2021新高考适应性考试预测卷-数学试卷及答案

皿

数1r学

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。共4页，总分150分，考试时间120分钟。

第I卷(选择题共60分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.己知集合/={x|尤2-2%0),5={x|l<3x<81},C={x|x=2〃,〃eN},贝!!(/u2)cC=

A.{2}B.{0,2}C.{2,4}D.{0,2,4)

2.要得到函数y=V^cosx的图象，只需将函数y=^sin[x+：]的图象

A.向左平移出个单位B.向右平移工个单位

44

C.向上平移三个单位D.向下平移出个单位

44

3.已知函数/(x)=x(x-a)+6，若函数》=/(x+l)为偶函数，</(1)=0,则6的值为

A.-2B.-lC.lD.2

4.己知等差数列{%}的前n项和为=1,出与知的等差中项为2,则邑的值为

A.6B.-2C.-2或6D.2或6

5.已矢口sin[tz+,贝Ucos(2c=

A."B旦C.lD.-l

3333

6.已知函数歹=/(x)的部分图象如图，则/(幻的解析式可能是

C./(x)=x+tanxD./(x)=x--cosx

7.已知min｛冽,〃｝表示实数如〃中的较小数，若函数/(x)=min<3+logixjogz",当时，有

1

/(a)=f9),则的值为

A.6B.8C.9D.16

8.设S0为数列｛a,,｝的前〃项和，Sn=(一1)"%-〃eN*,则£+邑+…+九。=

二、选择题：本题共4小题，每小题5分共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9.已知等差数列｛%｝是递增数列，其前〃项和为S“，且满足%=3%，则下列结论正确的是

A.d〉0B.q<0

C.当〃=5时，S”最小D.当S“>0时，〃的最小值为8

10.设函数y=和y-/(-x),若两函数在区间［办〃］上的单调性相同，则把区间卜％〃］叫做y=/(X)的

“稳定区间”，已知区间［1,2020］为函数+a的''稳定区间”，则实数。的可能取值是

351

A.--B.--C.OD.—

2632

11.已知函数/(x)=sin(ox+?)o<0,,3)的图象的一条对称轴为直线x=f,函数

g(x)=/(x)+2“2T,则下列关于函数的)的说法错误的是

A.直线％=工是g(x)图象的一条对称轴B.g(x)的最小正周期为〃

8

C.点是g(x)图象的一个对称中心D.g(x)的最大值为石

12.已知函数/(x)=sin(69x+0>0,[91<1)在区间上至少存在两个不同的国满足

〃玉)/值)=1,且在区间"气上具有单调性，点和直线x=分别为了⑺图象的一

个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是

A./⑺在区间百曰上的单调性无法判断

B./(x)图象的一个对称中心为仅区,01

2

C.f(x)在区间上的最大值与最小值的和为:

D.将「(X)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移三个单位得到y=g(x)的

图象，贝！Jg(x)=-cosx

第n卷(非选择题共90分)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知等比数列｛4｝的前"项和邑=。+6・2",且出9%成等差数列，则。-6的值为.

14.已知函数f｛x｝=asina>x+cosa>x(a>0,<y>0)的最大值为2.若函数/(x)在区间［0,7］上至少取得两次最

大值，则。的最小整数值为.

仇x…0,

15.记函数/(x)=x-［%］,其中［x］表示不大于x的最大整数，g(x)=<1若方程/(x)=g(x)在区间

——,%<0.

、x

［-5,5］上有7个不同的实数根，则实数k的取值范围为.

16.在AA8C中内角/,B,C的对边分别为a,b,c,若/-/=℃,则0=________；变吧1+巴的取

Aab

值范围为.(本题第一空2分，第二空3分)

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

如图，在圆内接A48c中，内角/,B,C所对的边分别为a,b,c,满足4cosc+ccos/=26cos8.

(1)求3；

(2)若点。是劣弧/C上一点，48=2,BC=3,AD=l,求四边形/BCD的面积

18.（12分）

已知正项数列｛an｝的前n项和为S“,a、=1局=匕「相向，其中」为常数.

(1)证明：S„+1=2S„+A.

(2)是否存在实数使得数列｛4｝为等比数列？若存在，求出2的值；若不存在，请说明理由.

3

19.（12分）

从①部="，②S"w=4百，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并进行求解

问题：在A48c中，内角/,B,C所对的边分别为a,6,c,B=（,c=8,点河，N是8C边上的两个三等分

点，BC=3BM,,求的长和A48C外接圆的半径.

注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.

20.(12分)

y+3jx-^,aeR.

设函数f(x)=x3-3x2+ax,g{x}=-3ax2+

（1）求函数/（x）的单调区间；

（2）若函数00）=_|〃；0-8。）-|/（工€［0,2］）在工=0处取得最大值，求a的取值范围.

21.（12分）

甲、乙两名同学在复习时发现他们曾经做过的一道数列题目因纸张被破坏导致一个条件看不清，具体如下

等比数列｛%｝的前n项和为S„,已知,

（1）判断I，邑,S3的关系并给出证明.

（2若%-%=3，设2=总。"|，｛，｝的前〃项和为［，证明

甲同学记得缺少的条件是首项外的值，乙同学记得缺少的条件是公比4的值，并且他俩都记得第（1）问

的答案是岳,S3,邑成等差数列.

如果甲、乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题.

4

22.(12分)

定义可导函数了=〃尤)在X处的弹性函数为/(x)•上，其中/(X)为〃x)的导数.在区间。上，若函数

/(X)

/(X)的弹性函数值大于1,则称“X)在区间。上具有弹性，相应的区间。也称作“X)的弹性区间.

(1)若r(x)=e-x+l,求r(x)的弹性函数及弹性函数的零点；

(2)对于函数/(x)=(x-l)e*+lnx-x(其中e为自然对数的底数).

(I)当/=0时，求/'(x)的弹性区间D；

(II)若/卜)>1在(I)中的区间。上恒成立，求实数1的取值范围.

5

数学参考答案

一、选择题

1力【解析】因为/={x|0“％2},2={x|0<x<4},C={0,±2,±4,±6,…},所以/口3={点),,x<4},所以

(^uS)nC={0,2}.

2.A【解析】因为y=V^cosx=V^sin(x+y),所以由函数y=/sin(x+7]的图象得到函数

y=0sin，+|^|的图象，只需向左平移4个单位.

3c【解析】因为y=/(x+l)为偶函数，所以y=/(x)的对称轴为x=-l.又因为/⑴=0,所以y=〃x)的

22_14=2,

顶点坐标为(1,0).由/(x)=x2+Z?--,得<2'解得

H4[/(l)=l-a+Z)=0,6=1.

4c【解析】设公差为力由题意知]%+(%+")一=1'解得修=°'或1%=一8当09=1时，$当

q=%+21=2,[d=l[d=5.

4x3

%=_8,d=5时，S4=4x(-8)+^-x5=-2.

5.D【解析】因为2a----=2aH——\-7i所以

3I3

71

=-cos2\a+—1-2sin2Cl+—=2x使丫-i=--

3bJ

6./【解析】由题图知函数的定义域为火且f(x)为奇函数，所以排除GD选项;8选项中，/'(X)=1+2cos2尤，

则/(0)=3,不满足原点处切线斜率为0,排除8选项；/选项中，/'(x)=l-cos2x,则r(0)=0,符合

题意.

7方【解析】作出函数/(x)的图象，如图中实线所示，由/(〃)=/9)可知，log^^log^+3,所以

4

log2a+log4b=3,BPlog2a+log24b=\og2(ay/b)=3,所以ay/b=8.

【解析】由，〃当〃时，得弓=一；；

8.A5"=(-1)&-3€^,=1当〃22时，

a=S„-S„,=(-l),,a„---(-ly'a,+^-即%=QI)"%+J1)"%一1+(■•当n为偶数时，

nnn—\\'w、/n—\/^n—\

1

…2），所以。”=一备‘当"为奇数时，=-2%+*=（-2）[-^r[+*=齐，所以$,

乙乙乙\乙J乙乙乙

所以f=2，%=*，所以一。1+。2=2**=；,一〃3=*，%=梦，所以

-a3+a4=2x—=—....一。99=^y，aioo'所以一。99+%oo=2x^>=萍•因为

S1+52+53+•-•+S100=（一〃1+%）+（-。3+。4）+（-。5+&）+…+（一。99+。100）_+于+…+^~）

二、选择题

9.ABD【解析】因为｛〃〃｝是递增数列，所以d>0.因为%=3%,所以々5+24=345,所以"二名，所以

%=。5-4"=—3d<0，故4,8正确；又因为为二色―d=d—d=0,所以S3=$4,且为S〃的最小值，故C

错误；又SB=(124(%+%)=4牝=4d〉。5=―——=7tz4=0,故。正确

10.42【解析】由题意得+a与/(x)=|2，+a］在区间［1,2020］上同增或同减.若同增，则

在区间［1,2020］上恒成立，即一所以-2,4,-(若同减，则人酎+"0'在区间［1,2020］

2"+a..0心-2,0

上恒成立,所以4,B选项符合题意.

1L/C【解析】由1为/(%)的一条对称轴，得叱工+工=工+左乃即@=2+8左，左EZ.又因为①£(0,3],

8842

所以。=2所以g（x）=sinf2%+^cos2x----sin2x=V5cos（2x+^>）tan（p=—

易邦(p手三+k兀,keZ,且夕。上+左犯左eZ,故4,C错误，B,。正确.

44

12.5C【解析】由题意得—竺+夕=0,在竺+夕=工+左肛左£2,即G=左+!］.又/(%)(在区间「—工，空

61223(2)L23J

上至少存在两个最大值或最小值，且在区间上具有单调性，则左=1,此时G=24=工，即

3123

2

〃x)=sin(2x+3，因为工<x〈工，所以女<2x+工C”所以〃x)在区间住,工］上单调递减，故/

V3J62333<62J

错误；由2x玉+工=20万，所以59〃,0为/(x)图象的一个对称中心，故8正确；因为-?,,乂，?，所

636

以一3"2X+?”^，/（x）min=f

636

=j=-p/(x)max==sinj=1,所以最大值与最小值之和为;，故C正确；将〃x)图象上

所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到y=sin［x+；］的图象，再向左平移看个单位，得到

y=sin［x+^+q］=sin［x+d=cosx的图象，即g(x)=cosx,故Z)错误.综上，B,C正确.

三、填空题

13.-2【解析】当“22时；％=$"-邑_]=（a+小2"）-（0+儿21）=小2"1；当〃=1时，ax=S}=a+2b=b-2°,

所以Q+b=0①.又出,%生成等差数列，所以。2+。5=18，即26+24=18②.由①②解得a=-1力=1,所

以Q-6=-2.

14.2【解析】f(x)=asincox+coscox=+1sin(<z>x+cp),所以/(x)的最大值为+1=2,解得。=石或

a--V3(舍去)，所以/(%)=百$m69X+85(^%=25m(69%+2］,当q、+工=工+2左肛左eZ时，函数/(x)

V6762

取得最大值，则当x>0时，前两个最大值分别为左=0和后=1.当左=1时，由/了+生=生+2万，得x=^„7,

623。

所以。…工，所以。的最小整数值为2.

3

15.【解析】作出函数“X),g(x)的图象，如图所示.

方程〃x)=g(x)在区间［一5,0)上有3个实根，故在区间［0,5］上有4个不同实根.当直线y=H经过点(4,1)

时，左=；,经过点（5,1）时，A=g.若在区间［0,5］上有4个根，则左e11

16.21|,目【解析】由余弦定理得〃=/+C2-2accosB,即〃一片=02,所以

c1-lac'CGsB=ac,即c-2acosB=a.由正弦定理得sinC-2sin/cos5=sin/,即

sin（4+5）—2sin4cos5=sin4,所以sin（B-Z）=sin4,所以5-Z=4或（5-4）+4=乃（舍去），所以

B=2A,即3=2.因为A+B=3Ae（0,^）,所以，所以

3

bcosAasin5cos4sin4sin24cos4sin4c2,1

-----+—=+~;-----1—；---2cosA+-----令x=cosA则

absin4sinBsinAsin2A2cos4

,1//(x)=4x-*

/(x)=2x92H-----,XG>0,所以/（x）在区间上单调递增。又

2xI

a5

p/(l)=-所以/(工)£ri-

四、解答题

17.解：(1)由正弦定理得sin4cosc+sinCcos4=2sin8cosB,

得sin8=2sinBcosB.

因为<肛sinBw0，

所以cosB=,，即8=(5分)

23

7T_AB-+BC2-AC24+9-3

(2)在A/48C中/2=2,BC=3,B=-,

3~3~2AB-BC12

解得=

在MDC中，AC=S,AD=\,A,B,C,。在圆上,

因为3=生，所以N/DC=二,

33

力。℃

27r2+2―1+。。2一7

所以cos——=

32ADDC2DC

解得DC=2,

101TTI-

=ADDCsin+AB

所以四边形ABCD的面积S=S乂BC+S^ADC2'~~-BCsin-=2V3.

（10分）

18.（1）证明：因为-=%-S"局=娘「蜀+「

所以解=（黑「-S）用,

所以黑i（S.+i-2S“一4=0.

因为册>0,所以S“+i>0,

所以S“+「2S“T=0,

所以S,m=2S“+2,(6分)

(2)解：因为S“M=2S0+2,

所以S“=2S„_1+2(»..2),

两式相减，得%+i=20”（凡.2）

4

因为邑=2岳+4,即%+%=2%+2,

所以0,=1+2,由%>0，得A>—1.

若｛4｝是等比数列，则q/=W，

即2（4+1）=（A+1）2,解得力=—1.

经检验，2=1符合题意,

故存在2=1,使得数列｛%｝为等比数列.（12分）

19.解：若选择条件①

因为部3所以需=

设.BM=t,则/N=26f.

又8=60。,。=8,

所以在AABN中,AN2=AB2+BN2-2ABBNcosB,

即（2同2=8?+4〃-2x8x2/cos60。，

即/+2/—8=0,

解得/=2或-4（舍去）.（6分）

在AXBM中，AM2=AB2+BM2-2AB-BMcosB=^+4-2xSx2cos600=52,

所以/河=2/，（8分）

同理3=452+302-2/8-BCCOSB=8?+6?-2x8x6cos60°=52,

所以/C=2万.

AC2V134^9

由正弦定理可得

sin8sin60°-V3-3

2

所以A42C外接圆的半径R=名竺，（12分）

3

若选择条件②

因为点跖N是8C边上的三等分点，且％的=4百，所以邑收=12百.

因为2=60°,所以S/v=12G=LAS-3Csin60°=-x8x5Cx—,

ABC222

所以3C=6,所以W=2.（6分）

在中，AM2=次+B"-24B-BMCOS3=82+4-2x8*2sin60°=52,

所以/河=2/.（8分）

同理AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=82+62-2x8x6cos60°=52,

所以/C=2屈，

5

由正弦定理可得2R=—也=*二=2理=生旦,

sin8sin60°V33

V

所以A/18C外接圆的半径火=名竺.（12分）

3

若选择条件③

设,BM=t,则8c=3兀

在AXBM中，AM2=AB2+BM2-2AB-BMcosB=82+r-2x&cos60°=82+t2-8f,

同理在AABC中，AC2-AB1+BC2-2AB-5C-cos5=82+%2-2x8x3/cos60°=64+9/2-24?,

因为/C=/M,所以82+/一8=64+9/一2今，

所以"2(6分)

在AABM中，AM2=AB2+W2-2^15-WcosS=82+4-2x8x2cos60°=52,

所以=(8分)

同理/C2=4g2+8c2-24g-BCcosB=82+62-2x8x6cos60°=52,

所以/C=2屈.

由正弦定理可得2R=—竺=二竺=2理=生叵，

sin5sin60°V33

所以A45C外接圆的半径R=名竺.(12分)

3

20.解：(1)/〈x)=3x?-6x+a=3(x-l『+0-3,(1分)

当a»3时，f\x)>0,

所以〃x）的单调递增区间为（一00,+8）,无单调递减区间；（2分）

当a<3时,令/'（无）＞0,得X<1—或无＞]+

所以/（X）的单调递增区间为

Ax<l+3一a

令"x)<0,得1-

3

所以〃%）的单调递减区间为（4分）

综上，当。23时，/（X）的单调递增区间为（-8,+8）,无单调递减区间；当〃＜3时，/（X）的单调递增区间

133

(2)由题意得?(%)=,办3+—-l)x2-3x+—a2,xG[0,2].

6

因为函数e(x)在x=0处取得最大值，

3133

所以夕(0)=542...夕(%)=/4%3+,(4_])、2-3x+—6Z2,XG[0,2],

13

即—ax3+—(<2+l)x2-3x„0,xG[0,2],

当x=0时，显然成立.(7分)

1Q

当工£(0,2]时，1^-^2+|(«-1)%-3<0,

即知当9=----¥辿------=------J——.(8分

X2+3X(X+2)2-(X+2)-2(__2__

@~x+2~

2

令h(x)=(x+2)-----------1,XG(0,2].

x+2

易知〃(x)在区间(0,2]上单调递增，故/z(x)e(o,-|,

所以------工——即q,J

7,c、2155

(x+2)-----------1

x+2

所以。的取值范围为，00：.(12分)

21.(1)解：补充的条件为q=-;，

st,s2,s3的关系为，，邑，邑成等差数列.

证明如下:

由题意可得H=%,

。11

32=Q]+/=4-5~tZj,

0113

'=%+%+。3=%—2%+WW'

可得SI+S2=2S3，因此S1，83,82成等差数列.（5分）

(2)证明：由%-%=3,口J~6Z|—3,

n-i

解得q=4,Q〃=4X（6分）

n-l

2

4x3分)

3

2(1c1。11

则7；=-1----F2----1-3----F•••+72-----

32482〃

7

2(1J1-1

=-11-2,—I-3---F—Fn•

I34816

上面两式相减

11111