6.2.1排列6题型分类（原卷版）

6.2.1排列6题型分类一、排列概念1.排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n不同元素中取出m个元素的一个排列.2.要点诠释:（1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”．（2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．（3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列．二、排列数

1.排列数的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号An2.要点诠释:“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；三、排列数公式1.An2.要点诠释:公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n−m+1，共有m个因数.四、阶乘1．阶乘的概念：n!表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘．规定0!=1．2.排列数公式的阶乘式：An五、排列的常见类型与处理方法1.相邻元素捆绑法2.相离问题插空法3.元素分析法4.位置分析法（一）与排列数有关的运算1、排列数：（1）排列数的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号An（2）排列数公式：An（3）阶乘：n!表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘．规定0!=1（4）排列数的阶乘式：A2、排列数公式的应用（1）排列数的第一个公式适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式．（2）排列数的第二个公式适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等问题．在具体运用时，应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“m,n题型1：与排列数有关的运算11．（2023·高二课时练习）等于（

）A．9×3 B．93C．9×8×7 D．9×8×7×6×5×4×312．（2023下·陕西·高二校联考阶段练习）可以表示为(

)．A． B． C． D．13．（2023下·江苏南通·高二统考期末）若，则（

）A． B． C． D．14．（2023·高二课时练习）＝．15．（2023下·山东临沂·高二统考期中）．16．（2023·高二课时练习）（1）已知，那么；（2）已知，那么；（3）已知，那么．17．（2023下·宁夏银川·高二校考期末）已知，则．18．（2023·高二课时练习）求证：(1)；(2)．（二）无限制条件的排列问题典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数．排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”．即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取．题型2：无限制条件的排列问题21．（2023下·高二课时练习）甲､乙､丙三名同学排成一排，不同的排列方法有（

）A．3种 B．4种 C．6种 D．12种22．（2023下·江西南昌·高二南昌市八一中学校考阶段练习）6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为（

）A．36 B．120 C．720 D．24023．（2023下·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有种不同的招聘方案．(用数字作答)（三）排队问题1．“处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．①元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．②元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．2．解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．题型3：相邻问题31．（2023·河南平顶山·汝州市第一高级中学校考模拟预测）某晚会上需要安排4个歌舞类节目和2个语言类节目的演出顺序，要求语言类节目之间有且仅有2个歌舞类节目，则不同的演出方案的种数为（

）．A．72 B．96 C．120 D．14432．（2023·四川攀枝花·统考二模）甲、乙、丙、丁、戊5名学生站成一排．甲、乙要相邻．且甲不站在两端，则不同的排法种数．33．（2023·辽宁）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为A．3×3！ B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9！题型4：不相邻问题41．（2023下·高二课时练习）高三（一）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有种不同的排法．42．（2023下·江西·高二九江一中校考期末）5人随机排成一排，其中甲、乙不相邻的概率为（

）A． B． C． D．43．（2023下·江苏盐城·高二盐城市大丰区新丰中学校考期中）三位老师和三位学生站成一排，要求任何两位学生都不相邻，则不同的排法种数为（

）A．72 B．144 C．36 D．1244．（2023上·上海虹口·高二上海市复兴高级中学校考期末）甲､乙､丙三人相约去看电影，他们的座位恰好是同一排10个位置中的3个，因疫情防控的需要（这一排没有其他人就座），则每人左右两边都有空位的坐法（

）A．120种 B．80种 C．64种 D．20种45．（2023下·山东滨州·高二阶段练习）7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、丙不相邻，则不同排法的种数是（）A．60 B．120C．240 D．36046．（2023上·山西大同·高三统考阶段练习）高中数学新教材有必修一和必修二，选择性必修有一､二､三共5本书，把这5本书放在书架上排成一排，必修一､必修二不相邻的排列方法种数是（

）A．72 B．144 C．48 D．3647．（2023上·云南昆明·高三校考阶段练习）根据新课改要求，昆明市艺卓中学对学校的课程进行重新编排，其中对高二理科班的课程科目：语文、数学、英语、物理、化学、生物这六个科目进行重新编排（排某一天连续六节课的课程，其中每一节课是一个科目），编排课程要求如下：数学与物理不能相邻，语文与生物要相邻，则针对这六个课程不同的排课顺序共有（

）A．144种 B．72种 C．36种 D．18种（四）排列中的定序问题在有些排列问题中，某些元素有前后顺序是确定的(不一定相邻)，解决这类问题的基本方法有两种：①整体法：即若有m＋n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，先将这m＋n个元素排成一列，有Aeq\o\al(m＋n,m＋n)种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有Aeq\o\al(m,m)种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有eq\f(A\o\al(m＋n,m＋n),A\o\al(m,m))种满足条件的不同排法．②插空法：即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空隙中．题型5：定序问题51．（2023下·山东枣庄·高二枣庄市第三中学校考阶段练习）7个人排成一队参观某项目，其中ABC三人进入展厅的次序必须是先B再A后C，则不同的列队方式有多少种（

）A．120 B．240 C．420 D．84052．（2023下·山东临沂·高二统考期中）在某班举行的“庆五一”联欢晚会开幕前已排好有8个不同节目的节目单，如果保持原来的节目相对顺序不变，临时再插进去三个不同的新节目，且插进的三个新节目按顺序出场，那么共有种不同的插入方法(用数字作答)．53．（2023·江苏·高二专题练习）用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有个七位数符合条件．（五）数字排列问题数字排列的常见特殊性：(1)首位不能为0；(2)有无重复数字；(3)奇偶数；(4)某数的倍数；(5)大于(或小于)某数．题型6：数字排列问题61．（2023·湖北·统考一模）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A．8 B．24 C．48 D．12062．（2023·高二课时练习）一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字(如735，414等)，那么这样的三位数共有（

）A．240个 B．249个C．285个 D．330个63．（2023·四川）用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有A．144个 B．120个 C．96个 D．72个64．（2023·高二课时练习）用0，1，2，3，…，9十个数字可组成不同的：（1）三位数个；（2）无重复数字的三位数个；（3）小于500且无重复数字的三位奇数个．一、单选题1．（2023上·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）下列问题是排列问题的是（

）A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2023个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C．集合的含有三个元素的子集有多少个？D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？2．（2023下·高二课时练习）下列问题是排列问题的是（

）A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？3．（2023下·广东茂名·高二统考期中）甲､乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为（

）A．6 B．4 C．8 D．104．（2023下·湖北·高二统考期末）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，则不同站法的种数有（

）A．12种 B．18种 C．24种 D．60种5．（2023下·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第三十二中学校校考期中）将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为（

）A．54 B．45C．5×4×3×2 D．56．（2023上·陕西西安·高二西北工业大学附属中学校考阶段练习）某学习小组共5人，约定假期每两人相互微信聊天，共需发起的聊天次数为（

）A．20 B．15 C．10 D．57．（2023下·高二课时练习）从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法为（

）A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲B．甲乙丙，乙丙甲C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙D．甲乙，甲丙，乙丙8．（2023·高二课时练习）沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备不同的火车票的种数为（）A．15 B．30 C．12 D．369．（2023下·重庆沙坪坝·高二重庆市天星桥中学校考阶段练习）从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为（

）A．5 B．10 C．20 D．6010．（2023·全国·高二专题练习）由1，2，3，4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数为(

)A．9 B．12 C．15 D．1811．（2023上·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）在新冠肺炎疫情防控期间，某记者要去武汉4个方舱医院采访，则不同的采访顺序有（

）A．4种 B．12种 C．18种 D．24种12．（2023·高二课时练习）下列各式中，不等于的是（

）A． B． C． D．13．（2023·高二课时练习）已知，则的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．714．（2023下·高二课时练习）不等式的解集为（）A． B． C． D．15．（2023下·新疆喀什·高二统考期末）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有（

）种不同的送法．A．60 B．125 C．45 D．1116．（2023下·新疆巴音郭楞·高二校考期中）有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有（

）A．种 B．种C．种 D．种17．（2023上·福建龙岩·高二福建省龙岩第一中学校考阶段练习）现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（

）种.A． B． C． D．18．（2023下·宁夏·高二阶段练习）要从a，b，c，d，e5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是（

）A．20 B．16 C．10 D．619．（2023·高二课时练习）五声音阶是中国古乐的基本音阶，五个音分别称为宫､商､角､徵､羽，如果将这五个音排成一排，宫､羽两个音不相邻，且位于角音的同侧，则不同的排列顺序有（

）A．20种 B．24种 C．32种 D．48种20．（2023下·山西朔州·高二校考阶段练习）从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有（

）A．60种 B．80种 C．100种 D．120种21．（2023·新疆·统考一模）如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如1→3→4→5→6→7就是一条移动路线，则从数字“1”到“7”，漏掉两个数字的移动路线条数为（

）A．5 B．6 C．7 D．822．（2023·高二课时练习）某班有4名同学报名参加校运会的五个比赛项目，每人参加一项且各不相同，则不同的报名方法有（

）A．种 B．种 C．种 D．种23．（2023下·山东菏泽·高二统考期中）将3张不同的奥运会门票分给6名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是（

）A．240 B．120 C．60 D．4024．（2023下·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考期中）两位同学分别从甲、乙、丙3门课程中选修1门，且2人选修的课程不同，则不同的选法共有(

)种A．9 B．6 C．8 D．4二、多选题25．（2023下·高二课前预习）(多选)从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果．在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有（

）A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法26．（2023·高二课时练习）（多选）从集合{3，5，7，9，11}中任取两个元素，下列四个问题属于排列问题的是（

）.A．相加可得多少个不同的和B．相除可得多少个不同的商C．作为椭圆中的a，b，可以得到多少个焦点为x轴上的椭圆方程D．作为双曲线中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程27．（2023下·安徽滁州·高二校考期末）下列各式中与排列数相等的是（）A． B．C． D．28．（2023下·江苏苏州·高二苏州市苏州高新区第一中学校考阶段练习）下列等式正确的是（）A． B．C．！ D．三、填空题29．（2023·江苏·高二专题练习）给出下列问题：①有10位同学，每两人互通一次，共通了多少次？②有10位同学，每两人互写一封信，共写了多少封信？③有10位同学，每两人互握一次手，共握了多少次手？以上问题中，属于排列问题的是．（写出所有满足要求的问题序号）30．（2023·高二课时练习）计算：．31．（2023·高二课时练习）学号分别为1，2，3，4的四位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，列举出所有不同的排列：．32．（2023·江苏·高二专题练习）从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成个以b为首的不同的排列，它们分别是．33．（2023·高二课时练习）3盆不同品种的花排成一排，共有种不同的排法.34．（2023·高二课时练习）有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地里，有种不同的种法.35．（2023·高二课时练习）王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读.（1）若他从这些参考书中带1本去图书馆，则有种不同的带法；（2）若带外语、数学、物理参考书各1本，则有种不同的带法；（3）若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，则有种不同的带法.36．（2023·浙江·校联考模拟预测）将1，2，3，4，5，6，7，8八个数字排成一排，满足相邻两项以及头尾两项的差均不大于2，则这样的排列方式共有种.（用数字作答）37．（2023·高二课时练习）用排列数符号表示下列各式：（1）；（2）；（3）（且）．38．（2023·广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）39．（2023下·广西玉林·高二校考期中）七位同事（四男三女）轮值办公室每周的清洁工作，每人轮值一天，其中男同事甲必须安排周日清洁，且三位女同事任何两位的安排不能连在一起，则不同的安排方法种数是（用数字作答）40．（2023上·陕西渭南·高三校联考阶段练习）生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“五经”是儒家典籍《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则满足《诗经》必须排在后2节，《周易》和《礼记》必须分开安排的情形共有．41．（2023下·天津·高三天津一中阶段练习）由组成没有重复数字且都不与相邻的六位偶数的个数是42．（2023上·福建龙岩·高二福建省龙岩第一中学校考阶段练习）西湖龙井茶素来有“绿茶皇后”“十大名茶之首”的称号，按照产地品质不同，西湖龙井茶可以分为“狮、龙、云、虎、梅”五个字号．某茶文化活动给西湖龙井茶留出了三个展台的位置，现在从五个字号的产品中任意选择三个字号的茶参加展出活动，如果三个字号中有“狮、梅”，则“狮”字号茶要排在“梅”字号茶前（不一定相邻），则不同的展出方法有种．（用数字作答）43．（2023下·北京大兴·高二统考期中）从某班7名学生干部中选择2名，分别参加周一早上和周五下午的校门口志愿服务活动，则不同的安排方法数是.（结果用数字作答）44．（2023下·天津红桥·高二天津三中校考期末）在A，B，C，D四位学生中，选出两人担任正、副班长，共有选法种．四、解答题45．（2023·全国·高二专题练习）判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互打．46．（2023下·高二课时练习）计算：和47．（2023·高二课时练习）写出所有由1，2，3，4这四个数字排成的没有重复数字的四位数．48．（2023·高二课时练习）某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？49．（2023·高二课时练习）（1）从四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？（2）写出从4个元素中任取3个元素的所有排列．50．（2023·高二课时练习）请列出下列排列：(1)从4个不同元素中任取3个元素的所有排列；(2)从7个不同元素中任取2个元素的所有排列．51．（2023·高二课时练习）某药品研究所研制了5种消炎药，，，，，4种退热药，，，，现从中取2种消炎药和1种退热药同时进行疗效试验，但，两种药或同时用或同时不用，，两种药不能同时使用，试写出所有不同的试验方法.52．（2023·高二课时练习）从甲、乙、丙三名学生中任意安排2名学生参加数学、外语两个课外小组的活动，共有多少种不同的安排方案？请画出相应的树状图，并解答．53．（2023·全国·高二专题练习）将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法．54．（2023·高二课时练习）写出下列问题的所有排列：（1）北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？（2）两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？55．（2023高一数学）用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：（1）各位数字互不相同的三位数有多少个？（2）可以排出多少个不同的三位数？56．（2023·高二课时练习）从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数.（1）能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数.（2）若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数.57．（2023·高二课时练习）（1）有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？（2）有7种不同的书（每种不少于3本），要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？58．（2023上·陕西渭南·高二渭南市华州区咸林中学校考阶段练习）从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来．59．（2023下·高二课时练习）三个女