解三角形-2023年高考数学考试（解析版）（全国通用）

易错点06解三角形

易错分析

易错点1：正、余弦定理相关公式混乱、记错

在AABC中，若角A,B,C所对的边分别是α,b,c,R为AABC外接圆半径,

则

定理余弦定理正弦定理

/==2+。2_22CCoSA；

a_____b_____c___

公式〃=。2+/一2CCCOSB；

sinA-sing-sinC~~

c2=a2+/72-2a/?cosC

(l)α=2RsinA,8=2HsinB,c=

2/?sinC；

⅛2+c2~α2

cosλ=2bc

，小・,a.Cb.一c

(2)SlnA=底,SlnB=2R，sinC=丞;

常见变C?+/-序

cosB=一；

形(3)a∖b∖c=

屋十层一/SinA:SinB：sinC；

cosC=2ab

(4)αSinB="sinA9加inC=csinB,

QSinC=csinA

易错点2:三角形面积公式不知如何运用、混乱、记错

(I)S=5•/?“(/?“表示a边上的高).

(2)S=jαZ?SinC=IaC,sinB=1/?CSinA=

(3)S=Jta+匕+c)(r为内切圆半径).

错题纠正

I.已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为α,b,C,且6α=5c+6⅛cosC,则cos3=

()

【答案】B

[详解][Il6a=5c+6fecosC,边化角得6sinA=5sinC÷6sinBcosC,

又SinA=Sin(B+C),所以6sin(3+C)=5sinC+6sinBCOSC,

展)「•得6sinBCoSC÷6cosBsinC=5sinC÷6sinBCOSC,

所以6cosBSine=5sinC,

因为SinC〉0,所以COSB=I•.

6

故选：B.

2.在ABC内角A,B,C的对边分别为“，6c,Ka=2√6,cosA=-IsinB=2sinC,

4

则C=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【详解】sinB=2sinC.由正弦定理可得。=2c.

又<a=2∖[β，cosA=",

，由余弦定理/=c2+b2-IcbcosAy

可得24=c?+/一2仍J=4c2+C?+；X2c2,

解得c=2或c=-2(舍去).

故选：B.

3.已知ABC三边a,b,C及对角A,B,C,周长为5,且满足

(sinA+sinB)2=sinAsinB+7sin2B,若b=l,则CABC的面积S=()

ʌ√15β7r√15n√15

4828

【答案】A

【详解】因为(SinA+SEB)?=SinASinB+7sin?B,由正弦定理得(ɑ+))?=。6+7从,所以

a=2b(Q=-3。舍去)，

三角形周长为5,b=l,则。=2,c=2,

由等腰.三角形性质知AC边上的高为力=小22-(；)2=半,

所以三角形面积为S=JXlX巫=巫.

224

故选：A.

4.在AABC中，内角A,B,C的对边分别为α,b,c,若/+〃=.,则C的面积

为J时，攵的最大值是（）

2

A.2B.√5C.4D.2√5

【答案】B

7

【详解】由题意得Ssc=工次SinC=J,所以/7sinC,

abc22

又因为=片+/一2HCoSC,所以+加=C2+24Z?COSC=absinC÷2abcosC，

2,2

所以k=∙≤_!-=sinC+2cosC=石Sin（C+*）,其中tan°=2,目/>0,

ab

所以k的取值范围为（0,石］,

故选：B.

5.已知上ABC的内角A氏C所对的边分别为〃也C,且（tz-⅛）sinA=CSinC-「sinB,若JABC

的面积为3百，则C的最小值为（）

A.2√3B.4/C.2D.4

【答案】A

【详解】（6r-⅛）sinA=cs∖nC-bs∖nB

:.aλ-ah=c1-b1

:.cr+b2-C2=ab

2

厂cr+b-c1

Iah2

.∖C=-

3

S=LbSinC=3√5

2

:.ab=12

c2=a2+b2-ab≥2ab-ab=12（当且仅当c=2G时取等号），

ʌc≥2√3

故选：A.

举一丐,

1.己知.∙.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3百，A=∣-b+c=46,

贝IJa=()

A.B.5C.8D.2√2

【答案】A

【详解】由题意可知，S"pc=gbcsinA=3G,得bc=12

b+c=4>/3，be=12

由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosΛ=(⅛+c)2-2bc-2bccosA

整理得：/=12,;.a=2^3

故选：A

2.已知ASC中，7sin28+3si∏2C=2sin2A+2sinAsinBsinC,则COSlA-丁I=()

AM√io「石

bd

10105∙¥

【答案】B

【详解】由正弦定理可得7廿+3c2=2a2+况sinA,

,-FfsinA

乂a2=⅛2+C2-2bccosA，

2

7⅛2+3C2-2⅛csinA,2c,

.,.---------------------------=⅛2÷c-2⅛ccosA4,

2

化简得：2(SinΛ-2cosA)=5b'+c'=-+-≥2.1—■-=2√5

hechNCb

当且仅当折=C时取等号，即2石sin(4-0)≥2石，

2I

其中SinO=7,cos6二',

tanθ=2,√5√5

即Sin(A-6>)≥1,又Sin(A-6>)≤1,.∙.sin(A-6>)=1,

.∙.A-θ=-+2kπ,k≡Z,BPA=6>+-+2⅛⅛∈Z,

22

3.在ASC中，内角4,8(的对边分别为4。,~若伍+,)仅一°)=%。=£,则8=()

6

A.1B.工C.ɪD.里

6323

【答案】B

【详解】由伍+c)(0-c)=αc得从=C.2+αc，

结合余弦定理Z?2=a2+c2-IaccosB,可得Q-2CCOS8=C,

再由正弦定理得SinA-2sinCcosB=SinC,因为

sinA-2sinCcosB=sin(B+C)-2sinCcosB=Sin(B-C),

所以Sin(B-C)=SinC,所以B-C=C,得B=2C.

因为c=£,所以B=g∙

63

故选：B

4.在,ABC中，角A,B,C的对边分别是α,b,c,若c=3bsinA,则色土2-的取值范围

ab

是()

A.[3,5]B.14,6]C.[4,2+√13]D.[4,2+√15]

【答案】C

【详解】ɪ£1^i=£i±£+2=2+q+222jES+2=4(当且仅当α=b时取等号)

ahahabNab

⅛c=3⅛sinA,可得SinC=3sinBsinA

(a+b)2a2+h2_c2+2abcosCC

---------------=-----------------FZ=------------------------------F2

ababab

_c2__csin2CC-

=2+h2cosC=2+--------------F2cosC

abSinAsinB

♦2Λ^,

=2+,C+2COSC=2+2CoSC+3SinC

SinC

3

=2+√13sin(C+^)≤2+√13,其中COSe=『3,sin9=下2，当且仅当C+。=］时取

∖∣13ʌ/lɜ2

得等号，

所以4≤3t≤2+屈

ab

故选：C

5.我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积''，设43C的

三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,面积为S,贝IJ“三斜求积”公式为

,若"sinC=2sin4,(α+Cy=6+/,则用“三斜求积”公式

求得ABC的面积为（

【答案】A

【详解】解：因为"sinC=2sin4,(α+c)~=6+〃，

所以OC=2,a2+c2-b2=6—Iac=2，

2√3

所以S=

故选：A

易错题通关

一、单选题

1.已知二ABe的内角A民C对应的边分别是凡Ac,内角A的角平分线交边BC于。点，且

Af）=4.若（2力+c）cosA+αcosC=0,贝IJA3C面积的最小值是（）

A.16B.16√3C.64D.64百

【答案】B

【详解】:(2b+C)CoSA+QCOSC=0,

2sinBcosA+sinCcosA+sinAcosC=O，

B[J2sinBCOSA+sin(C÷Λ)=2sinBCOSA+sinβ=0,

又B∈(0,乃),sinB>O,

2cosA+l=0,即CoSA=-5，又A∈(0,∕r),

.∙.A上,

3

由题可知Sλbc=SABQ+ACD，4)=4,

I9TT1re177

所以一Z?CSin——=—X4CSin——F-X4。Sin-,即be=

232323

X∕7C=4(⅛+C)≥8Λ∕⅛C,BPbc≥64,

当且仅当匕=C取等号,

所以SA5C=ɪ⅛csinɪ≥ɪ×64×=1ðʌ/ɜ.

故选：B.

2.[ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ISinACOSe=SinB,4⅛12=a2,则（2

A.2c=aB.2c=y∕3aC.2。=GcD.2a=c

【答案】B

【详解】VSinAcosC=SinB,SinAW0,

AEq八sinBb

・l・由正弦定理得cosC=--=—,

SinAa

因为片=4尸，所以α=2⅛,即COSC=

2

3

•∙c~=+h~-2abcosC=ct~+h~-ab——erf即2c>j3ct>

4

故选：B.

3.在，ABC中，已知BC=6,4=30,B=12θ∖则ABC的面积等于（）

A.9B.18C.D.I8√3

【答案】C

【详解】根据正弦定理得：ɪɪɪ,所以AC=坐誓=6后，

sinAsinBsinA

因为C=180"-8-A=30,所以CBxsinC=96.

故选：C.

7

4.在ABC中，cosA=wABC的内切圆的面积为16%，则边BC长度的最小值为（）

A.16B.24C.25D.36

【答案】A

【详解】因为ABC的内切圆的面积为16万，所以ABC的内切圆半径为4.设，A8C内角A,

72424

B,C所对的边分别为“，b,c.因为CoSA==，所以SinA=菰，所以tan4=—.因为

25257

1ɪ25

S48c=u'csinA=^m+∕>+c）x4,所以机?=二（〃+匕+。）•设内切圆与边AC切于点。，

226

由tanA=^可求得ta∏m=1=2,则AQ=g.又因为AO="二^,所以

b+c=^-+a.所以人C=亮（,+2α）=g（∙^+4）.又因为b+c≥2打，所以

*α≥2后即(三+"I'与［^+ɑ),整理得/—12a-6420.因为4>0,

40

所以q≥16,当且仅当b=c=5时，α取得最小值.

故选：A.

5.记.ABC的内角AB,C的对边分别为α,b,c,若α=8=4c,则.？Ar=()

sinB+sιnC

A.bD.2

2∙7CY

【答案】C

sinAa4c4

【详解】由正弦定理得:---------------=，=--------=—

sinB÷sinCb+c4c÷c5

故选：C.

6∙在MC中，内角A,B,C的对边分别为c,且〃=2折COSA=-I,SinB=2sinC,

则b=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【详解】因为SinB=2sinC,由正弦定理可知b=2c,

在“BC中，由余弦定理可得：CoSA=空=4=、="孚T=-J,解得C?=4,

2bc44c~4

.c>0,.∙.c=2,故人=4

故选：D

二、多选题

7.如图，ABe的内角A,8,C所对的边分别为“,∕>,c,百(αcosC+CCOSA)=2Z?SinB,且

NCA8=(.若。是二ABC外一点，DC=l,AD=3,则下列说法中正确的是()

TT

A.A6C的内角8=§

TT

B.ABC的内角C=I

C.四边形ABCz)面积的最小值为述+3

2

D.四边形ABa)面积无最大值

【答案】AB

【详解】因为K(αcosC+CCOSA)=2Z?sin8,

所以由正弦定理，得G(SinAcosC+sinCcosA)=2sin2B,

所以GSin(A+C)=2siι√8,

又因为A+B+C=ττ,所以Sin(A+C)=sin8,所以GSinB=2sh√8

因为sin8*0,所以SinB=且，

2

又因为NCAB=(,所以8€(0,葛],所以8=(,

所以C=%-A-B=?,因此A,B正确；

2

四边形ASCD面积等于SAZl“Dv-+SΛ.Vc1n√=-4AC+2-ADDC-sinZADC

=去(心+DC1-2AD-DCcosZADC)+^AD-DCsinZADC

G1

=^×(9+l-6∙cosZADC)+-×3sinZΛDC

=也+3Sin(ZAz)C-2],

2I3)

所以当ZAoC-A=I即Sin(NAOC-WJ=I时,SL取最大值乎+3,

所以四边形ABCZ）面积的最大值为之叵+3,

2

因此C,D错误

故选：AB

8.々A3C内角A,B,C的对边分别为。，b,c.已知bsinA=(3〃-C)SinB,且COSA=；,

则下列结论正确的是（）

A.α+c=30B.tanA=2&

D.ABC的面积为半/

C.ABC的周长为4c

【答案】ABD

【详解】由正弦定理得加=(3)-c)"整理得a=36-c,即α+c∙=3'A正确;

由cosA=!可得SinA=J1-1』丫=逑，则tanA=吗.=2&，B正确;

3Y⑶3COSA

由余弦定理得/=〃+C2-2ACOSA，又a=3b-c,可得(36-C)?+c?—2⅛c∙g,整理得

3b=2c,

Q

,ABC的周长为a+b+c=4/?=；c,C错误；