11.2.1 三角形的内角（第2课时）教学设计

11.2.1三角形的内角（第2课时）教学设计教学内容解析教学流程图地位与作用本节课是继三角形内角和定理后的第二节内容，由认识了三角形内角和180°之后转入特殊三角形-----直角三角形的内角关系的学习是认知提升的需要，也是因为直角三角形的性质和判定是学习“图形与几何”必备的知识基础.它是后续进一步学习与直角三角形相关知识如勾股定理等知识的基础.直角三角形的性质及判定的学习是三角形内角和定理学习的延续和提升.概念解析直角三角形的性质意在告诉学生直角三角形的三个内角之间不仅仅满足其和等于180°，而在两个锐角之间存在特殊的互余关系，它从“角”的角度刻画了直角三角形两个锐角的特征,而且直角三角形的判定无非是性质的逆定理.对于这两个定理的得出建立在三角形内角和180°的认知基础上于学生而言并不困难，只不过若没有本节课的设置，学生可能不会想到将它汇成结论，在解题中直接加以应用.思想方法直角三角形性质的探究过程中，按从具体到抽象，从一般到特殊的认识规律，由实验入手——测量、计算，一方面激发学生的学习兴趣，另一方面延续上节课的学习方式,使学生进一步体会实验测量法在几何学习中的地位及局限性,体现由实验几何到论证几何的研究过程，同时也说明了证明的必要性.通过实验操作，获得发现和猜想,进而进行推理和论证，是学习几何的常用方法.让学生在实验中有所发现，演绎论证过程中发展推理能力．知识类型直角三角形性质和判定是关于原理与规则的知识．在本节课性质定理和判定定理的探索和学习中，定理的形成与定理的同化需结合使用，其中三角形内角和180°是其上位知识，三角形外角的性质及多边形的内角和定理及外角性质是新知识的同化固着点.授课过程中应注意让学生感受知识学习的流程及几何知识的推理论证的必要性.运用直角三角形性质定理和判定定理转化得到所求角度，是为训练学生思维灵活性与探究性．教学重点本节课的教学重点：有关推理表述及性质定理和判定定理的应用教学目标解析教学目标1．会用三角形内角和定理证明直角三角形两个锐角互余及两个角互余的三角形是直角三角形.2．能利用直角三角形的性质定理进行角度的有关计算与证明.目标解析达成目标l的标志是：学生能通过度量或计算实验感知直角三角形的的两个锐角互余，发现操作实验的局限性，感受推理证明的必要性；通过实验操作发现推理的方法,证明直角三角形的性质定理和判定定理.达成目标2的标志是：学生能运用直角三角形性质定理和判定定理解决简单的与直角三角形中角有关的计算和证明问题.教学问题诊断分析具备的基础已具备的认知基础（知识、能力）对于八上学生而言，经过一年多的初中学习，学生的认知水平和思维水平都有了一定的提高，前期已接触过平行线的性质和判定的证明,上一节又运用平行线的性质证明了三角形内角和的定理,也就是说已具备一定的演绎推理能力，而且演绎推理的意识与能力在加强；在知识储备上，学生已经学习了平行线的性质与判定定理，还学习了三角形的内角和定理,已具备命题必须经过推理论证之后方可成为定理并被运用的认识，也已经历过几何学习中实验、发现、猜想、证明这种一般性的学习方式.与本课目标的差距分析与本课目标的差距分析（知识、能力）学生尽管已经经历过在实验操作中有所发现，并用推理的方法证明自己的猜想.这种学习方法尽管具有一般性，但在面对新知识的探索中，很多学生仍处在思维的摸索阶段,在探索思维过程中显得生疏，不能有意识地朝正确的思维方向去作有效的分析进而直达目的甚至有可能偏离.需教师作思路引导、方法指点.存在的问题可能存在的问题（问题、障碍）直角三角形性质定理、判定定理的学习不仅仅只是在实验操作中有所发现，有所猜想,更关键的是在实验操作中发现实验的局限性，从中有所启发探索出证明的方法----借助三角形内角和定理及直角三角形中有一个角为直角.对于实验过程中的这一发现对学生而言是存在困难的,需教师在实验中进行思维的引导、方法的点拨.应对策略应对策略（过程、方法）证明直角三角形性质定理和判定定理需要借助三角形内角和定理及直角三角形中的特殊角---直角，学生刚刚学习了三角形内角和定理，在论证推理的过程中马上运用它来解决问题的意识不是很强，推理论证过程中会感到困难.教学时，教师要让每个学生都亲自动手测量、计算，引导学生感悟测得一个锐角的度数，在计算另一个锐角的度数时用到的知识，进而发现证明的思路、证明定理.教学难点本节课的教学难点是：有关推理表述及性质定理和判定定理的应用．教学支持条件分析利用PPT图片展示问题及本节课的知识点,以便更清晰地向学生展示本节课的学习内容,帮助学生及时梳理知识点.借助动态几何软件测量直角三角形的两锐角，探究它们的数量关系．教学过程设计课前检测1．△ABC中，∠A=60°，∠B=20°，则∠C=_______度.2．已知三角形的三个内角的度数之比为1:2:2,则这三个内角度数分别是_______.3．已知△ABC中∠A+∠B=∠C，则∠C=_______，△ABC是_______三角形.师生活动设计:教师出示问题并作引导、激励、评价;学生结合问题展开复习、回忆、联系.设计意图：检查学生对三角形内角和定理的认识和运用情况以及对直角三角形定义的回顾.如果学生答题情况不好，则需要在课前增加相关知识的复习.如答题情况良好则直接进入直角三角形性质和判定的探究学习.合作学习1．探索并证明直角三角形性质问题1直角三角形的表示方法三角形用什么符号表示？那么对于特殊的三角形-----直角三角形是否也有特殊的表示方法呢？三角形ABC表示为△ABC，直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角△ABC可以写成：Rt△ABC．问题2探究直角三角形的性质请同学们先在纸上画一个直角△ABC，其中∠C=90°，并求出∠A+∠B的值．师生活动设计：指导学生开展实验操作，然后汇报结果.追问1：通过对问题2的计算你发现∠A和∠B有什么关系？师生活动设计：学生应该回答∠A+∠B=90°或∠A和∠B互余，也有可能部分学生得出∠A和∠B的和并没有刚刚等于90°,勿忘加以肯定,他们的实验发现都没有错.追问2：直角△ABC中∠A+∠B应该等于90°,但我们手中的三角形只是所有诸多直角三角形中有限的几个，而形状不同的直角三角形有无限多个，我们又该如何说明“所有的直角三角形的两个锐角的和都等于90°”这个结论呢？师生活动设计：实验进一步说明误差的存在性,而且仅仅凭借有限几个三角形的实验来说明一般性的结论显然是不行的.结合上节课的学习思想师生总结出:要说明一个一般性的结论需要通过推理的方法去证明．设计意图：让学生通过实验操作，发现实验操作的局限性（视觉误差、度量误差，实验有限性与三角形个数无限的矛盾），进而认识证明的必要性,产生进一步学习的欲望,起到必要的思维过度作用.追问3：你能结合图形给出已知、求证并进行证明吗？师生活动设计：由学生结合图形说出已知、求证及推理过程，教师在黑板上进行板书.已知:如图，在Rt△ABC中,∠C=90°求证:∠A+∠B=90°．证明:∵∠C=90°∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理）．∴∠A+∠B=180°-∠C=180°-90°=90°．归纳出结论：直角三角形的两个锐角互余．追问4：此直角三角形性质用几何语言该怎样表示？师生活动设计：师生共同归纳出其符号语言的描述∵△ABC是直角三角形（已知）∴∠A+∠B=90°（直角三角形的两个锐角互余）．设计意图：通过一系列问题的设置和追问让学生明了推理的必要性和几何证明的证明步骤及严谨的推理过程.整个过程一气呵成,不存在哪一步可有可无,从图形到已知求证,再到证明推理,它们之间是密不可分的,是一个完整的解题过程.从而进一步体会和掌握几何的严谨书写要求.2.探索直角三角形判定定理问题3我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，将题设与结论交换你能得出什么结论？这个结论成立吗？如何验证你的想法？师生活动设计：可以得到逆命题：有两个角互余的三角形是直角三角形，且结论是正确的.追问1:你能画出图形,给出已知求证,并进行证明吗?师生活动设计：组织学生展开思考并小组讨论交流,汇成思路后要求学生给出解答过程,此时教师勿忘提醒学生证明一个命题的完整的解题步骤及推理过程的严谨要求.指导学生在练习本上给出解答过程,叫一个学生进行板书,并集体订正.完整解答过程如下：已知:如图，在△ABC中,∠A+∠B=90°求证:△ABC是直角三角形．证明:∵∠A+∠B=90°（已知），∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理），∴∠C=180°-(∠A+∠B)=90°，∴△ABC是直角三角形(直角三角形定义）．归纳出结论：有两个角互余的三角形是直角三角形.追问2：你能用几何语言表示它吗？∵∠A+∠B=90°（已知）∴△ABC是直角三角形（有两个角互余的三角形是直角三角形）．追问3:证明得到这一结论对今后的解题有什么帮助?师生活动设计：订正过后教师指出，经过证明的这个结论确切地说是“直角三角形的判定定理”,可以依据它来判断一个三角形是否为直角三角形．设计思路：引导学生独立思考获得解决问题的思路，让学生在与他人合作，与同伴交流中受益，体会到合作的益处进而培养学生团结协作的精神．让学生给出完整解答过程意在使学生进一步体会和掌握几何证明的一般步骤及严密性、规范性要求.目标1检测:1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于50°，则另一个锐角的度数是（）

A.120°B.90°C.40D.70°2．直角三角形中，两个锐角相等,则这两个锐角分别为_______度、_______度.3．三角形中三个内角的比值分别为1∶2∶1,则这个三角形是_______三角形.设计思路：检测学生对直角三角形性质与判定的条件与结论的掌握情况,若情况良好进入下一环节的学习,如学生检测情况不好则再次将直角三角形的性质与判定的条件与结论进行讲述.例题示范例1如图，∠C=∠D=90°，AD、BC相交与点E．∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？师生活动设计：（1）由教师引导思路：要想找出∠CAE与∠DBE有什么关系，通过观察发现它们是两个不同直角三角形中的锐角，只要找另外两个锐角的关系即可；（2）经过点拨后让学生独立完成解题过程，一名学生板书；（3）然后师生共同分析板书学生解题过程是否合理规范．设计意图：运用直角三角形的性质及对顶角性质推出∠CAE与∠DBE的关系，帮助学生进一步巩固定理内容并学会简单的运用．例2如图，∠C=90°，∠1=∠B，△ADE是直角三角形吗？为什么？师生活动设计：(l)由教师引导学生要判断△ADE是不是直角三角形只需说明△ADE中∠ADE是不是等于90°，引导学生分析出解题的思路：在△ABC与△ADE中，∠A是公共角，∠1=∠B，利用三角形内角和相等，都等于180°得出若能求出∠CAB和∠ABC的度数，根据三角形内角和定理，即可求出∠ADE只能等于∠C=90°，从而判断出△ADE是直角三角形；(2)经过思路的点拨后让学生独立完成解题过程，并相互批改.设计意图：让学生利用直角三角形判定定理解决并书写过程，提高学生应用数学的意识和提升数学几何语言的表达能力.目标2检测1.（1）Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，则∠A=________．（2）若∠C=∠A+∠B，则△ABC是______三角形．（3）在△ABC中，∠A=90°，∠B=2∠C，求∠B，∠C的度数．2.如图，在△ABC中，若∠ACD=∠B，CD⊥AB，△ABC为直角三角形吗？为什么？师生活动设计：要求学生口答第1题中的(1)(2)，独立完成第1题(3)和第2题,给出完整解答过程．设计意图：检测学生利用直角三角形的性质定理和判定定理进行角度的有关计算与证明的掌握情况,若解答情况良好,接下来对本节课内容做梳理与小结,若情况不好则对性质与判定的条件与结论重新进行讲解.课堂小结小结：师生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：(l)本节课主要学习了哪些内容？直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余;直角三角形的判定:有两个角互余的三角形是直角三角形.(2)证明几何命题时要注意什么？结合命题内容给出图形、书写已知求证、规范书写推理过程.(3)学习直角三角形的性质和判定的主要应用是什么？用于计算直角三角形的角度或关系,判断三角形是否是直角三角形.设计意图：通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心——直角三角形的性质和判定，进一步体会证明的主要思路和必要性，明确几何证明的严谨书写要求.目标检测设计1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）A.120°B.90°C.60°D.30°2.如图，点E在BC上，ED⊥AC于F，交BA的延长线于D，已知∠D=35°，∠C=10°，则∠B的度数是（）A.25°B.35°C.45°D.55°3.适合条件的△ABC是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、任意三角形4.直角三角形的两个锐角相等，则