2023-2024学年江苏省南通市北城中学九年级上册数学期末达标检测试题含解析

2023-2024学年江苏省南通市北城中学九上数学期末达标检测试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，AA6C中，点。，E分别是边AB,AC上的点，DE//BC,点〃是边8c上的一点，连接A"交线段。E

于点G,且BH=DE=12,DG-S,S&10G=12,贝！JS四边彩BCED（）

A.24B.22.5C.20D.25

2.已知抛物线y=-x2+bx+4经过（-2,-4）,贝！j6的值为（）

A.-2B.-4C.2D.4

3.如图，四边形是矩形，BC=4,AB=2,点N在对角线80上（不与点8,。重合），EF,G”过点N,GH//BC

交于点G,交OC于点”，EF〃AB交AD于点E,交BC于点F,A"交E尸于点M.设3F=x,MN=y,则y

4.在一个不透明的盒子中装有2个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个白球

的概率是g,则黄球的个数为（）

A.2B.3C.4D.6

5.在mA45C中，NC=90°,ZB=40°,43=10,则直角边BC的长是（）

A.1Osin40°B.10cos40°C.10tan40°D.10

sin40°

6.已知抛物线），=依2+区+&。/0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）

A.QVOB.bX)C.a+b+c=OD.4a-2b+cX)

Q

7.点M(a,2a)在反比例函数y=—的图象上，那么a的值是()

x

A.4B.-4C.2D.±2

4

8.在反比例函数y=—的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）

x

9.二次函数y=（x+2）2・3的顶点坐标是（）

A.(-2,3)B.(2,3)C.(-2,-3)D.(2,-3)

10.如图，A3是O的直径，且A3=4,C是。上一点，将弧AC沿直线AC翻折，若翻折后的圆弧恰好经过

点。，取443.14,血土1.41，那么由线段A3、AC和弧8C所围成的曲边三角形的面积与下列四个

数值最接近的是（）

A.3.2B.3.6C.3.8D.4.2

11.如图，抛物线y=-，+2x+2交3轴于点A,与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为3.下列说法：其中正确判

断的序号是（）

①抛物线与直线y=3有且只有一个交点;

②若点M(-2,ji),N(1,j2).P(2,j3)在该函数图象上，则刈〈了2<>3；

③将该抛物线先向左，再向下均平移2个单位，所得抛物线解析式为y=(r+1)2+1；

④在x轴上找一点O,使AO+5O的和最小，则最小值为后.

A.①②④B.①②③C.①③④D.②③④

12.某汽车行驶时的速度v(米/秒)与它所受的牵引力F(牛)之间的函数关系如图所示.当它所受牵引力为1200牛时,

汽车的速度为()

0100021W03(X)01000-YXX)

A.180千米/时B.144千米/时C.50千米/时D.40千米/时

二、填空题(每题4分，共24分)

13.将二次函数q：y=炉+2》-3的图像向左平移1个单位得到。2,则函数G的解析式为.

14.现有5张正面分别标有数字0,1,2,3,4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上,

洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为。，则使得关于x的一元二次方程V-2%+&-2=0有实数根，且关于

x的分式方程匕与+2=/-有整数解的概率为一.

x—22-x

15.如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.2机，测得AB=1.6m,BC=12.4m，则建筑物CD的高是

16.已知％=-1是关于x的方程以？+法一2=0的一个根，则2020+2“-2匕=.

17.如图，等边4ABO的边长为2,点B在x轴上，反比例函数图象经过点A,将△ABO绕点O顺时针旋转

a(0°<a<360°),使点A仍落在双曲线上，则a=.

18.进价为30元/件的商品，当售价为40元/件时，每天可销售40件，售价每涨1元，每天少销售1件，当售价为

元时每天销售该商品获得利润最大，最大利润是________元.

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图，已知48是。。的直径，点C在。。上，40垂直于过点C的切线，垂足为。，且NA4O=80。，求

NZMC的度数.

20.（8分）如图，在一笔直的海岸线1上有A、B两个码头，A在B的正东方向，一艘小船从A码头沿它的北偏西60°

的方向行驶了20海里到达点P处，此时从B码头测得小船在它的北偏东45°的方向.求此时小船到B码头的距离（即

BP的长）和A、B两个码头间的距离（结果都保留根号）.

21.（8分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1,0）,B（3,0）,交y轴于点C.

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求ABCP面积的最大值；

（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M,N,当ABMN是等腰三角形时，直接写出m的值.

22.（10分）如图，在ABC中，ZACB=90°,8是43边上的中线，过点A作垂足为M，交BC

于点E,AM=2CM.

(1)求sinB的值:

（2）若8=石，求8c的长.

23.（10分）在一个不透明的口袋里，装有若干个完全相同的A、B、C三种球，其中4球x个，B球x个，C球（*+1）

个.若从中任意摸出一个球是A球的概率为0.1.

（1）这个袋中4、B、C三种球各多少个?

（2）若小明从口袋中随机模出1个球后不放回，再随机摸出1个.请你用画树状图的方法求小明摸到1个A球和1

个C球的概率.

24.（10分）京杭大运河是世界文化遗产.综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸

边分别选定了点A、B和点C、D,先用卷尺量得AB=160m,CD=40m,再用测角仪测得NCAB=30。，NDBA=60。，

求该段运河的河宽（即CH的长）.

25.（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线AC与％轴交于点A,与轴交于点且与反比例函数丁=电

V2；X

在第一象限的图象交于点C,8，）'轴于点。，8=2.

（1）求点A的坐标；

（2）动点P在x轴上，轴交反比例函数丫=电的图象于点。.若S%c：Sp.Q=2,求点P的坐标.

x

26.如图1,在正方形ABCD中，点E,F分别是边BC,AB上的点，且CE=BF,连接DE,过点E作EGJ_DE,使EG

=DE,连接FG,FC

⑴请判断：FG与CE的数量关系是,位置关系是；

（2）如图2,若点E、F分别是CB、BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请出判断判断并给予

证明.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、B

【分析】由BH=DE=12,DG=8,求得GE=4,由£>E〃BC可得AADGS/^ABH,AAGE^AAHC,由相似三

z~1A匚

角形对应成比例可得•一=得到HC=5,再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，SAABC=40.5,

BHAHHC

再减去AADE的面积即可得到四边形BCED的面积.

【详解】解：•••B"=O£=12，DG=8,

/.GE=4

VDE11BC

.,.△ADG（^AABH,AAGE^AAHC

•_D_G___A__G__G__E

,,BH-AH-HC

84

即Hn--二----

12HC

解得:HC=6

VDG：GE=2：1

SAADG：SAAGE=2：1

VSAADG=12

•*.SAAGE=6>SAADE=SAADG+SAAGE=18

VDEIIBC

/.AADE^AABC

.,.SAADE：SAABC=DE2：BC2

解得：SAABC=40.5

S四边彩BCKD=SAABC-SAAI>E=40.5-18=22.5

故答案选：B.

【点睛】

本题考查相似三角形的性质和判定.

2、C

【分析】将点(-2,-4)的坐标代入抛物线的解析式求解即可.

［详解】因为抛物线y=-x'+bx+4经过(-1,-4),

所以-4=-(-1)1-16+4,

解得：b=l.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查的是二次函数的性质.解题的关键是掌握二次函数的性质，明确抛物线经过的点的坐标满足抛物线的解

析式是解题的关键.

21

【分析】求出SnNDBC=—=—,y=EF-EM-NF=

42x

2-BFtanZDBC-AEtanZDAH,即可求解.

21

【详解】解：tanZDBC=-=~,

42

v=EF-EM-NF=2-BFtanZDBC-AEtanZDAH=2-xx--x—x)=—x2-x+2,

•2

故选：B

【点睛】

本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数，此类问题关键是确定函数的表达式，进而求解.

4、C

121

【解析】试题分析：设黄球的个数为X个，根据题意得：-----=4,解得：X=l,经检验：X=1是原分式方程的解；

12+x3

•••黄球的个数为1.故选C.

考点：概率公式.

5、B

【分析】根据余弦的定义求解.

Be

【详解】解：*.,在RtAABC中，ZC=90°,cosB=——，

AB

.,.BC=10cos40°.

故选：B.

【点睛】

本题考查解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.

6、D

【解析】试题分析：由抛物线开口向上可知a>0,故A错误；由对称轴在轴右侧，可知a、b异号，所以b<0,故B

错误；由图象知当x=l时，函数值y小于0,即a+b+c<0,故C错误；由图象知当x=-2时，函数值y大于0,即4a-2b+c>0,

故D正确；

故选D

考点：二次函数中和符号

7、D

Q

【分析】根据点2a)在反比例函数y=—的图象上，可得：2c/=8,然后解方程即可求解.

x

Q

【详解】因为点M(a,2a)在反比例函数y=—的图象上,可得：

x

2a2=8,

=4,

解得:a=±2,

故选D.

【点睛】

本题主要考查反比例函数图象的上点的特征，解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数图象上点的特征.

8、B

【分析】根据反比例函数丫=士中k的几何意义，过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|解答即

x

可.

【详解】解：A、图形面积为|k|=l；

B、阴影是梯形，面积为6：

C、D面积均为两个三角形面积之和，为2x(l|k|)=1.

2

故选B.

【点睛】

k

主要考查了反比例函数丫=一中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|,是经

X

常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义.图象上的点与原点所连

的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即s=；|k|.

9、C

【分析】根据二次函数的性质直接求解.

【详解】解：二次函数丫=(x+2)2-3的顶点坐标是(-2,-3).

故选：C.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c(a#0)的图象为抛物线，当a>0,抛物线开口向上；抛物线的顶

点式为y=a(x-3)2+4"*,对称轴为直线x=-3,顶点坐标为(二,电£土)；抛物线与y轴的交点坐

2a2a2ala2a

标为(0,c).

10、C

【分析】作OEJLAC交。。于F,交AC于E,连接CO,根据折叠的性质得到OE='OF,根据直角三角形的性质

2

求出NCAB,再得到NCOB,再分别求出SAACO与S,彩BCO即可求解..

【详解】作OE_LAC交。O于F,交AC于E,

由折叠的性质可知，EF=OE=-OF,

2

1

/.OE=-OA,

2

在RtZ\AOE中，OE=LOA,

2

.,.ZCAB=30°，

连接CO,故NBOC=60。

,:AB=4

22

:.r=2,OE=l,AC=2AE=2x^/2-1=2g

J.线段AB、AC和弧BC所围成的曲边三角形的面积为SAACO+S城

BCO=—ACxOE+xxr2=—x2Gxl+—X^-X22=A/3+—=3.8

2360263

故选C.

【点睛】

本题考查的是翻折变换的性质、圆周角定理，扇形的面积求解，解题的关键是熟知折叠是一种对称变换，折叠前后图

形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

11、C

【分析】根据抛物线的性质和平移，以及一动点到两定点距离之和最小问题的处理方法，对选项进行逐一分析即可.

【详解】①抛物线的顶点3(1,3),则抛物线与直线y=3有且只有一个交点，正确，符合题意；

②抛物线x轴的一个交点在2和3之间，

则抛物线与x轴的另外一个交点坐标在》=0或》=-1之间，

则点N是抛物线的顶点为最大，点尸在x轴上方，点M在x轴的下放，

故刈＜力＜及，故错误，不符合题意；

@y=-x2+2x+2=-(x+1)2+3,将该抛物线先向左，再向下均平移2个单位，

所得抛物线解析式为y=(x+1)2+1,正确，符合题意；

④点A关于x轴的对称点A'(O,-2),连接A'3交x轴于点。，

则点D为所求，距离最小值为BD'=+(3+2『=V26,

正确，符合题意；

故选：C.

【点睛】

本题考查抛物线的性质、平移和距离的最值问题，其中一动点到两定点距离之和最小问题比较巧妙，属综合中档题.

12、C

k

【分析】根据图像可知为反比例函数，图像过点(3000,20),代入v=£(kw(J),即可求出反比例函数的解析式，再求

F

出牵引力为1200牛时，汽车的速度即可.

【详解】设函数为v=K(k/()),

F

k

代入(3000,20),得20=-------,得k=60000,

60000

v=---------,

F

.•.牵引力为1200牛时，汽车的速度为v=如毁=50千米/时，故选C.

1200

【点睛】

此题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是找到已知条件求出反比例函数的解析式.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、y=(x+2)2-4

【分析】直接将函数解析式写成顶点式，再利用平移规律得出答案.

【详解】解：y=x2+2x-3=(x+l)2-4,

将二次函数y=/+2x-3的图象先向左平移1个单位，

得到的函数G的解析式为：y=(X+1+1)2-4=(X+2)2-4,

故答案为：y=(x+2>-4.

【点睛】

此题主要考查了二次函数与几何变换，正确掌握平移规律(上加下减，左加右减)是解题关键.

14、2

5

【详解】首先根据一元二次方程有实数解可得：

4-4(a-2)>0

可得：a/3,

则符合条件的a有0,1,2,3四个；

解分式方程可得：x=——,

2-a

Vx^2,则aWl,a#2,

综上所述，则满足条件的a为。和3,

巾2

则P=一.

考点：（1）、概率；（2）、分式方程的解.

15、10.5

【解析】先证AAEbsaABC,再利用相似的性质即可求出答案.

【详解】解：由题可知，BELAC,DCA.AC

7BE//DC,

:.△AEBsAADC,

.BEAB

,•而一就'

.•.0=10.5（/n）.

故答案为10.5.

【点睛】

本题考查了相似的判定和性质.利用相似的性质列出含所求边的比例式是解题的关键.

16、2024

【分析】把x=-l代入方程得出G-5的值，再整体代入2020+勿-如中即可求解.

【详解】把x=—1代入方程公法一2=0

得：a—b—2=0,即a—8=2

2020+2a-2b=2020+2（a一b）=2020+2x2=2024

故填：2024.

【点睛】

本题考查一元二次方程的解法，运用整体代入法是解题的关键.

17、30°或180°或210°

【分析】根据等边三角形的性质，双曲线的轴对称性和中心对称性即可求解.

【详解】根据反比例函数的轴对称性，A点关于直线y=x对称，

•••△OAB是等边三角形，

.••ZAOB=60°,

AAO与直线y=x的夹角是15°,

.••a=2xl5o=30。时点A落在双曲线上，根据反比例函数的中心对称性，

•••点A旋转到直线OA上时，点A落在双曲线上，

此时a=180°,

根据反比例函数的轴对称性，继续旋转30。时，点A落在双曲线上，

，此时a=210°；

故答案为：30。或180。或210。.

考点：（1）、反比例函数图象上点的坐标特征；（2）、等边三角形的性质；（3）、坐标与图形变化-旋转.

18、55,3.

【解析】试题分析：设售价为x元，总利润为卬元，则卬=（%-30）［40-以0—40）］=-。-55）2+625,...》=55时,

获得最大利润为3元.故答案为55,3.

考点：3.二次函数的性质；3.二次函数的应用.

三、解答题（共78分）

19、40°

【解析】连接OC,根据切线的性质得到OCJ_CD,根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到NDAC=NCAO,得

到答案.

【详解】如图：连接OG

•••co是。。的切线，

：.OC±CD,又

：.OC//AD,

：.ZDAC=ZACO,

•：OA=OC,

：.ZCAO=ZACO,

：.NO4C=NC4,O=-ZBAD=40°,

2

【点睛】

本题考查了切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.

20、小船到8码头的距离是100海里，4、8两个码头间的距离是（10+10百）海里

【解析】试题分析：过P作PM_LAB于M,求出NPBM=45。，NPAM=30。，求出PM,即可求出BM、AM,BP.

试题解析：如图：过P作PM_LAB于M,则NPMB=NPMA=90。，VZPBM=90°-45°=45°,ZPAM=90°-60°=30°,

AP=20,.\PM=yAP=10,AM=V5PM=105ZBPM=ZPBM=45°,；.PM=BM=10,AB=AM+MB=10+10^»

.*.BP=-^-=1OV2.即小船到B码头的距离是loQ海里，A、B两个码头间的距离是（10+106）海里.

sin45

27

21、(1)这个二次函数的表达式是y=xi-4x+3；(1)SABCP最大=一；(3)当ABMN是等腰三角形时，m的值为

8

V2--无，1，1.

【解析】分析：(1)根据待定系数法，可得函数解析式；

(1)根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二

次函数，根据二次函数的性质，可得答案；

(3)根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案.

详解：(1)将A(1,0),B(3,0)代入函数解析式，得

a+b+3=0

9a+3b+3=0

o=l

解得I/

b=-4

这个二次函数的表达式是y=x1-4x+3；

(1)当x=0时，y=3,即点C(0,3),

设BC的表达式为y=kx+b,将点B(3,0)点C(0,3)代入函数解析式，得

'3k+b=U

b=0'

解这个方程组，得

k=-\

工=3

直线BC的解析是为y=-x+3,

过点P作PE〃y轴

交直线BC于点E(t,-t+3),

PE=-t+3-(P-4t+3)=-t'+3t,

13327

**•SABCP=SABPE+SCPE=—(・P+3t)x3=-—(t--)-----,

2228

3w3427

V---<0,・,•当t=7时，SABCP最大=W.

228

(3)M(m,-m+3),N(m,mi-4m+3)

MN=ml-3m,BM=^/2|m・3|,

当MN二BM时，①加・3111=及(m-3),解得m=及，

②mL3m=・&(m-3),解得m=-V2

当BN=MN时，NNBM=NBMN=45。，

m1-4m+3=0,解得m=l或m=3(舍)

当BM=BN时，NBMN=NBNM=45。，

-(m'-4m+3)=-m+3,解得m=l或m=3(舍),

当ABMN是等腰三角形时，m的值为及，-及，1,1.

点睛：本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是待定系数法；解(1)的关键是利用面积的和差得出二次函数，

又利用了二次函数的性质，解(3)的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏.

22、(1)—；(2)4

5

【分析】(1)根据NACB=90。，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD,则NB=NBCD,再由AEJLCD,可证明

ZB=ZCAM,由AM=2CM,可得出CM：AC=1；石，即可得出sinB的值；

(2)根据sinB的值，可得出AC：AB=1；石，再由AB=26,得AC=2,根据勾股定理即可得出结论.

【详解】(1)：ZAC3=90°,CD是斜边A3的中线,

：.CD=BD,

:./.B^ZDCB,

VAE1CD,

：.ZACD+ZCAM=90°.

VZDCB+ZACD=90°,

ZDCB=NCAM.

：.ZB^ZCAM.

在RtACM中，VAM=2CM,

:.AC=yjAM2+CM2=Q(2CM)2+CM?=#)CM.

..c_.CM_CM1_V5

••sinB—sinNCAA/--—；=-―——.

ACJ5CMV55

(2)'：CD=y[5,

，AB=2CD=26.

由(1)知sinB=,

5

二AC=ABxsinB=2石x[=2.

:.BC=y]AB2-AC2=J(2®二22=4.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理和锐角三角比，熟练掌握根据锐角三角比解直角三角形是解题的关键.

23、(1)这个袋中A、B、C三种球分别为1个、1个、2个；(2)-

3

【分析】(1)由题意列方程，解方程即可；

(2)首先画树状图，由概率公式即可得出答案.

【详解】解：由题意得：—[x+x+(x+1)]=x,

4

解得：x=l,.\x+l=2,

答：这个袋中A、5、C三种球分别为1个、1个、2个；

(2)由题意，画树状图如图所示共有12个等可能的结果，摸到1个A球和1个C球的结果有4个,

41

，摸到1个A球和1个C球的概率为G==.

123

开始

、

AB

/N/1\/NZK

BCCACCABCABC

【点睛】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件;

树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意方程思想的应用.

24、该段运河的河宽为BOG"?.

【分析】过D作DEJLAB,可得四边形CHED为矩形，由矩形的对边相等得到两对对边相等，分别在直角三角形ACH

与直角三角形BDE中，设CH=DE=xm,利用锐角三角函数定义表示出AH与BE,由AH+HE+EB=AB歹U出方程，求

出方程的解即可得到结果.

【详解】解：过。作DELAB,可得四边形C//ED为矩形，

.-.HE=CD=40m,

设CH=DE=xm,

在RtABDE中，NOB4=60°,

BE=——xm，

3

在RtAACH中，NB4c=30°,

AH=>/3xm>

由+=得到Gx+40+淀x=160，

3

解得：x=30石，即CH=30g〃z，

则该段运河的河宽为30G〃?.

【点睛】

考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键.

25、（1）A（-2,0）；（2）P（-6,0）或（2,0）

【分析】（1）根据反比例函数表达式求出点C坐标，再利用“待定系数法”求出一次函数表达式，从而求出坐标；

（2）根据“P在x轴上，PQ_Lx轴交反比例函数y=W的图象于点Q”及4的几何意义可求出APOQ的面积，从而

x

求得APAC的面积，利用面积求出点P坐标即可.

【详解】解：（1）•••8，），轴于点。，CD=2,

•••点C的横坐标为2,

把x=2代入反比例函数丁=3，得y=W=5,

x2

/.C（2,5）,

设直线A