数学｜广东省深圳实验湛江一中珠海一中2024届高三上学期12月联考数学试卷及答案

绝密★启用前试卷类型：A深圳实验、湛江一中、珠海一中2024届高三三校联考数学试题2023.12注意事项：3．作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑.5．考试结束后，考生上交答题卡.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。2.若复数z满足zi=-1-2i，则z在复平面上所对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限A．“+bB．-“+bC．“+bD．“-b4．已知函数f(x)=〈(|ex-1,x<1,，则f(x)的最大值为|lx-x+1,x>144446．已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为7．已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线x=my+1与C交于A，B两点，与其准线交于点D，若=，则|BF|=8．已知函数f(x)=ex-，过点(m,n)作f(x)的切线l，若n=m+1（n丰1则直线l的条数为二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．某中学选派甲、乙、丙、丁、戊5位同学参加数学竞赛，他们的成绩统计如下：学生甲乙丙丁戊成绩则下列结论正确的为A．这5位同学成绩的中位数是80B．这5位同学成绩的平均数是76C．这5位同学成绩的第75百分位数是80D．若去掉戊的成绩，则剩余四人成绩的方差保持不变10.将函数f(x)=tan2x的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的为A．g(x)的最小正周期为πBg(x)的图象关于直线x=C．g(x)在区间(0,)上单调递减D．f(x)的图象与g(x)的图象关于(,0)对称:x2:(xa)22条切线，记切点分别为A，B，则下列结论正确的为A．当a=6，r=2时，点P可是C2上任意一点C．若存在P使得△APB为等边三角形， π 2则r的最小值为2D．若存在P使得△APB的面积为，则r可能为312.已知点P在棱长为2的正方体ABCD一恒为，则下列结论正确的为B．四面体PADA1的体积最大值为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。14．某学校拟开展研究性学习活动，现有四名优秀教师将对三个研究性学习小组予以指导，若每个小组至少需要一名指导教师，且每位指导教师都恰好指导一个小组，则不同的指导方案数为.15．已知奇函数f(x)及其导函数f,(x)的定义域均为R，若f(x)=f(2一x)+2x一2恒成立，则f,(2023)=.16.已知双曲线C的离心率为e，左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的左支上运动且不与顶点重合，记I为△MF1F2的内心，λ=，若ee[2,4]，则λ的取值范围四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（10分）(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn=，求数列{an}的前n项和Tn.1812分）(2)若△ABC的面积为15，且2a=3b，求b.1912分）如图，在三棱锥A一BCD中，△ABD为等腰直角三角形，AB=AD，△BCD为等边三角形.(1)证明：BD」AC；(2)若直线AC与平面ABD所成的角为，点E在棱AD上，且DE=2EA，求二面角EBCD的大小.2012分）已知某足球赛事的决赛将在甲、乙两队之间进行.其规则为：每一场比赛均须决出胜负，按主、客场制先进行两场比赛（第一场在甲队主场比赛若某一队在前两场比赛中均获胜，则该队获得冠军；否则，两队需在中立场进行第三场比赛，且其获胜方为冠军.已知甲队在主场、客场、中立场获胜的概率依次为且每场比赛的胜负均相互独立.(1)当甲队获得冠军时，求决赛需进行三场比赛的概率；(2)若主办方在决赛的前两场中共投资m（千万元则能在这两场比赛中共盈利（千万元）.如果需进行第三场比赛，且主办方在第三场比赛中投资n（千万元则能在该场比赛中盈利（千万元）.若主办方最多能投资一千万元，请以决赛总盈利的数学期望为决策依据，则其在前两场的投资额应为多少万元？2112分）(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a<1时，若f(x)的极小值点为x0，证明：f(x)存在唯一的零点x1，且x1x02212分）在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(0,1)和(0,一1)，设△ABM的面积为S，内切圆半径为r，当=3时，记顶点M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)已知点E，F，P，Q在C上，且直线EF与PQ相交于点A，记EF，PQ的斜率分别为k1，k2.(i)设EF的中点为G，PQ的中点为H，证明：存在唯一常数λ,使得当k1k2=λ时，(ii)若=，当||EF||PQ||最大时，求四边形EPFQ的面积.深圳实验、湛江一中、珠海一中2024届高三三校联考数学答案及评分标准12345678DCABDACC970分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）n3=2(n-1)，………………2分两式相减得(2n-1)an=2，即an=(n之2)，………3分=2，符合上式，………………4分∴{an}的通项公式为an=2n-1(ne*)．…………………5(2)∵bn===-，………7分∴T=1-1=2n．…………………10分1812分）解：(1)（方法一）由余弦定理，得cosA=b2+c一a2，又∵b=c2bcosA，∴b2+ca2=cb，………………1分2+bc，………………2分2===，……………3分2b22=cb，…………………4分∴cosA=cos2B，……………5分又∵A，BE(0,π)，∴A=2B．……………6分（方法二）由正弦定理，得cosA=sinB，………1分∴sinC=2cosAsinB+sinB，……………2分∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，………3分∴sinAcosBcosAsinB=sinB，………4分即sin(AB)=sinB，………………………5分又∵A，BE(0,π)，∴A=2B．……………6分(2)（方法一）由(1)可知a2=b2+bc，……………………7分………………8分22………………8分…………9分a22c2()2+b2()29…………9分记△ABC的面积为S，，………………∴S=absinC=..b.=15，………………11分∴b=8．……………………12分（方法二）由正弦定理，得=，即=，……7分∵A,B(0,π)，∴sinA0，且sinB0，∴cosBa……343411cos2B 4∴cosAcos2B2cos2B1，∴sinA，……9分∴sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，…………………10分记△ABC的面积为S，∴SabsinCb15，………………11分∴b8．……………………12分1912分）解：(1)证明：如图，取BD的中点O，连接OA，OC，……………1分∵ABAD，∴BDAO，………………2分∵△BCD为等边三角形，∴BDCO，…………3分又∵AOnCOO，OA,OC平面AOC，∴BD平面AOC，……4分又∵AC平面AOC，∴BDAC.…………………5分(2)（解法一）由(1)不难知道，在平面AOC内，若过C作直线AO的垂线CQ交AO于点Q，则该垂线亦为平面ABD的垂线，故直线AC在平面ABD内的射影为直线AQ， π3∴QAC为直线AC与平面ABD所成的角，即QAC π3 3πOAC 3π……………6分不妨设BD2，∵BAD，O为BD的中点，∴OAOBOD1，∵△BCD为等边三角形，∴OC，∴AOC，即OAOC，由(1)知，ODOC，且ODOA，…………7分以O为坐标原点，OC，OD，OA所在的直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角 ---42则有BC=(,1,0)，BE=(0,3,3)， ---42易知n=(0,0,1)为平面BCD的一个法向量，………………9分-设m=(x,y,z)为平面BCE的一个法向量，----n.m2-∴二面角EBCD的余弦值为，∴二面角EBCD的大小为.……………12分（解法二）过E作EF」BD，垂足为F，过F作FG」BC，垂足为G，连接GE，由(1)不难知道，在平面AOC内，若过C作直线AO的垂线CQ交AO于点Q，则该垂线亦为平面ABD的垂线，故直线AC在平面ABD内的射影为直线AQ，∴经QAC为直线AC与平面ABD所成的角，即经QAC=经OAC=……………6分 12在△OAC中，由正弦定理得sin经OCA2 π ,6结合(1)可知，二面角A一BD一C为直二面角，…………7分∴EF」平面BCD，又BC一平面BCD，∴EF」BC,又EFnFG=F，EF,FG一平面EFG，∴BC」平面EFG，又EG一平面EFG，2,323………………8分433取BC的中点H，连接AD，则DH∥FG，FG=DH=，EFEF2+FG243…………………10分…………………11分∴二面角EBCD的余弦值为，∴二面角EBCD的大小为.……………12分2012分）解：(1)记“甲队获得冠军”为事件A，“决赛进行三场比赛”为事件B，由题可知P(AB)=(x+x)x=，…………………2分P(A)=(x+x)x+x=，……………………4分∴当甲队获得冠军时，决赛需进行三场比赛的概率为P(BA)==.…………6分(2)设主办方在决赛前两场中共投资x（千万元其中0<x<1，若需进行第三场比赛，则还可投资1一x（千万元记随机变量ξ为决赛的总盈利，则ξ可以取，+1一x，…………7分∴P(ξ=)=x+x=，P(ξ=+1一x)=x+x=，………………9分∴随机变量ξ的分布列为ξ x 2P 12 12∴ξ的数学期望E(ξ)=.+.(+1一x)=(x+1一x)，2t2+，…………11分∴主办方在决赛的前两场的投资额应为0.75千万元，即750万元.……12分2112分）解：(1)f,(x)=xex+2ax=x(ex+2a)，……………………1分x+2a>0，则xe(0,+伪)时，f,(x)>0，f(x)单调递增；xe(伪,0)时，f,(x)<0，f(x)单调递减；…………………2分xe(0,ln(2a))时，f,(x)<0，f(x)单调递减；……………3分若a=，则f,(x)之0在R上恒成立，f(x)在R上单调递增；……4分若<a<0，则xe(伪,ln(2a))或xe(0,+伪)时，f,(x)>0，f(x)单调递增；xe(ln(2a),0)时，f,(x)<0，f(x)单调递减．……………5分当a<时，f(x)在(伪,0)，(ln(2a),+当a=时，f(x)在R上单调递增；当<a<0时，f(x)在(伪,ln(2a))，(0,+伪)上单调递增，在(ln(2a),0)上单调递减.…………………6分(2)由(1)知，a<1时，f(x)在(伪,0)，(ln(2a),+伪)上单调递增；在(0,ln(2递减，则f(x)的极小值点为x0=ln(一2a)，…………………7分f(x)存在唯一的零点x1>1，满足f(x1)=(x1一1)ex1∴ln(2x12)+x1=ln(2a)+2lnx1，即ln(2a)=ln(2x12)+x12lnx1，=2lnx1ln(2x12)，………………9分g,(x)==xx21)，…………………10分xe(1,2)时，g,(x)<0，g(x)单调递减，…………………11分从而当x=2时，g(x)有最小值g(2)=ln2，2综上所述，f(x)存在唯一的零点x1，且x1一x0之ln2．…………………12分2212分）易知|MA|+|MB|=4>|AB|，………………2分由椭圆定义可知，动点M在以A，B为焦点，且长轴长为4的椭圆上，又M不能在直线AB上，∴C的方程为：+=1(x子0)．…………3分(2)(i)（法一）设E(x1,y1)，F(x2,y2)，G(x0,y0)，易知直线EF的方程为y=k1x+1，2=34，………………4分0x0+1=，即G(34,)，…………5分同理可得，H(3k22同理可得，H(3k224,3k22+4)，