2022-2023学年四川省成都等各市高一下数学期末试题分类汇编三角函数平面向量压轴题

20222023学年四川省成都等各市高一下数学期末试题分类汇编：三角函数、平面向量压轴题一、单选题1．已知函数，则的最小正周期为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平方关系、降幂及辅助角公式可得，根据三角函数性质求最小正周期.【详解】由题设，，所以最小正周期为.故选：B2．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D是AC边上一点，且满足，．则ac的最小值为（

）A． B． C．4 D．8【答案】B【分析】由可得，再由基本不等式即可求出答案.【详解】因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等，所以，即，故ac的最小值为.故选：B.3．已知点O是的内心，，，则（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】连接并延长交于点，连接，则由角平分线定理得到的长度关系，再由平面向量基本定理，利用三点共线，得到关系式，比较系数可得答案.【详解】连接并延长交于点，连接，因为O是的内心，所以为的平分线，所以根据角平分线定理可得，所以,因为三点共线，所以设，则，因为，所以，故选：D4．如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】由P、C、D三点共线及，可求m的值，再用、作基底表示，进而求即可.【详解】∵，，即且，∴，又C、P、D共线，有，即，即，而，∴∴=.故选：C5．如图，设是平面内相交成的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作．若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量数量积的定义可求得的值，由题意得出，利用平面向量数量积的运算性质可求得答案.【详解】由平面向量数量积的定义可得，由题意可得所以，，设，因为，所以，，，由可得，解得（舍去），，由，因为所以故选：B.6．如图，在中，，，，点在以为圆心且与边相切的圆上，则的最小值为（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】由几何关系分解向量，根据数量积的定义与运算法则求解【详解】设为斜边上的高，则圆的半径，设为斜边的中点，，则，因为，，则，故当时，的最小值为.故选：C.7．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，设，由条件可得的坐标，然后列出方程，即可得到结果.【详解】设，则，将点绕点沿顺时针方向旋转，即将点绕点沿逆时针方向旋转，可得，化简可得，，又因为，所以，解得，所以.故选：D8．在等腰直角三角形中，，，，为的中点，满足，则的值为（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用表示，再利用数量积的运算律计算作答.【详解】依题意，在中，，，，由，，为的中点，得，因此，而，即，所以.故选：B二、多选题9．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，M，N分别是AB，AD边上的动点，下列命题中正确的有（

）A．若的周长为2，则∠MCN的正切值等于1B．若的面积为，则∠MCN正切值的最小值为C．若的周长为2，则的最小值为D．若的面积为，则的最大值为【答案】ABC【分析】的周长为2时，求得∠MCN的正切值判断选项A；求得的最小值判断选项C；的面积为时，求得∠MCN的正切值的最小值判断选项B；求得的最大值判断选项D.【详解】当的周长为2时，延长至P，使，连接.则，则，，又,则，则,又由，可得，则，则选项A判断正确；以A为原点，分别以所在直线为轴建立坐标系，则，，则,当的周长为2时，，由，可得（当且仅当时等号成立）则则（当且仅当时等号成立），则（当且仅当时等号成立），故的周长为2，则的最小值为.选项C判断正确；当的面积为时，，即，则（当且仅当时等号成立），则（当且仅当时等号成立）.故的面积为时，则的最大值为1.选项D判断错误；由，可得由，可得，，则，又，则故的面积为时，∠MCN正切值的最小值为.选项B判断正确.故选：ABC10．下列各式中，值为的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】根据两角和的正、余弦公式及诱导公式、同角三角函数关系化简即可求解.【详解】对于A，；对于B，；对于C，；对于D，.故选：ACD.11．如图，在中，是线段上的点，且满足，线段与线段交于点，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据题意，由平面向量线性运算可得选项A正确；由与共线，可得，由三点共线，得，由平面向量基本定理解出的值，可判断选项C、D;由三点共线，得，通过转化求出得值，即可判断选项B错误.【详解】由题意，，故选项A正确；由与共线，可得，由三点共线，得，由平面向量基本定理，可得，解得，所以，，，，即故选项C、D正确；由三点共线，得，即，化简为，由选项C可得，，再由平面向量基本定理得，，得，所以，，即，故选项B错误.故选：ACD.12．东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．某数学兴趣小组通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形ABC，对于图2，下列结论正确的是（

）A．这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形B．若，则与夹角的余弦值为C．若，则的面积是面积的19倍D．若，，则内切圆的半径为【答案】BCD【分析】选项A，若三个全等的钝角三角形是等腰三角形，分析可得三点重合，进而即可判断；选项B，连接，设，结合平面向量的线性运算可得，进而利用平面向量的数量积公式即可求解；选项C，设，则，，在中，由余弦定理可得，进而结合三角形的面积公式分别表示出的面积和面积，进而求解；选项D，结合题设可得，，在中，由余弦定理可得，设内切圆的半径为，由，进而求解即可.【详解】选项A，若三个全等的钝角三角形是等腰三角形，则，从而三点重合，不合题意，故A错误；选项B，连接，因为，则为中点，则分别为中点，因为为等边三角形，设，而,，整理得，所以，，所以与夹角的余弦值为，故B正确；选项C，若，设，则，，在中，由余弦定理得，所以，而，所以，故C正确；选项D，因为，，所以，，在中，由余弦定理得，即，设内切圆的半径为，由，即，解得，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：本题B选项，关键在于结合平面向量的线性运算可得，进而利用平面向量的数量积公式即可求解，将未知向量往已知方向进行转化.13．已知是定义在R上的函数，同时满足以下条件：①为奇函数，为偶函数（，且）；②；③在上单调递减．下列叙述正确的是（

）A．函数有5个零点B．函数的最大值为20C．成立D．若﹐则【答案】BCD【分析】根据①得出关于点对称，关于直线对称，得出的周期为4，根据得出，，.结合③画出函数的草图．结合函数的图象及正余弦函数的性质逐一判断各选项.【详解】因为①为奇函数，所以，且.即，所以函数关于点对称，即关于点对称.因为为偶函数，所以，所以关于直线对称，即关于直线对称.由关于点对称，且关于直线对称，则函数的周期为4.由，关于点对称，所以，又关于直线对称，，.又②，所以，即，即，③在上单调递减．画出函数的草图．对于A，函数的零点个数即为与的交点个数，如图，易知有4个交点，即函数有4个零点,故A错误；对于B，因为，所以当时，函数的最大值为20，故B正确.对于C，易知函数与是偶函数，，，所以函数与的周期；又，，所以函数与的对称轴为；当时，，得，，，，又因为，所以，因为在上单调递增，所以，即，根据周期性，对称性可知.又在上单调递增，，故C正确；对于D，若，，因为在单调递减，在单调递增，又，，所以，，因为在单调递减，在单调递增，所以，所以，则成立，故D正确.故选：BCD.【点睛】函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的方法点睛：(1)函数的零点:零点存在性定理.通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内.(2)方程的根:方程的等价变形.当所给函数不易于分析性质和图像时，可将函数转化为方程，从而利用等式的性质可对方程进行变形，构造出便于分析的函数(3)两函数的交点:数形结合.前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特征，是数形结合的体现.通过图像可清楚的数出交点的个数(即零点，根的个数)或者确定参数的取值范围.14．直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（

）A．的取值范围是B．点经过的外心C．点所在轨迹的长度为2D．的取值范围是【答案】ABD【分析】由向量数量积的几何意义有，结合已知即可判断A；若为中点，根据已知有共线，即可判断B、C；利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得，结合基本不等式求范围判断D.【详解】由，又斜边，则，则，A正确；若为中点，则，故，又，所以共线，故在线段上，轨迹长为1，又是的外心，B正确，C错误；由上，则，又，则，当且仅当等号成立，所以，D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：若为中点，应用数形结合法，及向量线性运算的几何意义、数量积的几何意义和运算律判断轨迹，求、.三、解答题15．已知分别为三个内角的对边，且，(1)求；(2)若，求的取值范围；(3)若为的外接圆，若分别切于点，求的最小值.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）由题目条件可证得,可得为直角三角形，可求出.（2）由数量积的定义可求得，设，则，令，则，判断出的单调性，即可得出答案.（3）用分别表示出，结合均值不等式即可求出答案.【详解】（1）因为，则，所以，则，所以为直角三角形，所以.（2），所以，而，所以设，所以，令，又因为所以，所以，令，因为在上单调递增，所以在上单调递减，所以.所以的取值范围为（3）的外接圆的半径为，，设，则，其中，所以，而，，当且仅当取等.所以的最小值为.【点睛】关键点点睛：本题考查向量相关的取值范围问题，考查面较广，涉及了基本不等式、函数值域、正弦定理、三角函数等，需要对知识掌握熟练且灵活运用.考查学生的运算能力和逻辑推理能力，属于难题.16．在锐角△ABC中，记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点O为△ABC的所在平面内一点，且满足．(1)若，求的值；(2)在（1）条件下，求的最小值；(3)若，求的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得到，求得，再由向量的线性运算法则，求得，得到为的外心，结合正弦定理，即可求得的长．（2）由（1）求得，且，根据向量的运算法则，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解；（3）取AB的中点D，连接OD，求得，，由向量数量积的定义得到，结合题意，得到和，联立方程组，求得，化简得到，即可求解.【详解】（1）解：因为，由正弦定理得,因为，可得，所以，又因为，可得，所以，即，因为，所以，又由，可得，解得，即，所以为的外心，由正弦定理有，所以．（2）解：因为，所以，所以，，所以，外接圆的半径，其中，且为锐角，故，由，可得，因为，解得，即则，则，且，因为余弦函数在上单调递减，在上单调递增，又因为，，所以，，所以，所以．（3）解：如图所示：取AB的中点D，连接OD，则，所以，同理可得，由平面向量数量积的定义可得，因为，所以，，即，所以，①，即，所以，②．联立①②可得，，所以，又因为，因为，可得，所以.【点睛】17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．(1)求角B；(2)求的最小值；(3)为的外接圆，P为外一点，过P点作的切线，切点分别为E，F，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得到，进而得到，即可求解；（2）由正弦定理得到，化简，设，得到，进而求得最小值；（3）由，化简得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，又因为，所以，所以，因为，所以，又因为，所以.（2）解：由正弦定理得，所以，因为，所以，所以，设，因为，所以，，所以，因为在上单调递增，所以时，.（3）解：因为且，为的外接圆，可得圆的半径为，如图所示，设，连接与交于点，由点为外一点，过点作的切线，切点分别为，，所以，所以，因为，所以，又因为，所以，则，所以，又由，所以，因为，可得，当且仅当，当时，等号成立，所以的最小值为．18．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的联合向量，同时称函数为向量的联合函数．(1)设函数，试求函数的联合向量的坐标；(2)记向量的联合函数为，当且时，求的值；(3)设向量，的联合函数为，的联合函数为，记函数，求在上的最大值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）化简的解析式，从而求得伴随向量；（2）先求得，由求得，进而求得，从而求得；（3）先求得，然后根据三角函数的值域与二次函数最值分类讨论求解即可.【详解】（1）因为，所以函数的联合向量的坐标为.（2）依题意，由，得，即，又因为，所以，所以.（3）由题知，，所以因为，，所以，，令，所以，问题转化为函数上的最大值问题.因为函数的对称轴为，所以，当，即时，的最大值在处取得，此时；当，即时，的最大值在处取得，此时；当，即时，的最大值在处取得，此时；综上，在上的最大值为.【点睛】方法点睛：求解新定义函数有关的问题，关键点在于理解新的定义，解题过程中，要将“新”问题，转化为所学的知识来进行求解，体现了化归与转化的数学思想方法.19．已知函数，函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，.(1)若，求；(2)若对任意，存在使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等变换化简的解析式，从而由解得；（2）利用三角函数的图象变换规律求出函数的解析式，根据题意，将所给条件转化为和的值域的包含关系，根据分段函数的特征及二次函数的性质分类讨论，列出不等式组，求得实数的取值范围．【详解】（1），若，则，∴，∴.（2），当时，，，若对任意，存在使得成立，则函数的值域是的子集.，令，记，当时，，，在时单调递减，则，即，由题意得，解得，又，矛盾，所以无解；当时，，，，在时单调递减，在时单调递增，在时单调递减，，由题意得，解得，又，所以；当时，，，，在时单调递减，在时单调递增，，由题意，解得，又，所以；当时，，，，在时单调递减，则，即，由题意得，解得，又，所以，综上可得，.【点睛】方法点睛：一般地，已知函数，，（1）若，总有成立，则；（2）若，使得成立，则；（3）若，使得成立，则；（4）若，使得成立，则的值域是值域的子集．20．高新体育中心体育馆（图1）是成都大运会乒乓球项目比赛场馆，该体育馆屋顶近似为正六边形，屋底近似为正六边形．(1)如图2，已知该体育馆屋顶上有三点用电缆围成了三角形形状，测得，米，求该电缆的长度；(2)如图3，若在建造该体育馆时在馆底处的垂直方向上分别有号塔吊，若1号塔吊（点处）驾驶员观察2号塔吊（点处）驾驶员的仰角为号塔吊驾驶员观察3号塔吊（点处）驾驶员的仰角为，且1号塔吊高米，2号塔吊比1号塔吊高米，则3号塔吊高多少米?（塔吊高度以驾驶员所在高度为准）．【答案】(1)米.(2)米.【分析】（1）根据正弦定理求出三角形边长，可得三角形周长；（2）在直角梯形中，过作，垂足为，求出米，在直角梯形中，过作，垂足为，求出米，再由可得结果.【详解】（1）因为，，所以，.由正弦定理得，得米，，米，所以该电缆的长度为米.（2）在直角梯形中，过作，垂足为，则米，，米，所以米，所以米，所以正六边形的边长为米，在直角梯形中，过作，垂足为，则米，，所以米，所以3号塔吊高为米.21．在中，，，，分别是角，，的对边，请在①；②两个条件中任选一个，解决以下问题：(1)求角的大小；(2)如图，若为锐角三角形，且其面积为，且，，线段与线段相交于点，点为重心，求线段的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）若选①，先由正弦定理的边角互化，然后结合余弦定理即可得到结果；若选②，先由正弦定理的边角互化，再结合二倍角公式，即可得到结果.（2）用、作为平面内的一组基底表示出，再根据平面向量共线定理及推论表示出，即可表示，利用面积公式求出，再由三角形为锐角三角形求出的取值范围，最后根据数量积的运算律及对勾函数的性质计算可得．【详解】（1）若选①，因为，由正弦定理可得，，化简可得，又因为，则，，故.若选②，因为，由正弦定理可得，，且，则，且，所以，其中，所以，则.（2）由题意可得，，所以，因为、、三点共线，故设，同理、、三点共线，故设，则，解得，所以，则，因为，所以，又因为为锐角三角形，当为锐角，则，即，即，所以；当为锐角，则，即，则，即，所以；综上可得，又因为，则，因为，则，且在上单调递减，，所以，即，所以．22．如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知且.(1)求中线的长度；(2)设点分别为边上的动点，线段交于，且的面积为面积的一半，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先由正弦定理与余弦定理进行边角互化，求出，再由结合数量积的运算性质即可求解；（2）设，再根据的面积为面积的一半，得到，然后利用共线和基本定理，利用数量积运算求解.【详解】（1），由正弦定理：，由余弦定理：.因为为中点，所以，设的夹角为，又，，即，解得或，又，∴,∴；（2）设，则，∵的面积为面积的一半，∴，∴.设，则，又共线，∴可设，则，∴，解得：.∴，又，∴.又，化简得，又，则，则时，的最大值为.23．已知向量，，设函数.(1)求的值；(2)当时，有零点，求实数的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量数量积坐标公式结合二倍角公式和辅助角公式即可得到的解析式，代入即可；（2）化简，利用整体换元法结合对勾函数性质即可得到答案.【详解】（1）由题意知：.（2）由（1）知，有零点，令，，则，则，，所以在上有零点，即在上有解，即在有解，显然，当且仅当时等号成立，故的取值范围为.24．已知函数的相邻两对称轴间的距离为．(1)求的解析式；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的最值．(3)对于第（2）问中的函数，记在上的5个零点从小到大依次为，求的取值范围．【答案】(1)(2)最小值为，最大值为.(3)【分析】（1）根据题意，化简函数由函数，结合，求得，即可求得函数的解析式；（2）根据三角函数的图象变换，得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（3）根据题意求得，令，作出函数在上的图象，结合图象得到，进而求得，，即可求解.【详解】（1）解：由函数，因为函数的相邻两对称轴间的距离为，可得，所以，所以函数的解析式为.（2）解：将函数的图象向右平移个单位长度，可得再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，当时，可得，当时，即时，函数取得最小值，最小值为；当时，即时，函数取得最大值，最大值为，所以函数的最小值为，最大值为.（3）解：因为，可得，令，作出函数在上的图象，如图所示，因为方程，在上有五个实数根，可函数在上有五个实数根，由图象可得，且所以，，所以，所以.25．在①，②，③，这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答．已知中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且______．(1)求；(2)若，，求AD的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）选择条件①，边化角，利用诱导公式、和角公式与辅助角公式求解；选择条件②，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即可；选择条件③，边化角，利用余弦函数的差角公式化简求解即可.（2）根据余弦定理以及平面向量数量积的运算法则化简可得，再利用基本不等式求解即可.【详解】（1）选择条件①∵，∴∴∴，∴，∴，∵，∴选择条件②∵，∴∴，∴，∴，∵，∴选择条件③：易知.可得，根据正弦定理，可得可得整理可得∵，∴（2）∵，∴，又由题有，∴∴，即由，得，又∵，当且仅当“”时，“=”成立∴，∴，∴，即AD的最大值为26．已知函数的相邻两对称轴间的距离为．(1)求的值；(2)证明：；(3)令，记方程，在上的根从小到大依次为，若，试求的值．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简，由最小正周期可求得的值；（2）利用两角和差正弦公式和二倍角公式化简证明即可；（3）将问题转化为与交点的横坐标的求解，采用数形结合的方式，结合正弦型函数的对称性可求得结果.【详解】（1）；的相邻两对称轴间的距离为，的最小正周期，即，解得：.（2）由（1）得：，则，，.（3）由（1）得：，当时，，，的根等价于与交点的横坐标，作出图象如下图所示，由图象可知：方程，在上的根从小到大依次为，由对称性得：，.【点睛】关键点点睛：本题求解方程根之和的关键是将问题转化为两函数交点横坐标之和的求解问题，采用数形结合的方式，结合正弦型函数的对称性来进行求解.27．设平面向量、的夹角为，．已知，，．(1)求的解析式；(2)若﹐证明：不等式在上恒成立．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据数量积的坐标表示得到，再根据所给定义及同角三角函数的基本关系得到的解析式；（2）首先求出、的解析式，在利用换元法求出的最小值，的最大值，即可得证.【详解】（1）因为，，，所以，，，所以，则，所以，因为，当时，当时，所以；（2）当时，又，所以，令，因为，所以，所以，则，所以，令，，因为在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，则，即令，因为，所以，所以，则，则，令，，显然在上单调递增，所以，即，显然，所以，即不等式在上恒成立.【点睛】关键点睛：根据解答的关键是由数量积的定义及坐标运算表示出，即可得到，再由所给定义得到的解析式，利用换元法求出函数的最值.28．中，，，是角，，所对的边，已知，且.(1)若的外接圆半径为，求的面积；(2)若，在的边，上分别取，两点，使沿线段折叠到平面后，顶点正好落在边上，求此情况下的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理边角互化，结合三角恒等变换，即可求解，由余弦定理可得边的长度，进而由面积公式即可求解.（2）根据余弦定理可得，结合基本不等式即可求解最值.【详解】（1）因为，即，所以由正弦定理边角互化得，因为，所以，即，所以，因为，所以，所以，所以，即.又由正弦定理得，再由余弦定理得，即，整理得，解得或（舍去），由面积公式得；（2）因为顶点正好落在边上，设为点，又，，所以为等边三角形，即，如图，设，则，所以在中，由余弦定理得，整理得，设，所以，由于，故，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.四、填空题29．已知是平面内一组基底，，，则与所成角的最大值为．【答案】/【分析】利用换元结合数量积的运算以及夹角公式运算求解.【详解】因为是平面内一组基底，即不共线，设，显然、不共线，且均不为零向量，设的夹角为，则，，又因为，则，即，整理得，所以，又因为，则，所以与所成角的最大值为.故答案为：.30．已知函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为．【答案】【分析】根据题意可得，从而可求得的一个大范围，根据，可得，再由的范围分类讨论，结合正弦函数的性质即可得解.【详解】因为函数在区间上有且仅有一个零点，所以，所以，由，可得，由，得，当，即时，则，解得，所以，当，即时，则，解得，综上所述：的取值范围为.故答案为：.【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：（1）将函数解析式变形为或的形式；（2）将看成一个整体；（3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.31．已知边长为2的菱形中，是边所在直线上的一点，则的取值范围为．【答案】【分析】取的中点，连接，利用平面向量的运算可得，结合菱形的几何性质可得答案.【详解】

取的中点，连接，则，所以，当且仅当时，有最小值，则有最小值，此时菱形的面积，最小值为，因为是边所在直线上的一点，所以无最大值，无最大值，的取值范围为，故答案为：32．在中，若，，的内角平分线交边于点，若，，则外接圆的直径为．【答案】【分析】根据可得，从而得，利用三角形面积公式可得，再利用，结合数量积的运算可得，从而可得，利用余弦定理得，最后应用正弦定理即可得外接圆的直径.【详解】

又，所以，因为，所以，则又，所以，则，整理得：①，又，所以，则，整理得②，联立①②可得：，解得或（舍）在中，由余弦定理可得，所以，设外接圆的半径为，由正弦定理可得所以外接圆的直径为.故答案为：.33．奋进新时代，扬帆新航程.在南海海域的某次海上阅兵上，一大批国产先进舰船和军用飞机接受了党和人民的检阅.歼15舰载飞机从辽宁舰航空母舰上起飞，以千米/小时的速度在同一水平高度向正东方向飞行，在阅兵舰“长沙号”导弹驱逐舰上第一次观察到歼15舰载飞机在北偏西，1分钟后第二次观察到歼15舰载飞机在北偏东，仰角为，则歼15飞机飞行高度为千米（结果保留根号）.【答案】/【分析】作出图形，用点表示歼15舰载飞机，用点表示阅兵舰，然后由正弦定理求得，再在直角三角形中求得．【详解】如图，是阅兵舰，是歼15舰载飞机被观察的起始位置，是飞机在地面上的射影，由已知千米，，是正北方向，因此，，，，，由正弦定理，即，解得，在直角三角形中，．故答案为：．34．在中，为的重心，，，则的最大值为.【答案】【分析】利用基底法得，，再利用三角形面积公式得，再根据向量数量积的运算律结合基本不等式即可得到最值.【详解】延长交于点，因为是的重心，则为的中点，，，，由，，由三角形面积公式得，解得，则，当且仅当等号成立，此时为等边三角形.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用作为基底表示出，再结合三角形面积公式和基本不等式即可得到最值.35．已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，写出“使满足，的唯一”的a的一个取值为．【答案】（答案不唯一，满足或即可）【分析】根据题意，利用正弦定理求解.【详解