【数学】正态分布课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

新课导入第七章

随机变量及其分布7.5正态分布学习目标复习旧知

1、两点分布：X01P2、二项分布：3、超几何分布：X~B(n,p)：情境导学生活中还有许多随机变量不是离散型的随机变量，例如：①小明上学途中等公交车的时间X；②实验中测量某零件尺寸的误差Y；③秦皇岛5月份的降雨量Z；④某电器的使用寿命；...你还能举出几个这样的例子吗？连续型随机变量：

如果随机变量X的所有取值不可以逐个列举出来，而是充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类变量为连续型随机变量。情境导学问题1

自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g.由于各种不可控制的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差（实际质量减去标准质量）.用X表示这种误差，则X是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差X（单位：g）的观测值如下：新知探究探究1：

如何描述这100个样本误差数据的分布？如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布？新知探究区间频数频率频率/组距探究1：

如何描述这100个样本误差数据的分布？如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布？新知探究

根据已学的统计知识，可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布，如下图所示.

频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率，所有小矩形的面积之和为1.追问1：观察图形，你能获得什么信息？追问2：若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图会有怎么样的变化？新知生成

若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的的轮廓形成一条光滑的钟形曲线，我们称此曲线为正态密度曲线．特征：①“中间高，两头低，左右对称”②

曲线与x轴一起围成的面积为1正态密度曲线:新知生成质量误差的概率密度曲线就是或近似地是以下函数的图象：正态密度函数:新知生成如图所示，若随机变量

X

的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布，记为

X~N(μ，σ2).

特别地，当

μ=0，σ=1时，称随机变量

X服从标准正态分布.正态分布:若X~N(u,σ2)，则X取值不超过

x

的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X<b)为区域B的面积.面积即为概率！新知生成在实际中许多随机现象都服从或近似服从正态分布：在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标；在测量中，测量结果；在生物学中，同一群体的某一特征，……；在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等，水文中的水位；服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量.新知探究探究2：观察正态曲线及相应的密度函数，正态曲线有哪些特点？特点：(1)非负性：对∀x∈R，f(x)>0，图象在x轴上方;(2)对称性：曲线是单峰的，关于直线x=μ对称;(3)最大值：曲线在x=μ处达到峰值;(4)曲线与x轴之间的区域的面积为1;(5)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.新知探究探究3：一个正态分布由参数μ和σ完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？它们反映正态分布的哪些特征?（1）当参数σ取定值时，观察μ对正态分布曲线的影响.

若

σ

固定,函数图像随μ

值的变化而沿x轴平移,故μ

称为位置参数；

参数

μ

反映了正态分布的集中位置，可以用均值来估计，故有E(X)=μ.新知探究探究3：一个正态分布由参数μ和σ完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？它们反映正态分布的哪些特征?（2）当参数μ取定值时，观察σ对正态分布曲线的影响.

σ反映了随机变量分布相对于均值μ的离散程度，可以用标准差来估计，故有D(X)=σ2.

若

μ

固定,σ

大时,曲线“矮胖”；σ

小时,曲线“瘦高”,故称

σ

为形状参数。小试牛刀1、下列函数是正态密度函数的是（

）2、已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝_______，方差σ2＝_______.小试牛刀3、(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是(

)A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大D．甲、乙、丙总体的平均数不相同BCD小试牛刀4、(多选)下面给出的关于正态曲线的4个叙述中，正确的有（

）A.曲线在x轴上方，且与x轴不相交B.当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升C.当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中D.曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点ABD典例剖析例1：李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.（1）估计X，Y的分布中的参数；解:(1)

随机变量X的样本均值为30，样本标准差为6;

随机变量Y的样本均值为34，样本标准差为2.

用样本均值估计参数μ，用样本标准差估计参数σ，可以得到：典例剖析例1：李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.（2）根据（1）中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线；典例剖析例1：李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.（3）如果某天有38min可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天只有34min可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由.(3)Y的密度曲线X的密度曲线

P(X≤38)<P(Y≤38),

P(X≤34)>P(Y≤34).所以,如果有38min可用,那么骑自行车不迟到的概率大,应选择骑自行车;如果只有34min可用,那么坐公交车不迟到的概率大,应选择坐公交车.新知探究探究4：正态曲线下的面积规律:(1)X轴与正态曲线所夹面积恒等于1;(2)对称区域面积相等,即概率相等.新知探究探究4：正态曲线下的面积规律:(3)3σ原则:在实际应用中，服从于正态分布的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值.典例剖析解：（1）∵ξ～N(1,4)，

∴μ＝1，σ＝2，

P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)

＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827.典例剖析典例剖析归纳提升利用正态分布求概率的两个方法:(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等.如：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a).(2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解.巩固练习巩固练习2、设离散型随机变量X~N(0,1),则P(X≤0)=___________