新版高中数学人教A版选修2-2习题模块综合检测

模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知复数z满足(z1)i=1+i,则z=()A.2i B.2+iC.2i D.2+i答案C2已知a<0,1<b<0,则下列各式成立的是()A.a>ab>ab2 B.ab2>ab>aC.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a解析∵1<b<0,∴0<b2<1,b2>b.又a<0,∴a<ab2<0,ab2<ab.故选D.答案D3若复数2a+2i1+i(a∈R)是纯虚数,则复数2a+2i在复平面内对应的点在(A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析2a+2i1+i=(2a+2i由题意得a=1,所以2a+2i=2+2i.在复平面内对应的点为(2,2),即在第二象限.答案B4已知直线y=kx+1与曲线y=x2+ax+b相切于点A(1,3),则ab等于()A.4 B.1C.3 D.2解析因为点A(1,3)在直线y=kx+1上,所以k=2.又y=x2+ax+b,则y'=2x+a,所以k=y'|x=1,即2=2×1+a,所以a=0.又点A(1,3)在曲线y=x2+ax+b上,所以b=2,ab=2.故选D.答案D5下列推理正确的是()A.因为m>n,m>p,所以mn>mpB.如果不买彩票,那么就不能中大奖,因为你买了彩票,所以你一定能中大奖C.如果m,n均为正实数,那么(m+n)2≥4mnD.如果m,n均为正实数,那么lgm+lgn≥2lg解析由m>n,m>p可能有mn<mp,例如21<2(1),故选项A不正确;选项B显然不正确;当m,n均为正实数时,lgm,lgn不一定为正数,所以lgm+lgn≥2lgm·lgn不一定成立,答案C6设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图,则导函数y=f'(x)的图象可能为()解析如图,可知函数f(x)在区间(∞,0),(0,a)和(b,+∞)内是增函数,f'(x)>0,y=f'(x)的图象在x轴的上方;函数f(x)在区间(a,b)内是减函数,f'(x)<0,y=f'(x)的图象在x轴的下方.综上可知,D选项正确,故选D.答案D7用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)2(n∈N*)时,第一步验证当n=1A.1 B.1+2C.1+2+3 D.1+2+3+4解析等式左边的规律是从1一直加到n+3.所以当n=1时,应为1+2+3+4.故选D.答案D8n个连续自然数按规律排成下表:根据规律,从2016到2018,箭头的方向依次为()A.↓→ B.→↑ C.↑→ D.→↓解析由已知可得箭头变化的周期为4,故由得从2016到2018的方向为选项A中所示.答案A9给出以下命题:(1)若abf(x)dx>0,则f(x)(2)02π|sinx|(3)F(x)是以T为周期的函数,且F'(x)=f(x),则0af(x)dx=Ta+T其中正确命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.0解析(1)错误.如-12xdx=12x但f(x)=x在(1,2)上不满足f(x)>0.(2)正确.02π|sinx|dx=π0sinxdx+π2π(3)正确.0af(x)dx=F(x)|0a=F(Ta+Tf(x)dx=F=F(a+T)F(T)=F(a)F(0).答案B10已知对任意实数x,有f(x)=f(x),g(x)=g(x),且当x>0时,f'(x)>0,g'(x)>0,则当x<0时()A.f'(x)>0,g'(x)>0 B.f'(x)>0,g'(x)<0C.f'(x)<0,g'(x)>0 D.f'(x)<0,g'(x)<0解析由题意可知y=f(x)是奇函数,y=g(x)是偶函数.因为当x>0时,y=f(x),y=g(x)是增函数,所以当x<0时,y=f(x)是增函数,y=g(x)是减函数,即当x<0时,f'(x)>0,g'(x)<0.答案B11下面给出了关于复数的四种类比推理:①复数的加减法运算法则,可以类比多项式的加减法运算法则;②由向量a的性质:|a|2=a2,可以类比得到复数z的性质:|z|2=z2;③关于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)有两个不同实根的条件是b24ac>0,类比可得关于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈C)有两个不同复数根的条件是b24ac>0;④由向量加法的几何意义,可以类比得到复数加法的几何意义.其中类比得到的结论正确的是()A.①③ B.②④ C.②③ D.①④解析②中|z|2∈R,而z2不一定是实数.③中复数集中不能比较大小,不能用b24ac来确定根的个数.答案D12如图,设T是直线x=1,x=2,y=0以及过x=1,x=2与y=x2交点的直线围成的直角梯形区域,S是T内函数y=x2图象下方的点构成的区域(图中阴影部分).向T中随机投一点,则该点落入S中的概率为()A.15 B.25 C.13解析解方程组y=x2,x=-1,得曲线y=x解方程组y=x2,x=2,得曲线y=x2与直线x=所以直角梯形区域T的面积为1+42×[2(1)]=15又因为阴影部分S的面积为-12x2dx=13x3|-1则该点落入S中的概率为315答案B二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13已知i是虚数单位,若复数(12i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为.

答案214已知函数f(x)=ax2+bx+c(x≥-1),f(-x-2)(x<-1),在其图象上点(1,解析在y=2x+1中,令x=1,得y=3,所以f(1)=3,所以a+b+c=3.对函数f(x)=ax2+bx+c求导得f'(x)=2ax+b,则f'(1)=2a+b=2.由已知得f(3)=f(32)=f(1)=3,对函数f(x)=f(x2)求导得f'(x)=f'(x2),所以f'(3)=f'(32)=2,所以f(x)在点(3,f(3))处的切线方程为y3=2(x+3),即y=2x3.答案y=2x315设等边三角形ABC的边长为a,P是△ABC内的任意一点,且P到三边AB,BC,CA的距离分别为d1,d2,d3,则有d1+d2+d3为定值32a.由这个平面图形的特性类比空间图形:设四面体ABCD的棱长均为a,P是四面体ABCD内的任意一点,且点P到平面ABC,平面ABD,平面ACD,平面BCD的距离分别为d1,d2,d3,d4,则有d1+d2+d3+d4为定值.

解析在等边三角形ABC中,d1+d2+d3=32a为△ABC的高,类比四面体中,d1+d2+d3+d4也应为四面体的高63答案6316若偶函数f(x)在x∈(0,+∞)时满足f'(x)>f(x)x,且f(1)=0,则不等式f(x)解析设g(x)=f(x)则g'(x)=f'(x所以g(x)在(0,+∞)内是增函数.当x>0时,由f(x)x≥0=f(当x<0时,x>0,f(x)x≥0⇔f(x)-x≤0⇔f(-x)答案[1,0)∪[1,+∞)三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)若复数z1满足z1=i(2z1)(i为虚数单位).(1)求z1;(2)求|z1|(3)若|z|=1,求|zz1|的最大值.分析先由已知条件求出复数z1,再利用复数模的定义及其几何意义求解.解(1)由z1=i(2z1),得z1=2i1+i=1+i(2)|z1|=|z1|=2(3)|zz1|表示复数z与z1分别对应的点Z与Z1间的距离,Z在圆x2+y2=1上,Z1(1,1),显然Z,Z1间的最大距离为2+1,即|zz1|的最大值为2+1.18(12分)设两抛物线y=x2+2x,y=x2所围成的图形为M,求M的面积.分析先求得两抛物线的交点坐标,再作出草图,结合图形求解.解解方程组y=-x函数y=x2+2x与y=x2在同一坐标平面内的图象如图所示,由图可知,图形M的面积为01(x2+2xx2)dx=01(2x2+2x所以M的面积为1319(12分)已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且其中任意两边长均不相等.若1a,1b,1c成等差数列,解大小关系为ba证明如下:要证ba<cb因为a,b,c>0,所以只需证b2<ac.因为1a,所以2b=1a+1c≥21又a,b,c任意两边均不相等,所以b2<ac成立.故所得大小关系正确.20(12分)设△ABC的两个内角A,B所对的边分别为a,b,复数z1=a+bi,z2=cosA+icosB,若复数z1·z2为纯虚数,试判断△ABC的形状,并说明理由.分析利用复数为纯虚数的条件,结合正弦定理及三角知识求解.解△ABC为等腰三角形或直角三角形.理由如下:因为z1=a+bi,z2=cosA+icosB,所以z1·z2=(acosAbcosB)+i(acosB+bcosA).又z1·z2为纯虚数,所以a由①及正弦定理,得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.因为A,B为△ABC的内角,所以0<2A<2π,0<2B<2π,且2A+2B<2π.所以2A=2B或2A=π2B,即A=B或A+B=π2.也就是A=B或C=π由②及正弦定理,得sinAcosB+sinBcosA≠0,即sin(A+B)≠0.因为A,B是△ABC的内角,所以0<A+B<π.所以sin(A+B)≠0成立.综上所述,知A=B或C=π2故△ABC为等腰三角形或直角三角形.21(12分)已知函数f(x)=ex(ax2+a+1)(a∈R).(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若f(x)≥2e2对任意x∈[2,1]恒成立,求实数a解(1)当a=1时,f(x)=x2ex,f(1)=e.f'(x)=2xexx2ex.因为切点为(1,e),则k=f'(1)=3e,所以f(x)在点(1,e)处的切线方程为y=3ex+2e.(2)由题意得,f(2)=e2(4a+a+1)≥2e解得a≥15f'(x)=ex(ax2+2ax+a+1)=ex[a(x+1)2+1].因为a≥15,所以f'(x)>0恒成立所以f(x)在[2,1]上单调递增.要使f(x)≥2e2则f(2)=e2(4a+a+1)≥2e2,即a≥故实数a的取值范围是1522(14分)设函数f(x)=(x1)3axb,x∈R,其中a,b∈R.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=3;(3)设a>0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于14(1)解由f(x)=(x1)3axb,可得f'(x)=3(x1)2a.下面分两种情况讨论:①当a≤0时,有f'(x)=3(x1)2a≥0恒成立,所以f(x)的单调递增区间为(∞,+∞).②当a>0时,令f'(x)=0,解得x=1+3a3,或x=1当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x∞113a1-1+1+3a1+3af'(x)+00+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)的单调递减区间为1-3a3(2)证明因为f(x)存在极值点,所以由(1)知a>0,且x0≠1.由题意,得f'(x0)=3(x01)2a=0,即(x01)2=a3,进而f(x0)=(x01)3ax0b=2a3x0又f(32x0)=(22x0)3a(32x0)b=8a3(1x0)+2ax03ab=2a3x0a3b=f(x0),且32x0≠x0,由题意及(1)知,存在唯一实数x1满足f(x1)=f(x0),且x1≠x0,因此x1=32x0.所以x1+2(3)证明设g(x)在区间[0,2]上的最大值为M,max{x,y}表示x,y两数的最大值.下面分三种情况讨论:①当a≥3时,13a3≤0<2≤1+3a3,由(1)知,f(x)在区间[0,2]上单调递减,所以f(x)在区间[0,2]上的取值范围为[f(2),f(0)],因此M=max{|f(2)|,|f(0)|}=max{|12ab|,|1b|}=max{|a1+(a+b)|,|a1(a+b)所以M=a1+|a+b|≥2.②当34≤a<3时,123a3≤0<13a