解析式为：y=2χ-16,

.∙.2χ-16=--x1+-χ+4,

42

Λxi=-10,12=8,

・•・点K(-10,-36),

Vxc-XB=XH-XK，

**.0-8=XH~(-10),

：・XH=-18，

∙.∙yc-yB=yπ-)«，

:DH=-32,

：.点H(-18,-32),

若BC为边,NBCK=90°时,

同理可求：直线CK的解析式为：y=2x+4,

.*.2x+4=-∙L∕+3χ+4,

42

•∙Λ,J=-2,X2=。，

；・点K坐标(-2,0)

Vxc-XB=XK-XH，

**.0-8—-2-XH，

Λχ∕y=-6,

^yc-yβ=yκ-”/，

^yH=-4,

，点”(6,-4),

若BC为对角线，

：氏C、K、”为顶点的四边形成为矩形，

.".BC=KH,BC与K”互相平分，

VB(8,0),C(0,4)

22=4

.∙.BC中点坐标(4,2),BC=√OB4QC√64+16=Vs-

设点K(x,-∙L∕+3X+4)

42

.∙.(X-4)2+(-Λr2+3χ+4-2)2=(2√5)2,

42

.∙.x(X-2)2(X-8)=0,

♦∙xi=0,X2=2,X3=8,

,K(2,6),且KH的中点坐标(4,2),

，点，（6,-2）

综上所述：点//坐标为(6,-4),(6,-2),(-18,-32).

4.【解答】解：(1)直线y=-∕χ+2与两坐标轴分别交于4、B两点,

；・当X=O时，y=2f当y=0时，X=4,

・・・点A(0,2),点B(4,0)

抛物线y=1χ2+bχ+c经过点A、B,

...[c=2,

1~8+4b÷c=0

[b=3

解得：«02,

c=2

二抛物线解析式为：y=-JL∕+3X+2;

22

(2)设点C(x,-Ax2+J.x+2),

22

-C尸〃y轴，

点P(x,-—x+2),

2

*22

..PC=yc-yp=-ɪr+—x+2-(-JLX+2)=-A(X-2)+2.

2222

：点P在线段AB上运动，

Λ0≤x≤4,

当x=2时，线段PC的长度的最大值为2；

(3)假设点P的坐标为(x,-lχ+2),

2

：PCLx轴，

二点C的横坐标为X,又点C在抛物线上,

.∙.点C(x,--X2+-X+2)，

22

①当点P在第一象限内时，假设存在这样的点P,使得四边形AoPC是平行四边形，如

图1,

•••四边形OACP是平行四边形，

.,.0A=PC=2,

.∙.2=-ɪ(χ-2)2+2,

2

∙'∙x=2,

：・点、P(2,1),

②当点尸在第二象限内时，假设存在这样的点P,使得四边形AoCP是平行四边形，如

图2,

：四边形OAPC是平行四边形,

：.OA=PC=I,

.∙.2=--lχ+2-(-JL∕+3X+2)

222

/.x2-4X-4=0,

.∙.x=2-2&或x=2+2&(舍去)，

：.点P(2-2√2-l+√2))

③当点P在第四象限内，假设存在这样的点P,使得四边形40CP是平行四边形，如图

3,

•••四边形OAPC是平行四边形，

.,.OA=PC=2,

二2=--Lχ+2-(-A√+J.χ+2)

222

.,.X2-4X-4=0,

Λx^2-2√2(舍去)或x=2+2&,

：.点P(2+2√2,1-√2)，

综上所述：使得以。、A、RC为顶点的四边形是平行四边形，满足的点P的坐标为:

(2,1)或(2+2√2.1-√2)或(2-2&,l+√2).

5.【解答】解：(1)抛物线的了表达式为：y=工(χ-4)(x+2)=Ix2-χ-4；

22

(2)设点。Cm,—nr-W-4),

2

+

S=5ΔOBC+5ΔOCD+SΔODΛɪ×OB×OC+∣0C-m+∣AO×γo=1×2×4y×4π≈

ɪ×[-(-m2-m-4)]=-Gn-2)2÷16,

22

当帆=2时，S的最大值为16；

（3）ABPC=^5°,则BC对应的圆心角为90°,如图作圆R,则NBRC=90°,

圆R交函数对称轴为点P,过点R作），轴的平行线交过点C与X轴的平行线于点N、交

X轴于点M,设点R（相，〃）.

VZBMR+ZMRB=90o,NMRB+∕CRN=90°,

：・/CRN=/MBR,

NBMR=NRNC=90°,BR=RC,

MBMR丝ARNC(AAS),

：・CN=RM,RN=BM,

即机+2=∕t+4,-n=m,解得：m=lfn=-1,

即点R(l,-1),即点R在函数对称轴上，

圆的半径为：Q(1+2)2+1=71。,

则点尸的坐标为：a,-ι+√I5)或(1,-1-√Io).

6.【解答】解：(1)y—a(x+3)(X-I),令y=0,贝!!尤=1或-3,

故点A、B的坐标分别为：(-3,0)、(1,0)；

(2)抛物线的表达式为：y=λ(x+3)(X-I)…①，

3

当NAMo=45°时，如图所示，则直线AM的表达式为：y=x+3…②,

联立①②并解得：机=x=4或-3(舍去-3),故点M(4,7)；

②∕M'Ao=45°时

同理可得：点M(-2,-1)；

故：-2≤机≤4;

(3)①当2。是矩形的对角线时，如图2所示，

图2

过点Q作X轴的平行线EF,过点B作BE_LE尸，过点。作。凡LEE

抛物线的表达式为：y^ax1+2ax-3a,函数的对称轴为：X=-1,

抛物线点A、B的坐标分别为：(-3,0)、(1,0),则点尸的横坐标为：-1,OB

而CD=4BC,则点。的横坐标为：-4,故点。(-4,5a),即Ho=54,

线段8。的中点K的横坐标为：土L=-旦，则点。的横坐标为：-2,则点Q(-2,

22

-3。)，则HF=BE=34,

♦；/DQF+NBQE=90°,NBQE+NQBE=90°,.∖NQBE=NDQF,

.".∆DFQ^∆QEB,则JL照，竺解得：a=+2(舍去负值)，

QEBE33a-2

同理APGBZADFQ(AAS),

.∙.PG=DF=84=4,故点P(-1,4)；

②如图3,当8。是矩形的边时，

作OuX轴，QAaX轴，过点P作PLLO/于点L

同理△「〃£＞名Z∖BNQ(AAS),：.BN=PL=3,

二点Q的横坐标为4,则点。(4,21«),

则QN=DL=21a,同理aPLOS

.∙.FLM,即q-卫3解得：〃=+近(舍去负值)，

DIBI5a5-7

Ll=26a=2而,故点尸(-1,2θV7),.

77

综上，点P的坐标为：PC-I,4)或(-1,26√7).

7

2

7.【解答】解：(1)y=-l-χ+∣.χ-4,令y=0,则x=2或-8,令X=0,则y=-4,

故点A、B、C的坐标分别为：（-8,0）、（2,0）、（0,-4）,

将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b^:[°=-8k+b解得：.k=^2,

lb=-4

b=-4

故直线AC的表达式为：y=-Ix-4,

2

故答案为：（2,0）,y=-1》-4；

2

（2）如图，左侧图是局部放大图,

：CE平分NOEP时，.∙.ZOEC=ZCEP,

：尸。〃y轴，：.NCEP=NECo=NoEC=a,

则aOEC为等腰三角形，

tanZECO=-⅛0.=2=tanα,则Sina=—

OC√5

过点E作），轴的垂线交于点F,过点。作OH，EC于点H,

设：0H=2x,则CH=X,而O"2+"C2=OC2,即7+4Λ2=16,解得：X=生区

5

EF-ECsinα-2×故m—--ɪ⅛.,

5√555

则点p(-lθ,-；

525

(3)设：点N(∕π,n)，n=—m2+—m-4,点Λ/(s,O),

42

①当AC是平行四边形的边时，

则点A向右平移8个单位向下平移4个单位得到C,

同理N(M)向右平移8个单位向下平移4个单位得到M(N),

BPιn+S=s,〃-4=0或，〃-8=6,«+4=0,而“=工，”2+3加-%

42

解得：s=5±√II或-14,

②当AC是平行四边形的对角线时，

利用中点公式得：-8=m+s,-4=〃，而"=-4,

42

解得：S=-2；

故点M的坐标为：(5+√II,0)或(5-√41)或(-14,0)或(-2,0).

8.【解答】解：(1)；y=/+4x=(X+2)2-4,

ΛΛ(-2,-4)；

(2)如图1,过P作P//_Lx轴交OB于H,作尸G_L8C于G,过M作MZ)_Ly轴交y轴

于。，

：点8为抛物线上横坐标等于-6的点，.∙.8(-6,12),

二直线AB解析式为y=-2x

设PCm,rrr+Am),则H(m,-2m)，PH=-2m-(∕n2+4m)--it?-6m

：点M为线段OB的中点，,M(-3,6),.∙.MD=3

•.•2”〃丫轴

NPHG=NMOD

VPGlBCMZUy轴

.∙.ZPGH=ZMDO

：.丛PGHS∕∖MDO

空=亚，即PG∙M0=PH∙MD=3(-w2-6，〃)=-3渥-18如

PHMO

ʌSAPOM=-PG∙MO=-ɪɪŋ2-9w=-—(∕n+3)2+-

2222

∙.∙-3vθ,当机=-3时，S"OM的值最大，此时P(-3,-3),

2

在尸C上取点T,使得PT=旦，连接QT,OT,

"：PC=3,PQ=工

2

•PT-PQ-I

•«>—^^―■≡-^≡a>a"■■一

PQPC2

,.∙ZQPT=ACPQ

：.XQPrTsXCPQ

歌哥=/„TQ=1QC,

:.OQ+AQC=OQ+TQ^OT

2

,∙,oτ=√OC2-K^τ2=疗+停)2=竽

OQ+JiQC的最小值为工∑;

24

(3)：当⑵中0。+」QC取得最小值时，点0、Q、T三点共线，T(Λ,-3)

24

直线。。解析式为y=4χ,

3

8

_4x

yxx1=02^^^

解方程组"3^得.

2y=032

y=x+4Xiy2=r

：.E（卫，抛物线对称轴为直线X=-2,

39

：.E'（-A,_32）,

39

以0、£'、R、S为顶点的四边形是平行四边形，分以下三种情形:

①OR为对角线，-:OE'RS是平行四边形

.∖OS∕∕E'R,OS=E'R=Z,/.Si(2,0)

33

②OS为对角线，：0E'RS是平行四边形

J.OE'//RS,R(-2,丝)，.∖S2(工L0)

93

③。戌为对角线，`:OE'RS是平行四边形

：.OS//E'R,OS=E'R=2,.∙.S3(2,0),

3`3

综上所述，点S的坐标为：Si（一2,0）,S2（旦，0）,S3（2,0）.

333

9.【解答】解：(1)二次函数表达式为：y="Cv-1)2+9,

将点A的坐标代入上式并解得：a=-1,

故抛物线的表达式为：y=-/+2x+8…①，

则点B(3,5),

将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得:

直线AB的表达式为：y^2χ-1；

(2)存在，理由：

二次函数对称轴为：x=l,则点C(l,1),

过点D作y轴的平行线交AB于点H,

设点。(X,-√+2x+8),点H(x,2A--1),

・：SADAC=2SADCM,

PHDAC=4H(XC-XA)=L(-∕+2Λ+8-2X+1)(1+3)≈A(9-1)(I-X)

222

×2,

解得：X=-I或5(舍去5),

故点。(-1,5)；

(3)设点。(m,0)、点P(s,r),t=-Λ∙2+2Λ∙+8,

①当AM是平行四边形的一条边时，

点M向左平移4个单位向下平移16个单位得到A,

同理，点。Cm,0)向左平移4个单位向下平移16个单位为(m-4,-16),即为点

P,

即：H7-4=s,-∖6=t,而f=-$2+26+8,

解得：s=6或-4,

故点尸(6,-16)或(-4,-16)；

②当AM是平行四边形的对角线时，

由中点公式得：机+s=-2,t=2,而f=-$2+26+8,

解得：S=I±V7>

故点尸(1+√7-2)或(1-√7,2)；

综上，点P(6,-16)或(-4,-16)或(1∙t√7,2)或(1-√7,2).

10.【解答】解：(1)函数的表达式为：y=α(χ-l)(x+3)="(W+2χ-3),

即：-3α=3,解得：a=-1,

故抛物线的表达式为：y=-∕-2r+3…①，

顶点坐标为(-1,4)；

(2)'：OB=OC,

.∙.NC3O=45°,

β∙*S∆CPD:SABPD=I:2,

：・BD=2BC=2×3Λ∕2=2√2,

33

yo=BDSinNCBo=2,

则点拉(-1,2)；

(3)如图2,设直线PE交X轴于点H,

VZOGE=15o,NPEG=2NOGE=30°,

ΛZOHE=45o,

：・0H=OE=1,

则直线”后的表达式为：y=-X-I…②，

联立①②并解得：X=-1±行(舍去正值)，

2

故点P(土叵，√∏∑1)；

22

(4)不存在，理由:

连接BC,过点P作y轴的平行线交Be于点H,

直线BC的表达式为：y=x+3,

设点P(x,-X2-2X+3),点、H(x,x+3)，

贝IJS叫边胫BOCP=SZ∖OBC+SAPBC=4X3X3+工(-x2-2x+3-x-3)×3=8,

22

整理得：3∕+9x+7=0,

解得：A<0,故方程无解，

则不存在满足条件的点P.

11•【解答】解：(1)y—2√3.X2-4√∑x-2√ξ,令x=0,则y=-2我，令y=0,

33

则X=-I或3,

故点A、B、C的坐标分别为(-1,0)、(3,0)、(0,-2√3)，

故：AB=4,BC=√21,AC=√13,

故AABC的周长为4+√五+/；

(2)如图1,设点P(∕n,&1_机2-空叵机-2我)，过点P作PE〃y轴交BC于

33

点、E,

将点B、C坐标代入一次函数>=履+8并解得

直线BC的表达式为：y—2√E,点E(加，组《-2后，

33

2λ234

S"BC=L×OB×PE=3(a‰?-2√3--^ffl+-^^w+2√3)=^Vs(m-

22333

3)2+9√1,

24

∙.∙-√3<0,故当m=3•时，S"BC有最大值切应，此时，点尸(3，-回应)，

2422

在X轴下方任取点Q，连接PQ、BQ、AQ,将aPQB绕点P顺时针旋转90°到

位置，连接

.∙.8O=BQ,ββ-√2PQ.

½AQ+BQ+-∕2PQ=AQ+B'Q+QQ',AQ+BQ+&PQ最小，则A、Q、Q∖B'在同一直线

上，NP0Q'=45°.

由点的坐标90°旋转规律可得:

YB为(3,0),P(旦，-ʒ/ɜ),

22

.∙.8坐标为(箜退_^3+5√3),

22

直线的表达式为6一愿

A8y=5~x^-

d2=(AQ+BQ+√2PQ)2=(ABy)2=c^1^)2÷(尹盥)2=46+20√3;

(3)存在，点0'的横坐标为近二1或二&工或受，迎或殳叵［或」_；

22121215

-且应)代入得

设直线AP解析式为y=尔+〃，将4(-1,0),P(2,

22

-m+n=0平解叱*

3

|巾=-

.∙.直线AP解析式为y=-√^χ-√^,令X=0,得y=-√3.

：.R(0,-√3)，

7y-2√3χ2-4√3χ.2√ξ-2√3（X-I）2-&巨，.∙.抛物线y的顶点为（1,

3333

皿）,

3

分别过A、P作AHLC轴，PH!_），轴，AH=旦巨，PH=巨，抛物线y沿射线PA平移

22

且经过点A,即向左平移$个单位，

2

向上平移回应个单位；

2

.∙.平移后的抛物线解析式为V，应（χ4Λ）2巫，顶点为（二巨），

y32626

：.D'（-J.,近），

26

由题意，Z∖40P沿直线AP平移，得到440'P,；柜.•.设平移后的点O'（f,

OR√3

~^∏t）,

以点。、R、0∖T为顶点的四边形为菱形，可以分三种情况：

①0，D1=D'R

：.(f+3)2+(-√3f-近)2=(3)2+(-√3-近)2,

2626

解得：√L±,-vʒ-ɪ,

rI2t22

•…,√5-l-√15+√3.…z-√5-l√15+√3

-0—