内蒙古自治区包头市第二十九中学2023-2024学年九年级下学期开学数学试卷（含答案）

-2024学年内蒙古包头二十九中九年级（下）开学数学试卷一、选择题1．下列图案是鄂尔多斯市的不同行业的标志，其中不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．如图所示的立体图形是一个圆柱被截去四分之一后得到的几何体，它的左视图是（）A． B． C． D．3．下列投影一定不会改变△ABC的形状和大小的是（）A．中心投影 B．平行投影 C．正投影 D．当△ABC平行投影面时的正投影4．下列事件中，是随机事件的是（）A．明天太阳从东方升起 B．任意画一个三角形，其内角和为360° C．经过有交通信号的路口，遇到红灯 D．通常加热到100℃时，水沸腾5．将量角器和三角板按如图所示的方式放置，三角板与量角器交于B，C两点（点B和点C对应的刻度分别为130°和160°），则∠CAB的度数是（）A．10° B．15° C．20° D．30°6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数（）A． B． C． D．7．进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，则所列方程是（）A．1+x+x（x+1）＝81 B．1+（1+x）+x（x+1）＝81 C．1+x+x2＝81 D．x（x+1）＝818．如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，则⊙O的半径为（）A．1 B． C．2 D．9．在如图，Rt△AOB中，∠BAO＝90°，△AOB的面积为6，AO与x轴负半轴的夹角为30°经过点A，则k的值为（）A． B．﹣9 C． D．﹣610．如图1，矩形ABCD中，AB＝4，E、F是边AB、DC的中点，连接EF、AF，AP＝x，y＝PE+PB．图2所示的是y关于x的函数图象，点（a，b），则a的值为（）A． B． C． D．211．用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝17二、填空题12．若关于x的一元二次方程方程（m﹣1）x2+2mx+m﹣2＝0有实数根，则m的取值范围是．13．现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，那么B，C两地的距离为．14．掷实心球是中学生体质健康检测中的一项，体育老师给出标准示范围，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，实心球的飞行高度y（米）与飞行的水平距离x（米），则小明这次实心球训练的成绩为．15．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面宽度增加m．16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点G是BC上的一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，则tan∠EDF的值为．三、解答题17．解方程：（1）x2﹣6x+9＝（2x﹣5）2；（2）．18．随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，绘制成如图统计图．根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）a＝，b＝，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为度；（2）本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训19．市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）（元）的一次函数，且当x＝40时；x＝50时，y＝100．在销售过程中（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，4），C（﹣4，2）．（1）画出△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°的A1B1C1；（2）在△ABC旋转过程中，求点B旋转到B1所经过的路径长．21．如图，AB是⊙O的直径，AC，过圆心O作BC的平行线OD与过点C的切线交于点D，与AC交于点E．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）如果，求CD的长；（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．22．旋转是初中数学图形变换很重要的内容．通过旋转将已知条件这种分散的边或角等条件相对集中在一起，构建起新的联系，从而解决问题．（1）【发现问题】如图1，点E，F分别是正方形的边AD、AB上的点，若∠ECF＝45°，则BF、DE（2）【类比探究】如图2，P为正方形ABCD内一点，PA＝1，PC＝3，则∠APB＝；（3）【拓展延伸】如图3，在四边形ABCD中∠ABC＝30°，∠ADC＝60°2＝AB2+BC2．23．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，1），与y轴交于点D．（1）求直线AC和抛物线的解析式；（2）如图1，若点P在抛物线上，点Q在x轴上，C，P，Q为顶点的四边形是平行四形时，直接写出点Q的坐标；（3）如图2，若点M是抛物线上不与点B重合的动点，连接BC△ABC＝S△AOM时，求点M的横坐标．参考答案与试题解析一、选择题1．下列图案是鄂尔多斯市的不同行业的标志，其中不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：根据中心对称图形的概念可知选项B、C、D都是中心对称图形．故选：A．2．如图所示的立体图形是一个圆柱被截去四分之一后得到的几何体，它的左视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从左边看外边是一个矩形，矩形中间有一条纵向的虚线，故选：C．3．下列投影一定不会改变△ABC的形状和大小的是（）A．中心投影 B．平行投影 C．正投影 D．当△ABC平行投影面时的正投影【解答】解：一定不会改变△ABC的形状和大小的是当△ABC平行投影面时的正投影，故选：D．4．下列事件中，是随机事件的是（）A．明天太阳从东方升起 B．任意画一个三角形，其内角和为360° C．经过有交通信号的路口，遇到红灯 D．通常加热到100℃时，水沸腾【解答】解：A、明天太阳从东方升起是必然事件，发生的可能性为100%；B、任意画一个三角形，一定不会发生；故B不正确；C、经过某个十字路口时可能遇到红灯，均可能发生，故C正确；D、通常加热到100℃时，一定会发生；故D不正确；故选：C．5．将量角器和三角板按如图所示的方式放置，三角板与量角器交于B，C两点（点B和点C对应的刻度分别为130°和160°），则∠CAB的度数是（）A．10° B．15° C．20° D．30°【解答】解：如图，设量角器的中心为O，由题意，得：∠COB＝160°﹣130°＝30°，∴∠BAC＝∠COB＝15°．故选：B．6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数（）A． B． C． D．【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴位于y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴ac＜5，ab＜0，∴一次函数y＝acx+b的图象经过第二、三、四象限、四象限．故选：D．7．进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，则所列方程是（）A．1+x+x（x+1）＝81 B．1+（1+x）+x（x+1）＝81 C．1+x+x2＝81 D．x（x+1）＝81【解答】解：设每轮传染中一人可以传染x个人，第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（x+1）人被感染．根据题意得：1+x+x（7+x）＝81．故选：A．8．如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，则⊙O的半径为（）A．1 B． C．2 D．【解答】解：连接AO，并延长交⊙O于点D，∵∠C＝45°，∴∠D＝45°，∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠DAB＝∠D＝45°，∵AB＝2，∴BD＝2，∴AD＝＝＝7，∴⊙O的半径AO＝＝．故选：D．9．在如图，Rt△AOB中，∠BAO＝90°，△AOB的面积为6，AO与x轴负半轴的夹角为30°经过点A，则k的值为（）A． B．﹣9 C． D．﹣6【解答】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，∴∠AOB＝30°，设AB＝a，则OB＝2a，由题意可知，∠COA＝30°，∵∠COA＝∠AOB＝30°，∠ACO＝∠BAO＝90°，∴△COA∽△AOB，∴，即＝，∴S△COA＝，∴|k|＝2SCOA＝9，∴k＝﹣5．故选：B．10．如图1，矩形ABCD中，AB＝4，E、F是边AB、DC的中点，连接EF、AF，AP＝x，y＝PE+PB．图2所示的是y关于x的函数图象，点（a，b），则a的值为（）A． B． C． D．2【解答】解：∵矩形ABCD，E、F是边AB，AB＝4∴易证四边形ADFE是正方形∴点E关于EF的对称点是点D∴PE＝PD∴y＝PE+PB＝PD+PB∴当点D、P、B三点共线时连接BD交于点P1，此时AP7＝a，BD＝b∵AB∥CD∴∴AP1＝AF＝×＝即a＝故选：B．11．用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝17【解答】解：x2﹣4x﹣4＝0，x2﹣3x＝1，x2﹣4x+4＝1+6，（x﹣2）2＝3．故选：C．二、填空题12．若关于x的一元二次方程方程（m﹣1）x2+2mx+m﹣2＝0有实数根，则m的取值范围是m≥且m≠1．【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝7m2﹣4（m﹣8）（m﹣2）≥0，解得m≥且m≠1，即m的取值范围为m≥且m≠1．故答案为：m≥且m≠1．13．现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，那么B，C两地的距离为km．【解答】解：如图所示，过点B作BD⊥AC于D，由题意得，∠BAC＝60°，∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝45°，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝∠BDA＝90°，∴∠ABD＝30°，∠DBC＝45°＝∠C，∴AD＝AB＝7（千米），∴CD＝BD＝（千米），∴BC＝（千米），故答案为：km．14．掷实心球是中学生体质健康检测中的一项，体育老师给出标准示范围，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，实心球的飞行高度y（米）与飞行的水平距离x（米），则小明这次实心球训练的成绩为10m．【解答】解：令y＝0，即﹣x7+x+，（x＞0）解得：x＝10，故答案为：10m．15．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面宽度增加（2﹣4）m．【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，可求出OA和OB为AB的一半2米，2），设顶点式y＝ax6+2，代入A点坐标（﹣2，得：a＝﹣8.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.8x2+2，把y＝﹣3代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.4x2+2，解得：x＝±，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了5，故答案为：（2﹣4）．16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点G是BC上的一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，则tan∠EDF的值为．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，点G是BC上的一点，∴BG＝3，CG＝7，在Rt△ABG中，AG＝，∵DE⊥AG，BF∥DE，∴BF⊥AG，∴∠AFB＝90°，∠GAB+∠ABF＝90°，∵∠ABG＝90°，∠GAB+∠AGB＝90°，∴∠AFB＝∠ABG，∠ABF＝∠AGB，∴△ABG∽△AFB，∴，∵AB＝8，AG＝5，∴AF＝，∵DE⊥AG，∴∠AED＝90°，即∠ADE+∠DAE＝90°，∵∠DAB＝90°，即∠DAG+∠BAG＝90°，∴∠AED＝∠DAB，∠ADE＝∠BAG，∴△ABG∽△DEA，∴＝，∵AG＝7，BG＝3，AB＝4，∴AE＝，DE＝，∴EF＝AF﹣AE＝，∴tan∠EDF＝＝，故答案为：．三、解答题17．解方程：（1）x2﹣6x+9＝（2x﹣5）2；（2）．【解答】解：（1）x2﹣6x+5＝（2x﹣5）8，（x﹣3）2﹣（4x﹣5）2＝2，[x﹣3+（2x﹣2）][x﹣3﹣（2x﹣2）]＝0，（3x﹣8）（﹣x+2）＝0，3x﹣8＝0或﹣x+6＝0，x1＝，x2＝6；（2），﹣＝7，x﹣（2x﹣1）（x+8）＝0，解得：x＝±，检验：当x＝±时，（x+5）（x﹣1）≠0，∴x＝±是原方程的根．18．随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，绘制成如图统计图．根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）a＝20人，b＝18人，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为36度；（2）本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训【解答】解：（1）a＝7÷14%×40%＝20（人），b＝7÷14%﹣3﹣7﹣20＝18（人）＝36°，故答案为：20人，18人；（2）设男生为A，女生为B∵共有20种等可能的结果，恰好抽到都是女性的有6种情况，∴恰好都是女性的概率＝．19．市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）（元）的一次函数，且当x＝40时；x＝50时，y＝100．在销售过程中（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？【解答】解：（1）设y＝kx+b，则，解得：，则y＝﹣2x+200（30≤x≤60）；（2）W＝（x﹣30）（﹣6x+200）﹣500＝﹣2x2+260x﹣6500；（3）∵W＝﹣2x2+260x﹣6500＝﹣2（x﹣65）2+1950，∴当x＜65时，W随x的增大而增大，∵30≤x≤60，∴当x＝60时，W取得最大值2+1950＝1900，答：当销售单价为60元时，该公司日获利最大．20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，4），C（﹣4，2）．（1）画出△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°的A1B1C1；（2）在△ABC旋转过程中，求点B旋转到B1所经过的路径长．【解答】解：（1）如图，△A1B1C7即为所求；（2）∵OB＝＝5，∴的长＝＝π．21．如图，AB是⊙O的直径，AC，过圆心O作BC的平行线OD与过点C的切线交于点D，与AC交于点E．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）如果，求CD的长；（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：如图1，连接OC，∵OB＝OC，∴∠B＝∠1，∵BC∥OD，∴∠B＝∠8，∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∵OC＝OA，OD＝OD，∴△COD≌△AOD（SAS），∴∠DAO＝∠DCO，∵CD是⊙O的切线，∴∠DCO＝90°，∴∠DAO＝90°，∴OA⊥AD，∵点A在⊙O上，∴AD是⊙O的切线；（2）解：如图1，由（1）知：∠B＝∠6＝∠2，∵∠CDO＝，∴∠CDO＝，∵∠CDO+∠2＝90°∴∠CDO＝30°，∵∠DCO＝90°，∴CD＝OD•cos∠CDO＝3•cos30°＝；（3）如图4，设OD交⊙O于F，由（1）（2）知，∠3＝∠2＝8∠DCO＝60°，OA＝OC＝，AD＝CD＝，∴S△AOD＝，S扇形AOF＝＝，∴S阴影＝S△AOD﹣S扇形AOF＝．22．旋转是初中数学图形变换很重要的内容．通过旋转将已知条件这种分散的边或角等条件相对集中在一起，构建起新的联系，从而解决问题．（1）【发现问题】如图1，点E，F分别是正方形的边AD、AB上的点，若∠ECF＝45°，则BF、DE（2）【类比探究】如图2，P为正方形ABCD内一点，PA＝1，PC＝3，则∠APB＝135°；（3）【拓展延伸】如图3，在四边形ABCD中∠ABC＝30°，∠ADC＝60°2＝AB2+BC2．【解答】（1）解：BF+DE＝EF，理由：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴CB＝DC，∠BCD＝∠EDC＝∠B＝90°，将△BCF绕点C顺时针旋转90°，得到△DEH，DH＝BF，∵∠CDH＝∠B＝90°，∴∠CDH+∠EDC＝180°，∴H、D、E三点在同一条直线上，∵∠ECF＝45°，∴∠ECH＝∠ECD+∠DCH＝∠ECD+∠BCF＝∠BCD﹣∠ECF＝45°，∴∠ECH＝∠ECF，在△ECH和△ECF中，，∴△ECH≌△ECF（SAS），∴EH＝EF，∵EH＝DH+DE＝BF+DE，∴BF+DE＝EF．（2）解：如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，CB＝AB，将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△GBC，∵∠PBG＝90°，GB＝PB＝7，∴PG＝＝＝2，∵PA＝6，GA＝PC＝3，∴PA2+PG6＝12+（4）2＝2，GA2＝37＝9，∴PA2+PG2＝GA2，∴△PAG是直角三角形，且∠APG＝90°，∴∠APB＝∠BPG+∠APG＝45°＝90°＝135°，故答案为：135°．（3）证明：如图3，以AB为一边在AB的右侧作等边三角形ABL、LC，∴∠ADC＝60°，AD＝