4.3.1等比数列的概念第1课时(等比数列的概念通项公式)课件-高二上学期数学人教A版选择性

等比数列

我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的?4.3.1等比数列的概念

第一课时

(等比数列的概念、通项公式)一、探究新知

请看下面几个问题中的数列.

1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:

①9，92，93，…，910

②100，1002，1003，…，10010

③5，52，53，…，510

古巴比伦人用60进制记数,这里转化为十进制.

3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是：2，4，8，16，32，64…,存期为5年,年利率为r,那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是a(1+r),a(1+r)2,a(1+r)3,a(1+r)4,a(1+r)5.

复利是指把前一期的利息和本金加在一起算.作本金，再计算下一期的利息.

2.《庄子.天下》中提到:“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是：一、探究新知

类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律?你发现了什么规律?

我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律.

如果用{an}表示数列①:9，92，93，…，910，那么有

这表明，数列①有这样的取值规律:

从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9.

其余几个数列也有这样的取值规律，请你写出相应的规律.

类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中,你能抽象出等比数列的概念吗?二、等比数列的概念

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.

这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0).

问题1、2、3、4中的数列的公比各为多少？注意(1)公比q是由后项除以前项所得，不能用前项除以后项来求.(2)对于数列{an}，若(q是与n无关的数或字母)，n≥2，

则此数列是等比数列，q为公比.

二、等比数列的概念(1)等比数列中有为0的项吗？(2)公比为1的数列是什么数列？(3)既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？(4)常数列都是等比数列吗？三、等比中项由三个数a、G、b组成的等比数列可以看成是最简单的等比数列.这时，G叫做a与b的等比中项.

在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项.

如果G是a与b的等比中项，则a、b的符号有什么特点？你能用a、b表示G吗？a、b同号，G2=ab四、等比数列的通项公式

你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗?所以

a2=a1q,

a3=a2q=(a1q)q=a1q2,

a4=a3q=(a1q2)q=a1q3，

···由此可得

an=a1qn-1(n≥2).

当n=1时，上式为a1=a1q1-1=a1.这就是说，上式当n=1时也成立.

设一个等比数列{an}的首项为a1，公比为q.根据等比数列的定义，可得

即an+1=anq,

首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为

四、等比数列的通项公式an=a1qn-1

类似于等差数列与一次函数的关系，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关?

由

可知，当q>0且q≠1时,等比数列{an}的第n项an是指数函数

(x∈R)当x=n时的函数值，即an=f(n)(如右图所示).

反之，任给指数函数f(x)=kax(k,a为常数,k≠0,a>0,且a≠1),则f(1)=ka,f(2)=ka2,…，f(n)=kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka,公比为a.五、等比数列的单调性

类比指数函数的性质，说说公比q>0的等比数列的单调性.q>10<q<1q=1递增递减常数列递增递减常数列a1<0a1>0

公比q>0且q≠1的等比数列{an}的图象有什么特点?六、典型例题例1若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12,求{an}的第5项.解法1：六、典型例题例1若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12,求{an}的第5项.解法2：六、典型例题例2已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an.

等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示.六、典型例题例3数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，

第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的

和等于132.

求这个数列.七、课堂小结1.等比数列的概念2.等比中项

由三个数a、G、b组成的等比数列可以看成是最简单的等比

数列.这时，G叫做a与b的等比中项，显然G2=ab.4.等比数列的通项公式an=a1qn-1

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的

比都等于同一个常数(即)，那么这个数列就叫做

等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表

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