2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 平面与平面平行 学案

8.5.3平面与平面平行

【学习目标】(1)掌握平面和平面平行的判断定理、性质定理.(2)会证明平面和平面

平行、利用面面平行的性质定理证明直线和直线平行.

题型1平面与平面平行的判定定理

【问题探究11(1)三角板的一条边所在平面与平面。平行，这个三角板所在平面与

平面a平行吗？

(2)三角板的两条边所在直线分别与平面a平行，这个三角板所在平面与平面。平行

例1如图，在长方体分4842中，点£,尸分别为边7®的中点.

证明：平面67见〃平面应以

题后师说

平面与平面平行的判定方法

跟踪训练1如图所示，在四棱锥中中，底面/腼为平行四边形.点、M,N,Q外

别在用，BD,PD上,且冏/：扬=翻：M=园："求证：平面以图〃平面小

题型2平面与平面平行的性质定理

【问题探究2](1)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于

另一个平面吗？

(2)如果两个平面平行，那么分别在两个平面的直线是什么位置关系？

(3)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行吗？

例2如图，在三棱锥尸49C中，D,E,尸分别是%PB,A7的中点，〃是相上一点,

连接凰"是冏/与庞的交点，连接沙；求证：NF//CM.

题后师说

利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤

跟踪训练2

如图，已知平面a"B,用。且用£,过点尸的直线0与a,£分别交于4C,过

点户的直线〃与a,£分别交于8,D,且⑸=6,〃=9,PD=8,求劭的长.

题型3平行关系的综合应用

例3如图所示，已知点?是口力四所在平面外一点，M,N,4分别是明PC,以的中

点，平面PBCC平面APD=1.

(1)求证：如■〃平面以〃

(2)直线如上是否存在点应使得平面用〃〃平面5？若存在，求出点〃的位置，并

加以证明；若不存在，请说明理由.

⑶求证：1//BC.

题后师说

常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互

联系、相互转化的，如图所示.

线线平行

判定定理

线面平行面面平行

性质定理

跟踪训练3如图，在四棱锥尸46切中，底面抽切为梯形，BC//AD,£为侧棱划的中

点，且反=2,AD=4,求证：CF〃平面

随堂练习

1.平面。与平面£平行的条件可以是（）

A.a内有无数多条直线与£平行

B.直线a//a,a〃£

C.直线aua,直线Ac£,且2〃£,b//a

D.a内的任何直线都与£平行

2.a//a,b//0,a〃£,则a与6位置关系是（）

A.平行B.异面

C.相交D.平行或异面或相交

3.

B

已知产为△人阿所在平面外一点，平面。〃平面力及7,且a交线段PA,PB,PC于点、A',

B',。，若PA'AA'=2：3,则SAX'BC:S/\ABC=（）

A.2：3B.2：5

C.4：9D.4：25

4.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形舟而为截面，则四边形瓦诩的形

状为.

课堂小结

1.平面与平面平行的判定定理.

2.平面与平面平行的性质定理.

3.平行关系的综合应用.

8.5.3平面与平面平行

问题探究1提示：（1）不一定.（2）平行.

例1证明：；长方体ABCD-ABCiB,

：.AAJ/DDx,AAx=DDx,

,:点、E,户分别为边44i,9的中点，

：.A,E=DF,A.E//DF,

二四边形4式m为平行四边形，

：.A,F//ED,

又4尺平面劭£,近丘平面&®

6〃平面BDE,

如图，连接/C交劭于点0,连接£口

.:点。为口的中点,：.EO//A.C,

又4a平面〃应，平面及次

，4%平面BDE,

：4"4/=4,

平面平面BDE.

跟踪训练1证明：'：PM\MA=BN\ND=PQ\QD,

：.MQ//AD,NQ//BP.

又：8七平面如C,八磔平面阳C,

.•.做〃平面PBC.

四边形40为平行四边形.

：.BC//AD,：.MQ//BC.

又：滕:平面侬?，施平面必f,

.•.第〃平面PBC.

又,：MQCNQ=Q,

平面〃平面PBC.

问题探究2提示：(1)一个平面内的直线必平行另一个平面(无公共点).

(2)一个平面内的直线与另一个平面内的直线没有公共点，它们或者是异面直线，或者

是平行直线.

(3)当第三个平面和两个平行平面都相交时，两条交线共面且无公共点，所以两条交线

平行.

例2证明：因为〃£分别是阳，期的中点，

所以DE//AB.

又㈤平面/宛；/氏平面/6G

所以庞〃平面ABC,

同理以〃平面/勿，旦DECWF=D,DE,"心平面以F,

所以平面庞尸〃平面ABC.

又平面PCMC平面DEF=NF,

平面PCMC平面ABC=CM,

所以*'〃酸

跟踪训练2解析：,:aIIB,平■面PCDCa=AB,平■面PCDC6=CD,

：.AB//CD,可得？=?.

ACBD

"：PA=<0,AC=9,PD=8,

•••梦膏，解得取号.

例3

证明：⑴取出中点为f，连接阳FN,

在△户驾中，FN//DC,FN=^DC,

在口/腼中，AM//CD,AM=^CD,

所以/〃〃旦AM=FN,即四边形AW为平行四边形,

所以"'〃恻加七平面以〃，W平面序〃，

所以例V〃平面PAD.

⑵当〃为期中点时，平面KNH//平面ABCD.

证明如下：

取阳的中点为〃连接破NH,

在△W中，HN//BC,平面/比〃at平面总况

所以"V■〃平面力比同理可证，烟〃平面相切，

又KH,HNu平面KNH,KHHHN=H,

所以平面AW〃平面ABCD,

⑻•：BC〃AD,4t平面PAD,8a平面PAD,〃平面PAD,

又：平面ARI平面期加七平面战7,：.BC//1.

跟踪训练3证明：取4?的中点。，连接。C,0E,如图.

E

BC

因为£为侧棱阳的中点，所以OE//PA,阻平面PAB,乃iu平面PAB,

所以公〃平面PAB.

因为比'=2,4)=4,A0=^AD=2,BPAO=BC,且BC〃AD,

所以四边形/理。为平行四边形，所以0C〃AB.

又0a平面PAB,/比平面PAB,所以0c〃平面PAB.

因为0CC0E=0,况t平面兆瓦/t平面笫5；

所以平面。(方〃平面PAB,

因为平面0CE,

所以龙〃平面PAB.

［随堂练习］

1.解析：由面面平行的定义知，选D.

答案：D

2.解析：如图①②③所示，a与6的关系分别是平行、异面或相交.

4/z£__/%/

①②③

故选D.

答案：D

3.解析：•.•平面。〃平面4%?,：.A'C//AC,A'B'//AB,