内蒙古赤峰市2019-2020学年高一下学期期末考试联考（A卷）数学（文科）试题

20192020学年内蒙古赤峰市高一第二学期期末数学试卷（文科）（A卷）一、选择题（共12小题）.1.已知集合，，则集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题可通过交集的定义直接求解.【详解】因为集合，，所以集合.故选：D.【点睛】本题考查集合的运算，主要考查交集的相关性质，交集是指两集合中都包含的元素所组成的集合，考查计算能力，是简单题.2.不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】把分式不等式等价转换为与之等价的一元二次不等式，从而求出它的解集.【详解】不等式，即，即，求得，故选：B.【点睛】本题考查分式不等式的解法，属于基础题.3.下列函数中，值域为的是（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】结合指数函数，对数函数，二次函数及反比例函数的性质即可求解.【详解】结合指数函数的性质可知，的值域，结合二次函数的性质可知，的值域.结合反比例函数的性质可知，的值域，结合对数函数的值域可知，的值域.故选：A.【点睛】本题考查基本初等函数值域的求解，属于基础题.4.等差数列的前项和为，且，，则的公差为（）A.1 B.2 C.4 D.【答案】C【解析】【分析】利用等差数列前项和公式列出方程组，能求出的公差.【详解】∵等差数列的前项和为，且，，∴，解得，.∴的公差为4.故选：C.【点睛】本题考查等差数列公差的计算，属于基础题.5.在下面四个的函数图象中，函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，可得函数在上为偶函数，排除AC，再由函数值的符号，排除D，即可得答案.【详解】根据题意，函数，，有，即函数在上为偶函数，排除AC，在区间上，，，函数图象在轴上方，在区间上，，，函数图象在轴下方，轴上方和下方的部分各占区间的一半，排除D；故选：B.【点睛】本题考查根据函数解析式选择图象，会判断函数的性质是解决的关键，属于基础题.6.在中，，，为边上的中线，为的中点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】运用向量加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量.【详解】在中，为边上的中线，为的中点，故选：D.【点睛】本题考查向量的线性运算和基本定理，属于基础题.7.在中，且，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在中，，再利用两角和的余弦公式展开计算即可.【详解】解：∵在中，，∴，又，，∴，，∴.故选：B.【点睛】本题考查两角和的余弦公式、同角三角函数关系、诱导公式，考查基本分析求解能力，属基础题.8.若，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由直接代入计算即可.【详解】因为，所以．故选D．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及二倍角公式的应用，是基础题．9.已知设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（）A.若，，则 B.若，，，则C.若，，则 D.若，，，则【答案】B【解析】【分析】在中，与相交或平行；在中，推导出，所以；在中，与相交、平行或异面；在中，与相交、平行或．【详解】解：由，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，知：在中，若，，，则与相交或平行，故错误；在中，若，，，则，所以，故正确；在中，若，，，则与相交、平行或异面，故错误；在中，若，，，则与相交、平行或，故错误．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，属于中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．10.在三棱锥中，，，，分别是，，，中点，若，且与所成的角为，则四边形的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意画出图形，可得四边形为菱形，再由已知异面直线所成角求得，代入三角形面积公式计算.【详解】解：如图，∵，，，分别是，，，的中点，∴，，∴四边形为平行四边形，又与所成的角为，∴（或）.∵，∴，则四边形为菱形.∴.故选：A.【点睛】此题考查异面直线所成的角的有关计算，考查计算能力，属于基础题11.若函数在区间上单调递增，其中有，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用整体思想的应用求出函数的单调区间，进一步利用子集间的关系求出结果.【详解】解：函数在区间上单调递增，所以，整理得，故：，所以，解得，当时，，由于，故选：C.【点睛】本题考查余弦型函数单调性、初相的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.12.若函数的值域为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知结合分段函数性质及指数函数与一次函数的性质即可求解.【详解】由题意可得，单调递增且，故，解可得，.故选：A.【点睛】本题考查分段函数的值域，数形结合更直观.二、填空题（共4小题）.13.设函数，则_____.【答案】【解析】【分析】结合已知分段函数的解析式代入即可求解.【详解】∵，所以，则.故答案为：.【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题.14.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________【答案】3【解析】分析：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．详解:设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，∴S7==381，解得a1=3．故答案为3.点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力.15.已知点，和向量，若，则实数_____.【答案】【解析】【分析】可以求出，然后根据即可得，进行向量坐标的数量积运算即可求出的值.【详解】，，且，∴，解得.故答案为：.【点睛】本题考查向量垂直求参数，属于基础题.16.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝，则下列结论中正确的序号是_____．①AC⊥BE②EF∥平面ABCD③△AEF的面积与△BEF的面积相等．④三棱锥A﹣BEF的体积为定值【答案】①②④【解析】【分析】利用线面垂直的性质判断①正确，利用线面平行的判定定理判断②正确，利用同底不同高判断③错误，利用等底等高证明④正确.【详解】由于，故平面，所以，所以①正确.由于，所以平面，故②正确.由于三角形和三角形的底边都是，而高前者是到的距离，后者是到的距离，这两个距离不相等，故③错误.由于三棱锥的底面三角形的面积为定值.高是点到平面也即点到平面的距离也是定值，故三棱锥的体积为定值.故④正确.综上所述，正确的时①②④.【点睛】本小题主要考查空间两条直线垂直关系的判断，考查空间线面平行的判断，考查平面图形的面积和空间立体图形的体积的判断，属于基础题.三、解答题（共6小题）.17.已知函数的图像过点，且图像上与点最近的一个最低点坐标为.（1）求函数解析式；（2）若将此函数的图像向左平移个单位长度后，再向上平移2个单位长度得到的图像，求在上的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）本题首先可根据最低点的坐标为得出，然后根据得出，最后将点带入中，即可求出的值，得出结果；（2）本题首先可根据图像变换得出，然后根据得出，最后根据正弦函数性质即可求出函数的值域.【详解】（1）因为一个最低点的坐标为，所以，，因为，所以最小正周期，，，将点带入中，可得，解得，因为，所以，.（2）向左平移个单位长度后得到函数，再向上平移2个单位长度得到，因，所以，，，故函数在上的值域为【点睛】本题考查三角函数解析式的求法、三角函数图像变换以及三角函数的值域，可根据最值、周期、三角函数上的点坐标来求出三角函数解析式，考查正弦函数性质，考查推理能力与计算能力，是中档题.18.已知中，，，.（1）求边的长；（2）若边的中点为，求中线的长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知求得，再求出，然后利用正弦定理求出；（2）由已知结合正弦定理求，然后得到，再由余弦定理求出.【详解】（1）∵，，∴.∴.由正弦定理，可得，即；（2）由已知及正弦定理，得，∴.由余弦定理，可得，则.【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.19.已知数列满足，，.（1）设，证明数列为等比数列；（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用构造关系求出数列为等比数列.（2）直接利用乘公比错位相减法求出数列的和.【详解】（1）数列满足，，整理得，由于，所以，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）得，所以①，②，①﹣②得，.【点睛】本题考查等比数列的证明，考查错位相减法求和，属于基础题.20.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．（1）分别写出两种产品的年收益与投资额的函数关系式；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？【答案】（1）；（2）投资债券类产品16万元，股票类投资为4万元；最大年收益为3万元.【解析】【分析】（1）依题意可设，根据已知求出即得解；（2）设投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，年收益为万元,得到，再换元求出函数的最值即可.【详解】解：（1）依题意可设.（2）设投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，年收益为万元依题意得即令则则即当即时，收益最大，最大值为3万元,所以投资债券类产品16万元，股票类投资为4万元，收益最大，最大值为3万元.【点睛】本题主要考查函数的应用，考查函数最值的求法，考查二次函数的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和应用能力.21.如图，中，，是边长为1的正方形，平面底面，若，分别是，的中点.（1）求证：底面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）连接，由为正方形，可得是的中点，再由是的中点，得到，由直线与平面平行的判定可得平面；（2）由为正方形，可得，由平面平面，结合平面与平面垂直的性质可得平面，得到，求解三角形证明，再由直线与平面垂直的判定可得平面，进一步得到平面；（3）由已知可得三角形的面积，再由棱锥体积公式求解.【详解】（1）证明：连接，∵为正方形，∴，且是的中点，又是的中点，∴.又平面，平面，∴平面；（2）证明：∵为正方形，∴，又∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面，又∵平面，∴.∵，∴，得.又∵，∴平面.∵，∴平面；（3）∵，∴，.∴.【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查三棱锥体积的计算，属于中档题.22.已知函数是奇函数.（1）求实数的值；（2）是否存在实数，，当时，函数的值域是.若存在，求出实数，；若不存在，说明理由；（3）令函数，当时，求函数的最大值.【答案】（1）1；（2）存在实数，；（3）.【解析】【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的性质可得有，即，解可得：，结合对数的定义验证即可得答案；（2）分类讨论，利用当时，函数的值域是，可得结论；（3）化简得，且，，分类讨论，求出函数的最大值.【详解】（1）根据题意，函数是奇函数，则有恒成立，即恒成立，即恒成立，即恒成立，所以，解可得：，当时，，不合题意，舍去；∴