经济数学（高等职业）全套教学课件

经济数学全套可编辑PPT课件函数与极限导数与微分模块1模块2模块3积分及其应用模块4矩阵与线性方程组模块5概率论与数理统计/全课导航/函数与极限模块1模块1——函数与极限极限概念是研究变量在某一过程中的变化趋势时引出的。它是微积分学的重要基本概念之一，也是研究经济现象的重要工具。微积分学中诸如导数、定积分等概念都是用极限表述的。本章将在中学数学的基础上进一步学习和讨论函数与极限等有关内容。模块1——函数与极限预期学习成果请根据如图所示的思维导图，明确本章的预期学习成果。/项目导航/函数常用的经济函数极限的概念极限的运算1.11.2

1.31.4复利与贴现1.5

函数的连续性1.6

1.1函数1.1.1——函数的概念在很多实际问题中，常常会涉及两个变量。如果这两个变量是相互联系、相互制约的，则说明在两个变量之间存在着某种对应关系。引例1

设某商品的价格为常数P，则销量与收入之间存在对应关系。引例2

设存款金额为常数，年利率为常数，每年计息一次，则年末的本利之和与存款期限之间存在对应关系。1.1.1——函数的概念1．函数的定义定义1

设为两个变量，D是一个非空实数的集合．如果对于D中的每一个数x，按照某个对应法则，都有唯一确定的值与之相对应，那么称是的函数，记作，。其中，称为自变量，称为因变量，集合D称为函数的定义域，与值相对应的的值称为函数值，当取遍D中的一切数时，对应的函数值的全体组成的集合称为函数的值域，记作，即。1.1.1——函数的概念要点说明（1）表示函数的记号是可以任意选取的，常用的记号有等，对应的函数可记作，，。（2）函数的定义域和对应法则是函数的两个要素，两个函数当且仅当它们的两个要素相同，即两个函数的定义域和对应法则分别相同时，才相同。1.1.1——函数的概念1．函数的定义例1下列各对函数中，（

）不是同一个函数。A．与

B．与C．与

D．与解因为A，B，C三对函数的定义域和对应法则都分别对应相同，所以这三对函数分别是同一个函数；而D选项中的一对函数只是对应法则相同，定义域并不相同，故答案为D。D1.1.1——函数的概念1．函数的定义例2若求，，。解

，，。1.1.1——函数的概念2．函数定义域在研究函数时，一定要考虑它的定义域。函数的定义域可由函数表达式来确定，即要使函数表达式有意义，具体如下。（1）在分式中，分母不能为零；（2）在根式中，负数不能开偶次方根；（3）在对数式中，真数要大于零；（4）如果函数表达式中含有分式、根式或对数式中的两种或三种，则应取各部分定义域的交集。1.1.1——函数的概念2．函数定义域例3

求下列函数的定义域。（1）

；（2）。解

（1）在函数中，因为即所以函数的定义域为

。1.1.1——函数的概念2．函数定义域例3

求下列函数的定义域。（1）；（2）。解（2）在函数中，因为，即

，解得或，所以函数的定义域为。对于由实际问题得到的函数，其定义域除了要考虑使函数表达式有意义以外，还要考虑自变量本身的实际意义。一般来说，经济变量往往取正值。1.1.1——函数的概念3．函数的常用表示方法函数常用解析法表示。解析法是用解析式表示函数的方法，也称为公式法。例如，，，等。除解析法之外，函数还常用表格法、图像法表示。1.1.1——函数的概念4．分段函数用解析法表示函数时，有时用一个式子表示，如；有时用多个式子表示,如

像这样，把定义域分成若干部分，在不同部分用不同的解析式来表示的函数称为分段函数。1.1.1——函数的概念要点说明（1）分段函数是一个函数，不是多个函数。例如，分段函数是一个函数，不是三个函数，其定义域是。（2）分段函数只是一个形式上的概念，即写成分段的形式，就是分段函数，否则就不是。例如，和，前者是分段函数，而后者却不是，但二者是同一函数。

分段函数常见于一些实际问题中。求分段函数的函数值时，应把自变量的值代入相应取值范围的解析式进行计算。1.1.1——函数的概念4．分段函数例4某地出租车计费标准：乘车里程不超过3千米，收费10元；乘车里程超过3千米不超过15千米的部分，每千米2元；乘车里程超过15千米的部分，每千米3元。求乘车费用与乘车里程之间的关系，并求乘车里程20千米时的费用。解设乘车费用为元，乘车里程为千米，则依题意可得因此，乘车里程20千米时的费用为(元)。1.1.2——函数的性质1．函数的单调性如果在区间内函数随着的增大而增大，则称函数在区间内单调增加；如果在区间内函数随着的增大而减小，则称函数在区间内单调减少。在区间内单调增加或单调减少的函数统称为区间内的单调函数,区间称为函数的单调区间。沿轴正向，单调增加函数的图像是上升的曲线，单调减少函数的图像是下降的曲线。单调函数必有反函数。1.1.2——函数的性质2．函数的奇偶性设函数的定义域关于原点对称，如果对于任一，恒有

成立，则称为偶函数；如果对于任一，恒有成立，

则称为奇函数。偶函数的图像关于y轴对称；奇函数的图像关于原点对称。例如，函数，是偶函数；，是奇函数；既是奇函数又是偶函数。1.1.2——函数的性质3．函数的有界性设函数在区间I内有定义，如果存在一个正数，使得任一所对应的函数值都满足不等式，则称函数在I内有界；如果这样的M不存在，则称函数在I内无界。例如，函数在区间内有界，函数在区间内有界；函数在内无界，在内无界。1.1.2——函数的性质4．函数的周期性设函数在区间D上有定义，若存在常数，使得对于任意的，恒有，则称是以为周期的周期函数。通常，周期函数的周期是指它们的最小正周期。例如，函数是以为周期的周期函数，函数是以为周期的周期函数；常函数也是周期函数，任意正数都是它的周期，它没有最小正周期。1．基本初等函数1.1.3——复合函数与初等函数下面六类函数统称为基本初等函数。（1）常函数：(为常数)；（2）幂函数：(为常数)；（3）指数函数：(为常数，，)；（4）对数函数：(为常数，，)；（5）三角函数：，，，，，；（6）反三角函数：，，，。1．基本初等函数1.1.3——复合函数与初等函数基本初等函数的定义域、值域、图像和性质如表所示。类别函数定义域与值域图像性质常

函

数周期函数、有界、偶函数，其中

既是偶函数又是奇函数幂

函

数奇函数、单调增加1．基本初等函数1.1.3——复合函数与初等函数类别函数定义域与值域图像性质幂

函

数偶函数、在内单调减少、在内单调增加奇函数、单调增加（续表）基本初等函数的定义域、值域、图像和性质如表所示。1．基本初等函数1.1.3——复合函数与初等函数类别函数定义域与值域图像性质幂

函

数单调增加奇函数、单调减少（续表）基本初等函数的定义域、值域、图像和性质如表所示。类别函数定义域与值域图像性质指数函数单调增加单调减少1．基本初等函数1.1.3——复合函数与初等函数（续表）基本初等函数的定义域、值域、图像和性质如表所示。类别函数定义域与值域图像性质对数函数

单调增加

单调减少1．基本初等函数1.1.3——复合函数与初等函数（续表）基本初等函数的定义域、值域、图像和性质如表所示。类别函数定义域与值域图像性质三角函数有界、奇函数、周期为有界、偶函数、周期为1．基本初等函数1.1.3——复合函数与初等函数（续表）基本初等函数的定义域、值域、图像和性质如表所示。类别函数定义域与值域图像性质三角函数奇函数、周期为奇函数、周期为1．基本初等函数1.1.3——复合函数与初等函数（续表）基本初等函数的定义域、值域、图像和性质如表所示。2．复合函数1.1.3——复合函数与初等函数在数学问题中，常见的函数往往比较复杂。例如，，显然，它不是基本初等函数。但它可以看作是由两个基本初等函数与构成的。同样，在经济活动中，经常会遇到这样的问题：公司的销售利润是销售量Q的函数，而销售量Q又是销售价格P的函数，销售价格P通过销售量Q而影响销售利润，从而销售利润可以看成销售价格P的函数。以上两种函数都可以称为复合函数。2．复合函数1.1.3——复合函数与初等函数定义2

设是的函数，而是的函数。如果函数的值域与函数的定义域的交集不为空集，那么通过变量成为的的函数，称为由与复合而成的复合函数，记作，其中，称为内函数，称为外函数，称为中间变量。例如，设，，以代替中的，得，则称函数是由函数与函数复合而成的复合函数。要点说明1.1.3——复合函数与初等函数（1）复合函数的中间变量可以是一个，也可以是多个。（2）一般而言，常见复合函数由简单函数复合而成。所谓简单函数是指基本初等函数或由基本初等函数经有限次四则运算所得到的函数。（3）并不是任何两个函数都可以构成复合函数。例如，与就不能构成复合函数，因为后者值域与前者定义域的交集为空集。2．复合函数1.1.3——复合函数与初等函数例5写出下列各对函数复合而成的复合函数。（1），；

（2），；

（3），。解（1）将代入得所求的复合函数是。（2）将代入得所求的复合函数是。（3）将代入得所求的复合函数是。2．复合函数1.1.3——复合函数与初等函数例6指出下列复合函数的复合过程。（1）；（2）；（3）。解（1）由，复合而成。（2）由，，复合而成。（3）由，，复合而成。3．初等函数1.1.3——复合函数与初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合所形成的函数称为初等函数，初等函数总能用一个解析式表示。例如，，，，

等都是初等函数，而分段函数不是初等函数。课堂训练某厂生产产品1000吨，将其定价为190元/吨，当销售量不超过750吨时，按原价销售；当销售量超过750吨时，超过750吨的部分按原价的9.5折销售。试将销售收入表示成销售量的函数。课堂小结函数函数的概念函数的性质复合函数与初等函数1.2常用的经济函数1.2常用的经济函数利用数学方法来研究经济问题时，往往要先找出经济变量之间的函数关系。下面简单介绍一些常用的经济函数。1．需求函数1.2.1——需求函数和供给函数商品的需求量与商品的价格密切相关。如果不考虑其他因素（如消费者收入、代用品价格等）对商品需求量的影响，通常商品的价格越低，需求量就越大；商品的价格越高，需求量就越小。1．需求函数1.2.1——需求函数和供给函数设表示价格，表示需求量，那么需求量可以看成价格的函数，记作，称为需求函数。一般来说，当价格上涨时，需求量就会减少，因此需求函数是单调减少函数。需求函数的反函数，称为价格函数，记作，它同样也能反映需求量与价格的关系。常见的需求函数有以下几种类型。线性函数型

。幂函数型

。指数函数型

。1．需求函数1.2.1——需求函数和供给函数例1某商品的价格为500元/件时，每月能卖出10件。它的价格每降低10元，其需求量就会增加2件，求该商品的线性需求函数。解设商品的线性需求函数为，由题意得解得。于是所求线性需求函数为。2．供给函数1.2.1——需求函数和供给函数商品的供给量也是价格的函数。设表示价格，表示供给量，那么供给量可以看成价格的函数，记作，称为供给函数。一般来说，当价格上涨时，供给量就会增加，因此供给函数是单调增加函数。常见的供给函数有以下几种类型。线性函数型

。幂函数型

。指数函数型

。2．供给函数1.2.1——需求函数和供给函数例2当某商品的收购价为4.6元/千克时，收购站每月能收购5000千克。收购价每降低0.1元，收购量就减少500千克，求该商品的线性供给函数。解设商品的线性供给函数为，由题意得

解得。于是所求线性供给函数为。3．均衡价格1.2.1——需求函数和供给函数均衡价格是指市场上使某种商品的需求量和供给量相等的价格，一般用表示，即是方程的根。当市场价格高于均衡价格时，随着供给量的增加和需求量的减少，会产生“供过于求”现象，必然使价格下降；当市场价格低于均衡价格时，随着供给量的减少和需求量的增加，会产生“供不应求”现象，从而使价格上升。因此，商品的价格会围绕商品的均衡价格上下波动。商品价格的市场调节就是这样实现的。3．均衡价格1.2.1——需求函数和供给函数例3某商品的需求函数和供给函数分别为，，求该商品的均衡价格。解

由可得，解得。因此，均衡价格。在生产和产品的经营活动中，人们总希望尽可能降低成本，提高收入和利润，而成本、收入和利润都与产量（或销量）密切相关，它们都可以看作的函数，分别称为成本函数、收入（或收益）函数和利润函数，分别记作，和。1.2.2—成本函数、收入函数和利润函数1.2.2—成本函数、收入函数和利润函数1．成本函数产品的总成本（或成本）是指生产一定数量的产品所需要的全部资源投入（如劳动力、原材料、能源、厂房和设备等）的费用总额，它是产量的函数，记作或它由固定成本与可变成本两部分组成，即。固定成本

是指总成本中不随产量变化的部分，包括厂房、设备、运输工具等固定资产的折旧，以及管理者、生产者的固定工资等。显然，固定成本就是产量为零时的成本。可变成本

是指总成本中随产量的变化而变化的部分，包括能源与原材料的费用、生产者的计件工资等。1．成本函数一般地，在一定生产条件下，总成本是的单调增加函数。总成本不能说明企业经营的好坏，为了评价企业的经营状况，需要计算产品的平均成本，即生产一个单位的产品消耗的成本，用表示。生产件产品的平均成本为，其中为平均可变成本，记作，即。1.2.2—成本函数、收入函数和利润函数1．成本函数例4已知某产品的成本函数为，求当时的成本及平均成本。解

由可得。因为，所以。1.2.2—成本函数、收入函数和利润函数2．收入函数和利润函数总收入是生产者销售一定量的产品所得到的全部收入。一般地，总收入是销量（或产量）的函数，称为收入函数或收益函数，记作或。设为价格，为销量，则收入函数为，其中是价格函数。平均收入为。1.2.2—成本函数、收入函数和利润函数2．收入函数和利润函数在核算利润时，通常只计算已售产品的成本，即利润是销量的函数。利润函数等于总收入与总成本之差，记作或，即。平均利润为1.2.2—成本函数、收入函数和利润函数2．收入函数和利润函数例5

已知某产品的价格函数为(元/单位)，固定成本为50元，每生产一单位产品，成本增加2元，求产量为10单位时的总利润。解根据题意可知成本函数为。当时，有。又因当时，价格为，所以，总收入为，利润为。故产量为10时，总利润为10元。1.2.2—成本函数、收入函数和利润函数3．盈亏平衡点当时，企业盈亏相抵，此时的销量称为盈亏平衡点。如果只存在一个，则当时企业盈利，当时企业亏损。1.2.2—成本函数、收入函数和利润函数3．盈亏平衡点例6某工厂生产某种产品，固定成本为40000元，每生产一单位产品，成本增加100元。已知产品最大销量为400单位，总收入

(元)，求利润函数与盈亏平衡点。解根据题意可知成本函数为，利润函数为令，即，得到盈亏平衡点(单位)，(单位)

。1.2.2—成本函数、收入函数和利润函数课堂训练

1．某手表厂生产一只手表的可变成本为15元，每天的固定成本为2000元。如果每只手表的出厂价为20元，则该厂每天至少应生产多少只手表才能盈亏相抵？2．某工厂生产某种产品，固定成本为100万元，每生产一件产品增加成本0.5万元，求平均成本函数和产量为100件时的平均成本。课堂小结常用的经济函数需求函数和供给函数成本函数、收入函数和利润函数1.3极限的概念1.3.1——数列极限的概念1．两个引例引例1战国时期的思想家和哲学家庄子在其著作《庄子•杂篇•天下》中有如下记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”这句话的意思是说，一根一尺长的木棒，每天截去它的一半，永远也截不完。1.3.1——数列极限的概念1．两个引例若按照以上的方式截取木棒，每天剩余的木棒长度可以构成一个数列：，，，，，，。随着的增大，与0越来越接近；当无限增大时，无限接近于0。这个0就称为当时的极限。1.3.1——数列极限的概念1．两个引例引例2记圆的周长为，圆内接正边形的周长为。当无限增大，即圆内接正边形的边数无限增加时，圆内接正边形的周长无限接近于圆的周长，这称为当时的极限为，记作。1.3.1——数列极限的概念2．数列的极限定义3对于数列，如果当无限增大时，无限接近于一个确定的常数，则称为数列的极限，记作，此时，也称数列

收敛，即数列收敛于；否则，就称数列发散。1.3.1——数列极限的概念2．数列的极限例1考察下列数列的变化趋势，判断它们是收敛还是发散。若收敛，写出其极限。（1）；（2）；（3）；（4）(为常数)；（5）；（6）。1.3.1——数列极限的概念2．数列的极限123450解在表中列出数列的有限项，分析各项随增大而变化的特点，考察当越来越大时，即时，各数列的变化趋势。1.3.1——数列极限的概念2．数列的极限12345481632发散11发散2（续表）1.3.1——数列极限的概念2．数列的极限由表可知：（1）；

（2）；（3）；

（4）；（5）没有极限，是发散的；（6）没有极限，是发散的。指点迷津增加、改变或删除数列的有限项，不改变数列的敛散性。1.3.2——当时函数的极限为方便起见，先来介绍几个记号。（1）沿数轴正方向取正值并且无限增大，记作，读作趋向于正无穷。（2）沿数轴反方向取负值并且无限增大，记作，读作趋向于负无穷。（3）既取正值，又取负值，并且无限增大时，记作，读作趋向于无穷。也就是说，包括和两种情况。1.3.2——当时函数的极限例2观察如图1至图4所示的所有函数图像，分析当，，时各函数的变化趋势。图1图2图3

图41.3.2——当时函数的极限分析从图1至图4中可以观察出，当，，时，函数，

，,和的变化情况各不相同，具体情况如表所示。

函数无限接近于0无限接近于0无限接近于0无限增大无限接近于0没有趋势无限接近于0无限增大没有趋势没有趋势（在

和1

之间来回波动）没有趋势（在

和1

之间来回波动）没有趋势（在

和1

之间来回波动）无限增大无限增大无限增大1.3.2——当时函数的极限对于当（含，）时，函数有明确变化趋势，并且趋向于一个确定常数的情形，给出下面的定义。1.3.2——当时函数的极限定义4如果当的绝对值无限增大，即时，函数无限接近于常数，则称为函数当趋向于无穷大时的极限，记作。1.3.2——当时函数的极限类似可以给出当或时函数无限接近于常数的定义，分别记作，。显然(含和)，，。而对于像和这样的函数，因为当（含和）时，函数不能无限接近于一个确定的常数，所以称极限不存在（或没有极限）。1.3.2——当时函数的极限由定义可得出下面的结论：

。也就是说，若与中至少有一个不存在或者两者都存在但不相等，则不存在。1.3.2——当时函数的极限例3

求。解

函数的图像如图所示。当时，无限变小，函数值趋向于1，即；当时，仍无限变小，函数值同样趋向于1，即；因此有。1.3.2——当时函数的极限平面直角坐标系中的一条条函数图像的变化就像人生一样，有的函数在零点时（出生时）函数值很小，但是随着自变量（时间）的增加，函数值逐渐趋近于无穷大；有的函数在零点时（出生时）函数值很大，但是随着自变量（时间）的增加，函数值在一定范围内发生波动。因此，人生是没有固定极限的，它是一个不断挑战、超越自我、奋勇向前的过程，而不是约定俗成、一成不变的。1.3.3——当时函数的极限先介绍几个记号。（1）从的左侧无限接近于，记作，读作趋向于左侧，此时。（2）从的右侧无限接近于，记作，读作趋向于右侧，此时。（3），读作趋向于，也就是说，包括和两种情况，即从

左右两侧无限接近于。1.3.3——当时函数的极限引例观察当（含和）时，函数的变化趋势，函数图像如图所示；函数取值如下表所示。2.92.992.9993.0013.013.11.971.9971.99972.00032.0032.03由左图不难看出，当及时，函数的值都无限接近于2。也就是说，当时，函数的值无限接近于2。1.3.3——当时函数的极限定义5如果当无限接近于，即时，函数无限接近于常数，则称常数为函数当时的极限，记作。类似可以给出当或时函数无限接近于常数的定义，这两个极限分别称为左极限、右极限，记作，。显然，，，。1.3.3——当时函数的极限由定义可得出下面的结论：

。也就是说，若的左、右极限中至少有一个不存在，或左、右极限存在但不相等，则不存在。1.3.3——当时函数的极限例4考察(为常数)当时的极限。解

当时，的值恒等于，因此。例5考察函数和当时的极限。解

由函数和的图像（见P26~32表）可以得；。1.3.3——当时函数的极限例6考察当时，函数的极限。解

函数的图像如图所示，尽管该函数在处没有定义，但当时，函数值无限接近于常数，因此。1.3.3——当时函数的极限例7设试判断是否存在。解分别求在时的左、右极限，得，。因为左、右极限各自存在并且相等，所以存在，且。1.3.3——当时函数的极限例8讨论当时，函数是否存在极限。解

函数图像如图所示，则，。由于，因此不存在。1.3.3——当时函数的极限指点迷津当时，函数的极限是否存在，以及当极限存在时极限值是多少，与函数在点处是否有定义，以及定义域是什么无关。1.3.4——无穷小量与无穷大量1．无穷小量定义6如果当时，函数的绝对值无限减小，即函数的极限是零，则称函数为当时的无穷小量，简称无穷小，记作。1.3.4——无穷小量与无穷大量1．无穷小量例如，，，因此当时，函数，都是无穷小量。在定义6中，自变量的变化趋势可以被及的其他变化趋势所替代。例如，函数是当时的无穷小量，函数是当时的无穷小量，是当时的无穷小量。特别地，常数0是无穷小量，并且是在自变量的任何变化趋势下的无穷小量。1.3.4——无穷小量与无穷大量1．无穷小量性质1

有限个无穷小量的代数和、乘积均为无穷小量。性质2有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。特别地，常数与无穷小量的乘积是无穷小量。例9求。解因为，且，所以由性质2可得。1.3.4——无穷小量与无穷大量2．无穷大量定义7如果当时，函数的绝对值无限增大，即函数的极限是无穷大，则称函数为当时的无穷大量，简称无穷大，记作。1.3.4——无穷小量与无穷大量2．无穷大量定义7中，自变量的变化趋势可以被及的其他变化趋势所替代。例如，当时，函数是无穷大量；当时，函数是无穷大量；当时，函数是无穷大量。1.3.4——无穷小量与无穷大量注意这里“借用”极限的符号来表示无穷大量，但并不表示函数极限存在，无穷大量其实是一种函数极限不存在的情况。习惯上，“函数是无穷大量”也称为“函数的极限为无穷大”。例如，也称为“当时，的极限为无穷大”。1.3.4——无穷小量与无穷大量2．无穷大量在自变量的同一变化趋势中，如果为无穷大量，则为无穷小量；反之，如果为无穷小量，且存在，则为无穷大量。例如，当时，是无穷小量，为无穷大量。课堂训练求下列极限。（1）；（2）。课堂小结极限的概念数列极限的概念当时函数的极限当时函数的极限无穷小量与无穷大量1.4极限的运算1.4极限的运算用函数极限的定义求极限只适用于非常简单的函数。本节将讨论求极限的最基本方法，利用这些方法，可以求出一些比较复杂的函数极限。1.4.1——极限的四则运算需要说明的是，定理要求每个参与运算的函数必须存在极限，且在函数商的极限运算法则中，分母的极限不能为零。定理1若，，则（1）；（2）；特别地，(为常数)；

(为正整数)；（3）()。1.4.2——极限的求解方法1．直接代入法在求多项式函数(是常数)在的极限时，可直接用代替函数中的，即。若均为多项式函数，且，则有。1.4.2——极限的求解方法1．直接代入法例1求。解。

例2求。

解因为分母的极限，所以可应用定理1（3）。又因为分子的极限，所以。2．倒数法倒数法适用于求，其中，但，记作“”型。具体计算步骤：先由直接代入法求得极限，再由无穷大与无穷小的关系得。1.4.2——极限的求解方法2．倒数法1.4.2——极限的求解方法例3

求。解此题属于“”型，因为，所以由无穷大与无穷小的关系可知。3．分解因式法1.4.2——极限的求解方法分解因式法适用于求，其中且，记作“”型。具体计算步骤：先将分子或分母分解因式，约去共同的零因子，再用直接代入法求解。例4求。解

因为此题属于“”型，所以将分子、分母先分解因式，约去共同的零因子，再用直接代入法求解，即。3．分解因式法1.4.2——极限的求解方法分解因式法适用于求，其中且，记作“”型。具体计算步骤：先将分子或分母分解因式，约去共同的零因子，再用直接代入法求解。例5

求。解

。4．公式法1.4.2——极限的求解方法公式法适用于求，此时分子、分母都趋于，记作“”型。具体计算步骤：先将分子、分母同除以的最高次方，使其转化成无穷小

来求解，结果为4．公式法1.4.2——极限的求解方法例6

求。

解

因为此题属于“”型，所以分子、分母同除以，得。4．公式法1.4.2——极限的求解方法例7

。解因为此题属于“”型，又因为分子的最高次方为2，分母的最高次方为3，所以由公式法的结论可得