（6）平面解析几何 高考数学情景应用小题练

（6）平面解析几何—高考数学情景应用小题练1.开普勒第一定律也称椭圆定律，轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的个焦点上．将某行星看作一个质点，绕太阳的运动轨迹近似成曲，行星H在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离．若行星的近日点距离和远日点距离之和是（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是16，则()A. B. C.34 D.882.智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线．如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知入射光线斜率为，且和反射光线互相垂直（其中为入射点），则双曲线的离心率为()A. B. C. D.3.唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为()A. B. C. D.4.在日常生活中，可以看见很多有关直线与椭圆的位置关系的形象，如图，某公园的一个窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，则该窗户的最短的竖直窗棂的长度为()A. B. C.2 D.35.图中是抛物线形拱桥，当水面在m时，拱顶距离水面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为()A.米 B.米 C.米 D.米6.3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为()A.cm B.cm C.cm D.cm7.（多选）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长､焦距分别为下列结论正确的是()A.卫星向径的取值范围是B.卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D.卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小8.（多选）抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射山.已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是()A. B.C. D.与之间的距离为49.智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线.如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点.已知双曲线的离心率为，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中P为入射点），的大小为________.10.密切圆(OsculatingCircle)，也称曲率圆，即给定一个曲线及其上一点P，会有一个圆与曲线切在P点，而且是与曲线在该点邻近最贴近的圆，换言之，没有一个圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切，此圆称为曲线在点P处的密切圆，密切圆可能是与曲线在该点相切的圆中半径最大的（比如在抛物线顶点处的内切圆），曲线上某点的曲率圆的半径称为曲率半径.抛物线在顶点处的曲率半径为______________.11.如图所示，B地在A地的正东方向4千米处，C地在B地的北偏东方向2千米处，河流的沿岸（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2千米.现要在曲线上选一处M建一座码头，向两地转运货物.经测算，从M到两地修建公路的费用都是a万元/千米，则修建这两条公路的最低总费用为___________万元.12.2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo(如图所示)，设计师的灵感来源于曲线.当，，时，下列关于曲线的判断正确的有________.①曲线C关于x轴和y轴对称②曲线C所围成的封闭图形的面积小于8③曲线C上的点到原点O的距离的最大值为④设，直线交曲线C于P，Q两点，则的周长小于8

答案以及解析1.答案：C解析：由曲线的方程为椭圆，可得长半轴，则半焦距，近日点距离为，远日点距离为，近日点距离和远日点距离之和是，近日点距离和远日点距离之积是，解得，，则．故选：C.2.答案：D解析：因为入射光线斜率为，所以，又，，所以，又，所以.故选：D.3.答案：B解析：设点A关于直线的对称点，设军营所在区域的圆心为O，根据题意，为最短距离，的中点为，直线的斜率为1，由，解得，，所以.故选：B.4.答案：B解析：根据题意，建立如图所示的坐标系，因为窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，所以椭圆的标准方程为，因为其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，所以当时，，所以最短窗棂的长度为.故选：B.5.答案：D解析：以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，可设拱桥所在抛物线的方程为，又抛物线过点，则，解得，则抛物线的方程为，当时，，故当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为米.故选：D6.答案：D解析：该塔筒的轴截面如图所示，以C为喉部对应点，设A与B分别为上、下底面对应点，以双曲线的对称中心为原点，焦点所在轴为x轴建立如图所示的坐标系.由题意可知，，，设，则.设双曲线的方程为，双曲线的离心率为，.方程可化简为(*)，将A和B的坐标代入(*)式可得解得，则喉部的直径cm.故选：D7.答案：ABD解析：本题考查椭圆的性质.由题意得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，A正确；根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，B正确；卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，则e越大，椭圆越扁，C错误；因为卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等，所以向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，D正确，故选ABD.8.答案：ABC解析：根据题意知，轴，所以，又P在抛物线上，所以，根据抛物线的光学性质知，PQ过焦点F，又易知，所以，故B正确；因为，所以直线PQ的方程为，与联立，消去x得，所以，，所以，故A正确；，故C正确；与之间的距离为，故D错误.故选ABC.9.答案：（或）解析：（方法一）由已知条件得，则.不妨设双曲线的标准方程为，并设（其中），则①.由题意得，则有②.联立①②，解得.于是，所以.（方法二）设，由正弦定理，得，即，则.因为，所以，即.又因为，所以，解得.（方法三）设，则由题意可得.得.，得.，得，则有.由，得，则.令，得，解得（已舍去）.所以，所以.（方法四）因为，所以.不妨设双曲线的标准方程为，则.所以，解得（已舍去）.所以，所以.10.答案：解析：如图，设在抛物线顶点处的内切圆的方程为，由消去y并化简得，由曲率圆的定义知，圆与抛物线只有一个交点，于是方程组有且只有一个解，则，所以曲率半径为.故答案为：11.答案：解析：如图所示，以所在的直线为x轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，则.连接.∵，∴点M的轨迹是双曲线的右支.又，当三点共线时等号成立.又总费用为万元，且，∴修建这两条公路的最低总费用为万元.12.答案：①②③解析：曲线，对①：取曲线上点，则，在曲线上，故曲线C关于x轴和y轴对称，正确；对②：取，，取，，故曲线在一个长为4，宽为2的矩形内部，故其面积小于，正确；对③：设曲线上一点为